Автор: Пользователь скрыл имя, 15 Февраля 2012 в 21:15, реферат
Величины, встречающиеся в механике, физике и других прикладных науках, могут быть разделены на две категории. К одной из них относятся такие физические или механические величины, которые определяются только числовым значением (числом), например: масса, плотность, температура, объем. К другой категории можно отнести те величины, для определения которых требуется знание не только числового значения, но и направления, например: сила, скорость, ускорение. Величины первой категории называются скалярными, второй — векторными.
Определение 1.11. Векторы a и b называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90°.
Определение
1.12. Скалярным произведением ненулевых
векторов a и b называется
число, равное произведению
длин этих векторов на косинус
угла между ними. Скалярное произведение
векторов a и b обозначается
Свойства скалярного произведения
1. a a=|a|
2. a b=b a.
3. (x a) b=x (a b).
4. (a+c) b=a b+ c b.
Пример 1.5. Найти длину диагонали AC ромба ABCD (рис. 14), у которого длины сторон равны 1 и угол BAD равен 30°.
Решение. По правилу параллелограмма AD AB AC + = . Из свойств
скалярного произведения следует
Так как и ,то . Учитывая это, получаем , откуда находим
Из определения скалярного произведения сразу следует, что в случае
ненулевых векторов a и b косинус угла между векторами a и b находится
по формуле
В частности, векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно нулю.
Пример 1.6. Длины ненулевых векторов a и b равны. Найти угол
между этими векторами, если известно, что векторы p=a+2b и q=5a–4b перпендикулярны.
Решение. Так как векторы p и q перпендикулярны, то их скалярное
произведение равно нулю:
p q = (a+2b) (5a–4b)=0.
Используя свойства скалярного произведения, получаем
(a–2b) (5a–4b)=5|a| +6 b –8|b| .
6|a| cos (a, b)–3|a| =0.
Поскольку |a| ≠ 0, то, сокращая на 3|a| , находим cos (a, b)=1/2.
Следовательно, угол между векторами a и b равен 60°.
Пример 1.7. Зная, что |a|=2, |b|=5, (a, b)= 2π/3, найти, при каком значении x векторы
p =xa + 17b и q = 3a–b перпендикулярны.
Решение. Найдем скалярное произведение векторов a и b:
Перпендикулярность векторов p и q означает, что их скалярное
произведение равно нулю, найдем его:
(p, q) = (xa+17b, 3a–b) = (xa,3a) + (xa,–b) + (17b,3a) + (17b,–b)=3x(a, a) – x(a, b) + 51(b, a) – 17(b, b) = 3x|a| + 5x – 255 – 17|b| = 12x + 5x – 255 – 425 = 17x – 680.
Из
уравнения 17x – 680 = 0 получим x = 40.