Теория графов. Ориентированные графы

     Для произвольной бинарной -матрицы вектор , -я координата которого равна числу единиц в -й строке этой матрицы, называется вектором строчных сумм. Аналогично определяется вектор столбцевых сумм : координата равна числу единиц в -м столбце. Очевидно, что , (1) поскольку каждая из этих сумм равна числу всех единиц матрицы .

     Если — матрица смежности орграфа , то , , тo есть число единиц в -й строке матрицы равно полустепени исхода -й вершины, а число единиц в -м столбце равно полустепенн захода -й вершины. Таким образом, для имеем , .

     Поэтому верно следующее утверждение, являющееся аналогом леммы о рукопожатиях.

     Утверждение 2.1. Сумма полустепеней исхода всех вершин орграфа равна сумме полустепеней захода и равна числу его дуг: .

     Нетрудно  убедиться в том, что равенство (1) не является достаточным условием для существования бинарной -матрицы с векторами строчных сумм и столбцевых сумм . Например, нет матрицы , для которой , .

     Пара  векторов , с целыми неотрицательными координатами называется графической, если существует бинарная -матрица , для которой , . Если истолковывать эту матрицу как приведенную матрицу смежности двудольного графа, то вектор окажется списком степеней вершин этого графа, принадлежащих одной доле, а вектор — списком степеней вершин другой доли, так что условия графичности пары векторов являются условиями существования соответствующего двудольного графа — реализации этой пары. Этим и объясняется термин «графическая пара векторов».

     При ту же матрицу можно истолковывать как матрицу смежности орграфа, и тогда условия графичности пары векторов станут условиями существования ориентированного графа с заданными списками полустепеней исхода и полустепеней захода вершин.

     Критерий  графичности пары векторов устанавливается  следующей теоремой.

     Теорема 2.2. Пара векторов , (2)

     является графической тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

     1) последовательность (3) графическая;

     2) .

     Доказательство:

     Очевидно, что пара векторов (2) реализуется двудольным графом тогда и только тогда, когда последовательность (3) реализуется расщепляемым графом, для которого и — списки степеней вершин верхней и нижней долей соответственно. Поэтому доказываемое непосредственно вытекает из критерия расщепляемости графической последовательности.

     Коснемся  вопроса о реконструируемости орграфов. Гипотезу Келли — Улама для ориентированных графов можно попытаться сформулировать так же, как и для неориентированных. Но для орграфов эта гипотеза не верна. 

Рисунок 1.2.1. 

     П. Стокмейер (1977, 1981 гг.) нашел несколько  семейств нереконструируемых орграфов. Одно из них состоит из сильных турниров специального вида. Два нереконструируемых турнира изображены на рис. 1.2.1. Ф. Харари и К. Палмер доказали (1967 г.), что любой турнир, не являющийся сильным, реконструируем.

     А. Рамачандран предложил новый  вариант гипотезы реконструируемости для орграфов. Пусть — ориентированный граф. Вместе с каждым подграфом , будем рассматривать упорядоченную пару полустепеней исхода и захода вершины . Орграф назовем -реконструируемым, если он определяется с точностью до изоморфизма набором .

     Гипотеза  Рамачандрана (1981 г.). Любой орграф -реконструируем.

     Эта гипотеза пока не доказана и не опровергнута.

     1.3. Обходы

     Определения эйлеровых и гамильтоновых ориентированных графов сходны с аналогичными определениями для неориентированных.

     Цепь, содержащая каждую дугу орграфа, называется эйлеровой. Связный орграф называется эйлеровым, если в нем есть замкнутая эйлерова цепь.

     Следующие две теоремы, характеризующие эйлеровы орграфы, доказываются так же, как  и в неориентированном случае

     Теорема 3.1. Для связного ориентированного графа следующие утверждения равносильны:

     1) граф эйлеров;

     2) для любой вершины верно равенство ;

     3) граф является объединением контуров, попарно не имеющих общих ребер.

     Теорема 3.2. Связный орграф содержит открытую эйлерову цепь тогда и только тогда, когда в нем есть две такие вершины и , что , и для любой вершины , отличной от и .

     Контур  (путь) орграфа называется гамильтоновым, если он содержит все вершины . Гамильтонов орграф — это орграф, имеющий гамильтонов контур.

     Вопросы, связанные с распознаванием гамильтоновости  орграфа и построением гамильтоновых  контуров или путей, являются столь  же сложными, как и аналогичные вопросы для неориентированных графов. Докажем одно достаточное условие гамильтоновости орграфа.

     Теорема 3.3 (M. Мейниел, 1973 г.). Пусть — сильный орграф порядка без петель и параллельных дуг. Если для любой пары и его несовпадающих несмежных вершин справедливо неравенство , то в есть гамильтонов контур.

     Для доказательства этой теоремы проделаем некоторую предварительную работу.

     Если  , ,то через обозначим множество дуг орграфа с началом и концом в , а через —множество дуг между и , то есть дуг вида или , где . 

Рисунок 1.3.1. 

     Как и выше, множество вершин произвольного  пути будем обозначать через .

     Лемма 3.4. Пусть — путь в орграфе , , и пусть в нет -пути, множество вершин которого совпадает с . Тогда .

     Доказательство:

     Для любого , , положим .

     Очевидно, что , (1), иначе и существовал бы путь, запрещенный условием леммы (рис. 1.3.1). Суммируя неравенства (1) по всем и учитывая при этом возможность существования каждой из дуг и , получим .

     Пусть . Путь в орграфе назовем -путем, если он удовлетворяет следующим трем условиям:

     1) длина пути не меньше чем 2;

     2) начальная и конечная вершины пути принадлежат множеству ;

     3).никакая из других вершин, входящих в , не принадлежит множеству .

     Теперь  перейдем к доказательству теоремы 3.3, которое проведем от противного. Пусть орграф удовлетворяет условиям теоремы и не является гамильтоновым и пусть — такой контур в , множество вершин которого не является собственным подмножеством множества вершин другого контура. Рассмотрим отдельно два случая.

     1) В  нет -путей. Возьмем какие-либо две вершины — одну в , а другую — вне . В сильном орграфе есть контур , содержащий эти две вершины и потому отличающийся от . Эти два контура имеют ровно одну общую вершину, скажем, , иначе в был бы -путь. Пусть теперь и — вершины, непосредственно следующие за в контурах и соответственно (рис. 1.3.2). 

          Рисунок 1.3.2.                                                          Рисунок 1.3.3.

Так как  в орграфе нет -путей, то вершина не смежна ни с одной из вершин, входящих в и отличных от . По той же причине для любой вершины верно неравенство . Следовательно, для несмежных вершин и имеем

что противоречит условию теоремы (здесь первая сумма  учитывает дуги, соединяющие вершины  и с остальными вершинами графа).

     2) В графе  есть -пути. Выберем среди них путь с минимальным (см. рис. 1.3.3). Из максимальности контура следует, что . Определим как максимальное среди таких чисел , что и в есть -путь , для которого (возможно и тогда ). Таким образом, . Так как также является контуром, из максимальности контура вытекает, что . Из выбора числа следует, что в нет -пути с множеством вершин , так что в силу леммы 3.4 вершина соединена с не более чем дугами.

     Пусть . Так как контур максимален, то в нет -пути с множеством вершин . Из леммы 3.4 теперь следует, что вершина соединена с не более чем дугами.

     Из  минимальности числа  вытекает, что не смежна ни с какой вершиной , , и что для любой вершины выполняется неравенство .

     Учитывая  вышесказанное, получаем для несмежных  вершин и

 Учитывая полученные выше соотношения, а также то, что , и в графе могут существовать дуги вида , , , получаем , что противоречит условию теоремы.

     Очевидно

     Следствие 3.5. Сильный орграф порядка n без петель и параллельных дуг, степень каждой вершины которого не менее n, имеет гамильтонов контур.

 
     1.4. Пути

     Пусть (1) — какое-либо множество путей оргафа , попарно не имеющих общих вершин. Если множества вершин этих путей составляют разбиение для , т.е. , то множество путей называется разбиением орграфа на пути. Минимальное число путей, составляющих разбиение орграфа , обозначим через .

     Ниже  фигурируют понятия числа независимости и хроматического числа орграфа , которые для ориентированных графов определяются так же, как и для неориентированных, т.е. , .

     Теорема 4.1 (Т. Галлаи и А. Мигрэм, 1960 г.). Для любого орграфа верно неравенство .

     Фиксируем некоторое разбиение (1) орграфа  на пути. Пусть , , — множество начальных вершин этих путей. Докажем более сильное утверждение:

     существует  такое разбиение  орграфа на пути, что , .

     Доказательство:

     Доказательство  последнего утверждения проведем индукцией  по . Утверждение очевидно при . Пусть и утверждение верно для орграфов, порядки которых меньше чем .

     Вначале покажем, что, не ограничивая общности, можно считать  . Рассмотрим орграф . Очевидно, что . По индуктивному предположению существует разбиение орграфа на пути с и . Поэтому всегда можно считать, что .

     Пусть теперь . Тогда множество не является независимым, т.е. в нем есть хотя бы одна пара смежных вершин. Предположим, что . Если путь состоит из единственной вершины , то объединив и в путь , получим нужное разбиение.

     Если  же путь имеет более чем одну вершину, то рассмотрим орграф . По индуктивному предположению существует такое разбиение орграфа на пути, что и . Если , то получим из , добавив вершину к пути, начинающемуся в . Аналогично можно поступить и тогда, когда . Если же и , то .