Типы кривых второго порядка

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЁЖИ И  СПОРТА УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЁЖИ И  СПОРТА АВТОНОМНОЙ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

РЕСПУБЛИКАНСКОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ

„КРЫМСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” (Г. ЯЛТА)

ИНСТИТУТ  ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

 

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ, ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

ТИПЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

 

 

 

 

Выполнила

студентка 4 курса, направления подготовки „Математика” 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение

1.1 Эллипс

1.2 Гипербола

1.3 Парабола

  Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Впервые кривые второго порядка изучались одним  из учеников Платона. Его работа заключалась  в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы  угла, ими образованного, то получится  конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.

 

 Однако эти научные  знания нашли применение лишь  в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

 

История

 

Впервые кривые второго порядка  изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур (см. ниже).

 

Однако эти научные  знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты  движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что  если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

 

 

1. Кривые второго  порядка

 

 Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

 

Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0, где A,B,C,D,E,F – вещественные коэффициенты, причем А2+В2+С2 ≠ 0.

 

Доказано, что кривая 2–го  порядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих типов: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих), точка, пустое множество.

 

 Иными словами,  для каждой кривой 2-го порядка (для каждого уравнения) существует такая система координат, в которой уравнение кривой имеет вид:

 

1.1 Эллипс

 

 Эллипсом  называется геометрическое место  точек плоскости, для которых  сумма расстояний до двух фиксированных  точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Отрезки, соединяющие точку эллипса с фокусами, называются фокальными радиусами точки.

 

 Если эллипс  описывается каноническим уравнением

где a > 0 , b > 0, a > b > 0 — большая и малая  полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметрично на оси абсцисс и имеют координаты (−c, 0) и ( c, 0), где

Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса.

По определению  эллипса r1 + r2 = 2a, r1 и r2 − фокальные  радиусы, их длины вычисляются по формулам

Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью.

 

1.2 Гипербола

 

 Гиперболой  называется кривая второго порядка,  которая в некоторой декартовой  системе координат описывается  уравнением

где a > 0, b > 0 — параметры гиперболы.

 

 Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической.

 

 В канонической  системе оси координат являются  осями симметрии гиперболы, а  начало координат — ее центром симметрии.

 

 Точки пересечения  гиперболы с осью OX ( ± a, 0) называются  вершинами гиперболы.

 

 С осью OY гипербола не пересекается.

 

 Отрезки  a и b называются полуосями гиперболы.

Прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0 — асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперблы в бесконечность, соответствующая ветвь гиперболы приближается к одной из асимптот.

 

 Уравнение  описывает гиперболу, вершины  которой лежат на оси OY в  точках (0, ± b).

 

Такая гипербола  называется сопряженной к гиперболе  её асимптоты — те прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0. Говорят о паре сопряжённых гипербол.

1.3 Парабола

 

 Параболой  называется кривая второго порядка,  которая в некоторой декартовой  системе координат описывается  уравнением

 

y2 = 2 px

 

 где p > 0 — параметр параболы.

 

 Такое уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат, в которой парабола описывается каноническим уравнением, называется канонической.

 

 В канонической  системе ось абсцисс является  осью симметрии параболы, а начало  координат — её вершиной.

Уравнения y2 = −2 px, x2 = 2 py, и x2 = −2 py, p > 0, в той же самой  канонической системе координат  также описывают параболы:

 

 

Литература

 

 

 Корн Г., Корн  Т. Кривые второго порядка (конические  сечения) // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64-69.

 

 

 Корн Г., Корн Т. 2.4-5. Характеристическая квадратичная  форма и характеристическое уравнение  // Справочник по математике. —  4-е издание. — М: Наука, 1978. —  С. 64.

 

 

 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия, гл. 6. М.: "Наука", 1988.