Теории вероятности

Понятие случайного события.

Опр. Испытанием называется фиксированный  тип опыта. Пр.: Наудачу извлекается карта из колод. Опр. Случайным событием называется выделенный рез-т некоторого испытания (в конкретном испытании событие может наступать, а может и не наступать).Пр.: а) Извлечена карта красной масти; б) извлечён туз; в) извлечена 7-ка крестей. Пусть, например, извлекли даму «бубен» à а) наступила б)

 нет в) нет.

 

Статистическое определение  вер-ти.

Пусть проведено N-испытаний, в которых событие А наступило Na раз, тогда отношение (Na/N) назыв. Частностью наступления события А в Nиспытаниях. Опр.: Пусть условия проведения некоторого испытания можно с точностью произвести

неограниченное  число раз, тогда  вер-тью  P(A) наступления события А в одном испытании назыв. Такое число, около которого группируются значения частности (Na/N) при неограниченном увеличении числа испытаний N. ,т.е. P(A)=lim(Na/N). (На практике полагают P(A)»(Na/N) при достаточно большом N)  Следствие:

0£Na£N; 0£(Na/N)£1; lim0£lim(Na/N)£lim1 ;  0£P(A)£1.

 

Классификация случайных событий.

1)Два события называются  равными, если одно из них  наступает т.и т.т.к. наступает  другое. 2)Опр.: Два события назыв.  равновозможными или вер-ти их  наступления равны в смысле  статистического наступления симметричных ситуаций.

3)Опр.: Событие назыв.  достоверным, (Е) если оно наступает  в каждом из испытаний. Ne=N=>P(E)=lim(Ne/N)=1; P(E)=14)

Опр.: Событие назыв. невозможным, если оно не наступает ни в одном  из

испытаний. Æ-невозможность события. Невозможность события определено однозначно для фиксированного типа испытания. Пр.: исп. брос. кости Æ={7}. 5)

Опр.:Два события назыв. не совместимыми, если наступление  одного из них исключает наступление  другого. 6) События А1, А2,…Ак –  назыв. единственно возможными, если в рез-те испытания хотя бы одно из них наступает. Пр.: Исп –бросание монета. А)-орёл В)-решка. Событие А1;А2…Ак – образуют полную сист. если они попарноне совместимы и единственно возможны. Опр.: Два события образующие полную систему назыв. парой взаимно противоположных событий.  (`А )-противоположное событие. Пр.: Извлечение карты. А- красная масть; А- черная масть.

 

Операция на события.

I.Операция сложения событий. Опр.: Суммой А+В событий А и В назыв. такое событие, которое считается наступившим, если наступило или событие А или В или вместе. Пр.: Извлечение карты: А- извлечен туз; В- извлечены бубны. а)Пусть рез-т: извлечена 7-ка бубен. А+В –наступило. б)Пусть рез-т: извлечен король крестей =>

А+В –не наступило.А+`А = Е  II.Опр. Произведением событий А и В назыв. такое событие А и В, кот. Считается наступившим, если события А и В наступили одновременно. Пр. Бросание кости. А={1,2,3} В={3,4,} А×В={3}. Замечание: соб. А и В не совместимы ó А×В=Æ.

 

Классическое  определение вер-ти.

Опр. Пусть некоторое испытание имеет “n” исходов, причем эти исходы равновозможны единственно возможны и попарно не совместимы. Пусть наступлению событию А благоприятствует «m» исходов из «n», тогда вер-сть Р(А) наступления события А определяется по формуле: P(A)=(m/n). Пр. В коробке 6 белых шаров и 8 красных. Извлекается 1 шар. Вер-ть того что он белый ? Реш.: n=6+8=14; m=6; P(A)=6/14=3/7.

 

Основные теоремы теории вероятности.

I.Теоремы сложения вероятностей. Общая формула: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).;  В частности: Пусть А и В не совместимы, тогда А×В=Æ ; P(AB)=P(Æ)=0 ,т.е. имеем:

Теорема: Вероятность  суммы двух несовместимых событий = сумме их вероятностей., т.е. P(A+B)=P(A)+P(B). 1)Следствие: Пусть события А1,А2,…Ак образуют полную систему, тогда Р(А1)+…+Р(Ак)=1. Док-во: В частности события А1,А2,…Ак –единственно возможны (т.к.)полная сист.), т.е. А1+…+Аn=Е => Р(А1+…+Ак)=Р(Е). По теор. слож. вер-тей: Р(А1)+…+Р(Ак)=1.

II.Следствие: Если А и `А –пара противоположных событий, то Р(А)+Р(`А )=1.

 

Условная вер-ть и теорема умножения вер-ти.

Опр.: Условной вер-тью  Рв(А) назыв. вер-ть наступлений событий  А предположений наступлений  событий В. ; Пр.: Испыт. извлечение карты. А-извлечена картинка, В-извлечена 7-ка. ; Рв(А)=0/4=0 ; Р`в (А)=(16/36-4)=0,5

Опр.: Два события назыв. независимыми, если вер-ть наступления одного из них не зависит от того считается ли другое событие наступившим или нет. Т.е. А и В независ. ó Рв(А)==Р`в(А) , Ра(В)=Р`а(В). ; Можно доказать что А и В независимы ó Р(А)=Рв(А). В примере выше  А и В зависимы т.к. Рв(А)¹Р`в(А).

 

Теорема Умножения вероятностей.

Т. ~Р(АВ)=Р(А)Ра(В) ~Р(АВС)=Р(А)Ра(В)Рав(С). Следствие. А и В независимы ó Р(АВ)=Р(А)Р(В), т.е. в частности вер-ть произведений 2-х независимых событий равна произведению их вер-стей. Теорема для независимых вер-тей.=> Р(В1)Р(`В2)+Р(`В1)Р(В2). Пр.: Два стрелка одновременно выстреливают в мишень. Вер-ть попадания для 1-го =0,6; для 2-го 0,8.; Найти: А)Вер-ть того что в мишени будет 1 пробоина. В)будет хотя бы одна пробоина. Реш.: В мишени будет 1 пробоина т.ит.т.к. 1-ый попал и 2-ой промахнулся, 1-ый промахнулся и 2-ой попал. 

А=(В1`В2+`В1В2)=Р(В1`В2)+Р(`В1В2). Используем терему для независ. вер-тей.

 Р(В1)=0,6; Р(`В1)=1-0,6=0,4; Р(В2)=0,8; Р(`В2)=0,2.; Р(А)=0,6×0,2+0,4×0,8=0,44.

ХОТЯБЫ 1 => Р(с)=Р(А+D) {D-2-е попадание} P(D)=P(B1×B2)=P(B1)P(B2)=

=0,6×0,8=0,48.; P(c)=0,92.

 

Формула полной вер-ти.

Т. Пусть события А1,А2,…Ак –  образуют полную систему и F-некотор. Событие, тогда вер-ть этого события может быть найдена по след. ф-ле: P(F)=P(A1)Pa1(F)++P(A2)Pa2(F)+…P(Ak)Pak(F) Пусть дополнительно событие F отлично от невозможного  PF(Ai)=(P(Ai)×Pai(F)/ P(F) ) –формула гипотезы, где 1£i£к. Пр.: (в тетради на стр.17-18).

Тема: Повторные независимые  испытания.

Формула Бернулли Теорема: Пусть проведено “n” повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вер-тью р. Тогда вер-ть Pm,n что в этих испытаниях событие А будет n раз выполняться по формуле.

 

Формула Пуассона (редких событий).

Теорема. Пусть проведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых события А наступает с вер-тью р, причем 1)число испытаний достаточно велико (n³100) 2)Величина l=np£10, тогда вер-ть Pm,n того, что в этих испытаниях событие А наступит m раз вычисл. по след. приближ. ф-ле:

 

Локальная теорема  Муавра – Лапласа.

Теорема: Пусть проведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вер-тью р., причем. 1)число испытаний достаточно велико 2)npq³10, где q=1-р, тогда вер-ть Рm,n того, что в этих n испытаниях событие А наступит m раз вычисляется по ф-ле:

Свойства функции Гаусса: 1)Четность f(-x)=f(x); 2)Не отрицательность f(x)>0; 3) lim f(x)=lim f(x)=0 {при хà¥}; Практическое правило: если х³5,то будем полагать, что f(x)»0. {Далее следует график y=f(x) в виде «горки»}

 

Интегральная  теорема Муавра-Лапласа.

Т.: Пусть проведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вер-тью р, причём. 1)число испытаний достаточно велико. 2)Значение npq³20. ; Тогда вер-ть того, что число m наступлений событий А в этих испытаниях окажется заключено в границах от m1 до m2 вычисляется по

след. приближ. ф-ле.

Св-ва функции Лапласа.

1)Нечётность Ф(-х)=-Ф(х);

2)Монотонно возрастающая Ф(х);

3)limФ(х)=1 {где хà+¥}; limФ(x)=-1 {где хà-¥}. На практике: если х³5, полагаем что Ф(х)»1 График у=Ф(х) в пределах от –1 до 1.

 

 

 

 

 

Следствие из интегральной теоремы Муавра Лапласа.

Пусть выполнили условие применимости интегральной теоремы М.Лапласа, тогда:

1)Вер-ть того, что число m наступлений события А в n испытаниях отличается от величины np не более, чем на эпсило (E) (по абсолютной величине) вычисл. По след. ф-ле:  

2)Вер-ть того что частость (доля) m/n наступлений событий А в n испытаниях отличается от вер-ти р не более чем на D (по абсолютной величине) вычисл. По след. ф-ле:

 

Тема: Дискретная случайная  величина и её характеристика.

Случайная величина и её закон распределения.

Опр.: Случайной величиной называется переменная, кот. В рез-те испытания  принимает то или иное числовое значение. Пр1)число попаданий в мишень ßдискретная случ. величина; Пр2) рост человекаßнепрерывная случ. величина.; Опр. Случайная величина назыв. дискретной, если число её возможных значений конечно или счётно (множество счетное, если его можно перенумеровать натур.

числами). Опред.: Случ. величина назыв. непрерывной, если её значение полностью заполняют некоторый интервал. Опред. Законом распределения дискретной случайной величины назыв. такая таблица, в которой перечислены все возможные значения этой случайной величины (без повторений) с соответствующими им вероятностями.

Xi	X1	X2	…	Xk
Pi	P1	P2	…	Pk

Следствие: Из определения  закона распределения следует что  события (Х=х),…,(Х=хк) –образуют полн. Систему. => Р(Х=х1)+…+Р(Х=хк)=1  р1+р2+…+рк=1  ßосновное св-во закона распределения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Арифметические операции над случайными величинами.

Опр.: Случайные величины х и у назыв. равными, если их законы распределения точно совпадают  и для любого числа a события (х=a) и (у=a) равны. Опр.: Случайные величины Х и Y назыв. независимыми, если для любых i и j события (X=xi) и (Y=yj)- независ. Пр. В коробке 5 белых шаров, 8красных и 10 синих. Х-число шаров при одном извлечении. У-число кр. Шаров при одном извлечении. X иY – зависимы; ((Х=1)(Y=1) –не совместимы àне зависимы.

Опр.:(Умножение случайной  величины на число). Пусть х- случ. величина. И a- некоторое число, тогда случ. величиной aх назыв. случ. величина со следующим законораспределением:     

X:	Хi	X1	…	Xk
	Pi	P1	…	Pk

ax:  axi ax1   ax2 … axk

pi p1     p2 … pk

Опр.: Суммой (разностью, произведением) случайных величин х и у называется такая случ. величина Z, которая принимает значение Zl в некотор. Испытании, если в этом испытании хi yi значение величин Xi Yi таковы: Zl = xiyi.

 

Параметры распределения (дискретных) случайных величин.

Опр.: Пусть закон распределения  случайной величины Х имеет вид.

 

X:	xi	x1	x2	…	xk
	pi	p1	p2	…	pk

, тогда математическим  ожиданием М(Х) назыв. число,  вычисляемое по ф-ле:

Неформально: Математическое ожидание случ. величины – такое число, около которого группир-ся значение этой случ. величины.

Св-ва математического  ожидания.

1) М(С)=С, где С- пост. случ. величина.

2)М(aх)=aМ(х); a-некоторое число.

3)М(Х±Y)=М(X)±M(Y).

4)Пусть случ. величины X иY- независимы, тогда (XY)=M(X)M(Y).

5)Пусть х1,…,хn- случ. величины такие, что M(x1)=…=M(xn)=a; M((x1+…+xn)/n)=a.

 

Дисперсия (дискретной ) случайной величины.

Опр.: Пусть закон распределения  случ. величины Х имеет вид:

Х: 

xi	x1	x2	…	xk
pi	p1	p2	…	pk

Дисперсией D(X)- этой случ. величины называется число, вычисл. по ф-ле:

Неформально: Дисперсия  случ. величины яв-ся мерой разброса значений этой случ. величины около  её мат. ожидания.

Св-ва дисперсии: 1)D(С)=0, С- пост. случ. величина.

2)D(aX)=aв квадрате×D(X).

3)Пусть случ. величины X иY-независимы =>D(X±Y)=D(X)+D(Y). 4)D(X)=M(X в квадрате) – М в квадрате(Х).

5)Пусть случ. величины  Х1,Х2,…Хn- независимы и D(X1)=…=D(Xn)=s в квадрате. ; тогда D((x1+…+xn)/n)=(s в квадрате)/n). Замечание: – назыв. среднеквадратическим отклонением случ. величины X и часто обозначается через s(сигма).

Теорема: Пусть случ. величина Х  биномиально распределена с параметрами  n и p, тогда M(X)=np; D(X)=npq; q=1-p; M(X/n)=p; D(X/n)=(pq)/n.

Док-во: Пусть Х- число  наступившего события А в n повторн. независ. исп-ях в каждом из которых соб А наступает с вер-тью р => Х=Х1+Х2+…+Хn,где Xi- число наступ-его соб-я А в i испытаний (1£i£n). Х1,Х2,…Хn– независ. и одинаково распределены. 1£i £ n.

 

Xi	Xj	0	1
	Pj	q	p

M(Xi)=0×q+1×p=p. ;

M(X)=M(X1+…+Xn)=M(X1)+…+M(Xn)=p+…+p=np.

D(X)=D(X1+…+Xn)=D(X1)+…+D(Xn)=pq+..+pq=npq. Теорема доказана.

Пример: Пусть Х-бином. Распред-а  n=3, p=0,8 ; M(X)=3×0,8=2,4 ; D(X)=3×0,8×0,2==0,48.

 

Функция распред-я (дискретной) случайной величины.

Опр.: Ф-ей распред-я F(x) случ. величины Х назыв. такая функция, значение которой в т. х численно равно вер-ти того, что в некотор. Испытании значение этой случ. величины окажется меньше, чем х, т.е. F(x)=P(X<x). Функция распределения дискретной случ. величины яв-ся кусочно – постоянной, она претерпевает скачки в

точках возможных значений этой случ. величины, а величины этих скачков=соответствующим вер-стям. Св-ва функции распределения: 1) F(X)-неубывающая функция;

2) 0£F(X)£1;

3)limF(X)=0, где хà-¥., limF(X)=1, где хà+¥.;

4)F(a£x<b)=F(b)-F(a).

Док-во: 2) F(X)=P(X<x) т.к. D£P£1 => D£F(X)£1. ;

3)limF(X)=limP(X<x)=P(X<-¥)=0, где х в пределах стремится к -¥. ; limF(X)==limP(X<x)=P(X<+¥)=1, где х в пределах стремится к +¥.

4)F(b)=P(X<b)=P((X<a)+(a£X<b)=P(X<a)+P(a£b)=F(a)+P(a£X<b).

 

 

 

 

 

 

 

 

Непрерывная случайная  величина.

Плотность распределения  вер-ти непрерывной случайной величины.

Опр. Плотность распред-я  вер-ти: j=j(х) непрерывной случ. величины Х наз-ся такая функция, что для произвольного отрезка[a,b] вер-ть того, что в некотор. Испытании знач-ие случ. величины Х окажется принадлежащим данному отрезку,

вычисляется по ф-ле:

 

Геометрический  смысл плотности распределения.

Вер-ть того, что знач-ие случ. величины Х окажется принадлежащим некотор. отрезку [a,b] численно равна площади S[a,b] под кривой плотности распред-я j=j(х) на [a,b]. Теорема: (Характеристическое св-во плотности распределения.) Функция j=j(х) яв-ся плотностью распределения некотор. непрерывной случайной величины Х т.и т.т.к. выполняют след. условия. 1)Не отрицательность, т.е. j(х)³0 (при всех Х); 2)Условия нормировки {интеграл от -¥ до +¥}×j(х)dx=1 ;