Вейвлет – анализ сигнала с квадратичным возрастанием масштаба

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего  профессионального  образования

«Пермский национальный исследовательский 

политехнический университет»

 

 

 

 

Курсовая работа

по вейвлет - анализу на тему:

«Вейвлет  – анализ сигнала с квадратичным возрастанием масштаба»

 

 

Работу  выполнила:

студентка гр. ММм-12 А.И. Терехина

Работу  принял:

к.ф.-м.н., доц. каф. ММСП В.Г. Захаров

 

 

 

 

 

 

г. Пермь 2012

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Термин «вейвлет» (дословный перевод  - маленькая  волна) появился сравнительно недавно – его ввели Гроссман и Морле в середине 80-х годов в связи с анализом свойств сейсмических и акустических сигналов. В настоящее время семейство анализаторов, названных вейвлетами, начинает широко применяться в задачах распознавания образов; при обработке и синтезе различных сигналов, например, речевых; при анализе изображений самой различной природы (это могут быть изображения радужной оболочки глаза, рентгенограмма почки, спутниковые изображения облаков или поверхности планеты, снимок минерала и т.п.); для изучения свойств турбулентных полей; для свертки (упаковки) больших объемов информации и во многих других случаях.

Вейвлет - преобразование одномерного  сигнала состоит в его разложении по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами солитоноподобной функции (вейвлета) посредством масштабных изменений и переносов. Каждая из функций этого базиса характеризует как определенную пространственную (временную) частоту, так и ее локализацию в физическом пространстве (времени).

Как правило, вейвлет-преобразования (WT) подразделяют на дискретное (DWT) и  непрерывное (CWT).

DWT используется для преобразований  и кодирования сигналов, CWT - для  анализа сигналов. Вейвлет - преобразования в настоящее время принимаются на вооружение для огромного числа разнообразных применений, нередко заменяя обычное преобразование Фурье. Это наблюдается во многих областях, включая молекулярную динамику, квантовую механику, астрофизику, геофизику, оптику, компьютерную графику и обработку изображений, анализ ДНК, исследования белков, исследования климата, общую обработку сигналов и распознавание речи.

Основная часть

Вейвлет анализ предлагает следующий логический шаг: метод  выбора окна переменного размера. Вейвлет  анализ позволяет использовать большие временные интервалы, где нам нужна более точная информация о низкой частоте, и более короткие области, когда нам нужна информация о высокой частоте.

Ряд Фурье использует в качестве базиса синусоиды, которые предельно  локализованы в частотной области (вырождаются на спектрограмме в вертикальную линию), и вообще не локализованы во временной области. Совокупность вейвлетов, напоминающих модулированную синусоиду, способна отражать локальные изменения сигналов.

Одним главным преимуществом, которое  предоставляет вейвлет, является возможность представлять локальный анализ, т.е. анализировать локализованную область в большом сигнале.

Анализ Фурье состоит  из разложения сигнала на синусоидальные волны различных частот. Аналогично, вейвлет анализ это разложение сигнала на сдвинутые и масштабируемые версии первоначального (или материнского) вейвлета.

Масштабирование вейвлета означает его растяжение (или сжатие).

Вводится понятие  – масштабный коэффициент, который  обозначают буквой а. Если речь идет, например, о синусоидах, то эффект от масштабного коэффициента очень легко увидеть:

 

Чем больше частота, тем более сжатая синусоида.

Масштабный  коэффициент действует и на вейвлеты. Чем меньше масштаб, тем более  «сжатым» будет вейвлет.

Из диаграмм видно, что для синусоиды sin(wt) масштаб а обратно пропорционален частоте w. Аналогично, с вейвлет - анализом, масштаб обратно пропорционален частоте сигнала.

В работе будет использоваться вейвлет Морле:

.

исторически это  первая функция. получившая название вейвлет, и именно с нее берет свое начало вейвлет-анализ.  Вейвлет Морле представляет собой модулированную функцию Гаусса, где - частота модуляции, которую обычно полагают равной .

Рис. 1. Вейвлет Морел в физическом пространстве.

 

Практическая реализация

 

Цель  работы: Найти сигнал с квадратичным возрастанием масштаба, т.е. найти аргумент тригонометрической функции. Проиллюстрировать на графике вейвлет-преобразования. При этом по вертикальной оси отложить масштаб.

Решение: Известно, что масштаб  обратно пропорционален частоте   , т.е.

~ .

Поскольку в  задании идет речь о квадратичном возрастании масштаба, т.е. ~ (пусть будет =- /10), и частота определяется как первообразная от аргумента, то:

.  (*)

Данный сигнал будет обладать требуемым законом изменения масштаба.

Визуализация  в работе осуществляется средствами математического пакета Wolfram Mathematica.

Сигнал (*) изображен на рис. 1

Рис. 2. Анализируемый сигнал

Непрерывное вейвлет- преобразование:

 

Рис. 3. НВП (Вейвлет Морле)

Как видно на графике, центры кружков смещаются  в область низких частот (вверх), а расстояние между ними увеличивается.

Таким образом, на основании проделанной работы видим, что НВП позволяет успешно определять закон изменения частоты анализируемого сигнала.

 

 

 

 

 

Заключение

Список приложений вейвлетов чрезвычайно широк, причем области их применения не ограничиваются цифровой обработкой сигналов, но охватывают также физическое моделирование, численные  методы и другие области науки.

Такой интерес  к вейвлетам вызван двумя факторами, во-первых, они сделали то, что  долгое время не удавалось никому – предоставить альтернативу спектральному  анализу и предоставить качественный инструмент анализа нестационарных сигналов, во-вторых, они представляют сигнал в пространственно-временной области, что существенно проще для понимания человеком.

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. И. Добеши  Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: Изд. РХД, 2001.
2. В. Г. Захаров Вейвлет-анализ: теория и приложения. Часть I: Непрерывное вейвлет-преобразование. Пермь: ПГУ, 2004.
3. А.А. Короновский, А.Е. Храмов Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
4. “Компьютерра”, 1998, № 8 (236) от 2 марта 1998 г.
5. А.П. Петухов  Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд.  СПбГТУ, 1999.