Теория Массового Обслуживания

 

Постановка  задачи

Параметры и известны.

Требуется найти   _ож , _смо 

Формулы для расчетов 

Приведенная интенсивность  потока заявок вычисляется по формуле 
 
 
 

Вероятности вычисляются по следующим формулам: 
 
 

Поскольку заявка получает отказ, если СМО занята, а в очереди находятся m заявок, то 

Далее получаем 
 
 
 
 

Кроме того, справедливы формулы 
 
 
 
 
 

_ож 

_смо

Расчет  показателей эффективности одноканальной СМО с неограниченной очередью

Список  используемых терминов и обозначений

Постановка  задачи

Параметры и известны.

Требуется найти   _ож , _смо

Формулы для расчетов 

Приведенная интенсивность  потока заявок вычисляется по формуле 

Если  в формулах в предыдущих формулах перейти к пределу при , то мы

получим следующие формулы: 
 

В случае очереди бесконечной длины каждая заявка, в конце концов, будет  обслужена. Следовательно, 
 
 
 
 
 
 

Кроме того, справедливы формулы: 
 
 
 
 

_ож 

_смо 
 
 

3.Практическая часть. Задачи и их решения. 

Задача. На станцию технического обслуживания (СТО) автомобилей каждые два часа подъезжает в среднем одна машина. Станция имеет 6 постов обслуживания. Очередь автомобилей, ожидающих обслуживания, не ограничена. Машина получает отказ, если СТО занята. Среднее время обслуживания одной машины 2 часа. Все потоки в системе простейшие. Определите вероятностные характеристики станции технического обслуживания автомобилей.

Решение:

заявок/час 

=2 часа

Определим параметр μ потока обслуживаний:

  заявок/час

Приведенная интенсивность потока заявок 

Вероятность того, что занято 0, 1, …, n каналов 

^-1-1

Относительная пропускная способность СМО

 

Вероятность того, что заявка будет обслужена 

 

Вероятность того, что заявка получит отказ

0,368   

Задача. В вычислительном центре работает 5 персональных компьютеров (ПК). Простейший поток задач, поступающих на ВЦ, имеет λ=10 задач в час. Среднее время решения задачи равно 12 мин. Заявка получает отказ, если все ПК заняты. 
Найдите вероятностные характеристики системы обслуживания (ВЦ).

Решение. 
заявок/мин

=12 мин

Определим параметр μ потока обслуживаний:

  заявок/час

Приведенная интенсивность потока заявок 

Вероятность того, что занято 0, 1, …, n каналов

n=5 
^-1-1 

Вероятность отказа в обслуживании заявки

=0.036

Относительная пропускная способность АЗС

 

Вероятность того, что заявка будет обслужена

=

Задача. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка — автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей λ 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания — t_об=1,8 часа.  
     Требуется определить в установившемся режиме предельные значения: 
     относительной пропускной способности q; 
     абсолютной пропускной способности А; 
     вероятности отказа Р_отк; 
     Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

 Решение 
     Определим интенсивность потока обслуживания: 
     заявок/час 
     Вычислим относительную пропускную способность: 
     q = 
     Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост автомобилей. 
     Абсолютную пропускную способность определим по формуле: А=λ×q=1×0,356=0,356. 
     Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час. 
     Вероятность отказа: 
     Р_отк=1-q=1-0,356=0,644. 
     Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании. 
     Определим номинальную пропускную способность системы:

 
     А_ном= (автомобилей в час). 
     Оказывается, что А_ном в  раза  больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.

Задача. Автоматическая телефонная станция имеет 4 линии связи. На станцию поступает простейший поток заявок с λ=3 (вызова в минуту). Вызов поступивший в момент, когда её линии заняты, получает отказ. Средняя длительность разговора 2 минуты. Найти: а) вероятность отказа; б)среднюю долю времени, в течение которой телефонная станция вообще не загружена.

Решение.

 заявок/час

=2

n=4

Определим параметр μ потока обслуживаний:

  заявок/час

Приведенная интенсивность потока заявок 

Вероятность того, что занято 0, 1, …, n каналов

^-1-1

Вероятность того, что заявка получит отказ

0,003

б)

_ож==-3,048

4.Заключение

В данном курсовом проекте представлена тема "Теория массового обслуживания". Системы массового обслуживания имеют огромное практическое применение в наше время, что показано в рассмотренных  задачах. СМО разделяются на большое  количество типов. Первые задачи ТМО (Теории Массового Обслуживания) были рассмотрены сотрудником Копенгагенской телефонной компании, ученым Агнером Эрлангом, в период между 1908 и 1922 годами. Стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств. 
Имеется телефонный узел (обслуживающий прибор), на котором телефонистки время от времени соединяют отдельные номера телефонов друг с другом. Системы массового обслуживания (СМО) могут быть двух видов: с ожиданием и без ожидания (то есть с потерями). В первом случае вызов (требование, заявка), пришедший на станцию в момент, когда занята нужная линия, остается ждать момента соединения. Во втором случае он «покидает систему» и не требует забот СМО. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.Список  литературы

1.  Д.Кениг, Д.Штойян. Методы теории массового обслуживания: Пер. с нем. /Под. ред. Г.П.Климова. М., 1981.

2.  Г.И.Ивченко, В.А.Каштанов, И.Н.Коваленко. Теория массового  обслуживания. М., 1982.

3.  Б.В.Гнеденко, И.Н.Коваленко. Введение в теорию массового обслуживания. М., 1987.

4.  Т.Л.Саати. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения: Пер. с англ. /Под. ред. И.Н. Коваленко, изд-ие 2. М., 1971.