Властивості обернених гіперболічних функцій

План  реферату.

1. Обернені  гіперболічні функції. Позначення. Вирази для них.
2. Графіки обернених гіберболічних функцій.
3. Співвідношення між оберненими гіберболічними функціями.
4. Інтеграли від обернених гіберболічних функцій.
5. Вправи.
6. Список літератури.

 

Обернені гіперболічні функції. Позначення. Вирази для них.

      Якщо  x = sh y, то бажаючи виразити залежність у від х, позначають у символом Arsh x (читається «ареасинус гіперболічний») чи, більш детально, у є площа, гіперболічний синус якої рівний х (area - латинське слово, що означає в перекладі площа). Подібним чином визначаються й інші обернені гіперболічні функції, а саме:

якщо x = ch y, то y = Arch x (ареакосинус гіперболічний);

якщо x = th y, то y = Arth x (ареатангенс гіперболічний);

якщо x = cth y, то y = Arcth x (ареакотангенс гіперболічний).

      Вирази  для обернених гіперболічних  функцій:

-гіперболічний арксеканс.

-гіперболічний арккосеканс.

Ці функції  мають наступний розклад в  ряд:

В зарубіжній літературі обернені гіперболічні функції часто  позначають як гіперболічна функція в степені -1.

 

Графіки обернених гіберболічних функцій.

      Графіки обернених гіперболічних функцій  з їх короткими описами приведені  нижче.

      Ареасинус y = Arsh x (рис. 1). Функція непарна, область визначення , монотонно зростає на . В початку координат – точка перегину і центр симетрії графіка. Кут ,  утворений з віссю абсцис дотичної в цій точці дорівнює Асимптот не має.

      Ареасинус y = Arch x (рис. 2). Функція двузначна, область визначення кожної гілки . Графік симетричний відносно осі Ox; В точці А(1,0) має місце вертикальна дотична х=1, при зростанні x (x>1) y по абсолютній величині зростає.

      Ареатангенс y = Arth x (рис. 3). Функція непарна, область визначення -1<x<+1, монотонно зростає на . В початку координат – точка перегину і центр симетрії графіка. Кут , утворений з віссю абсцис дотичною в цій точці, дорівнює . Вертикальні асимптоти .

      Ареакотангенс y = Arcth x (рис. 4). Функція непарна, область визначення . При спадає від 0 до , при спадає від до 0. Екстремумів і точок перегину немає. Є горизонтальна асимптота y = 0 і вертикальні асимптоти .

 

Співвідношення між  оберненими гіберболічними функціями.

      Будь-яку  з обернених гіперболічних функцій  можна виразити через решту функційю Приведемо відповідну таблицю.

 

      Варто мати на увазі, що при виражанні функцій  через ареакосинус останній треба  брати зі знаком плюс при x > 0 і зі знаком мінус при x < 0. Це пояснюється двузначністю ареакосинуса і непарністю решти функцій, які при x>0 додатні, а при x < 0 від’ємні. Вирази самого ареакосинуса через решту функцій (другий рядок) треба брати з двома знаками, що також пояснюється двузначністю.

      Легко переконатися в справедливості наведених в таблиці співвідношень. Для прикладу виразимо через решту функцій. Нехай , тоді і, відповідно, звідки ; , звідки ; , звідки .

      Аналогічно  перевіряються й решта співвіодношень.

     Суми  та різниці обернених гіперболічних  функцій виражаються відповідним  чином:

1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. .

     Перевіримо  формулу (1). Для цього позначимо: , ; тоді , , , ; перетворимо вираз: , звідки . Аналогічно перевіряються й інші формули.

     Подібно тому, як гіперболічні функції виражаються  через показникові, обернені гіперболічні функції можуть бути виражені через  функції, обернені до показникових, тобто  через логарифмічні.

     Насправді, якщо, наприклад, , то звідси слідує, що , а так як , то , або . Розглядаючи цю рівність як квадратне рівняння відносно невідомого , знаходимо (знак мінус перед коренем в дійсній області неможливий, бо при дійсних значеннях х велечина завжди додатня). Отже,  , а так як , то

7. .

Аналогічним чином  отримуємо наступні формули:

8.   ,
9.            ,

   (10)            .

      Для виведення формули (8) спираємося на те, що якщо , то , звідки і (знак мінус тут необхідно зберегти, так як права частина буде додатньою і в цьому випадку). Логарифмуючи останню рівність, отримаємо формулу (8).

Зауважимо, що формулі (8) можна надати дещо інший вигляд, а саме:

.

      Для цього достатньо показати, що . А в цьому можна легко переконатися, за допомогою наступного перетворення: .

      Якщо  взяти  , то , звідки і, отже, , .

      Наведені  формули дозволяють вияснити питання  про область визначення обернених  гіперболічних функцій. З формули (7) випливає, що існує при будь-якому дійсному х, так як як при додатньому, так і при від’ємному х. Формула (8) показує, що існує тільки при , так як має дійсні значення при , але х не може бути від’ємним, бо тоді теж стає від’ємною величиною, а значить, не може бути дійсним. З формули (9) випливає, що існує при , так як для того, щоб ця функція мала дійсні значення, необхідно, щоб виконувалась нерівність , а це можливо для додатніх х тільки при x<1, а для від’ємних х тільки при x>-1.

      Аналогічно  попередньому можна встановити, що існує тільки при .

      Звязок  між деякими оберненими гіперболічними і оберненими тригонометричними  функціями:

Де і- уявна одиниця.

Інтеграли від обернених  гіберболічних функцій.

      Нижче наведений список інтегралів (первісних  функцій) від обернених гіперболічних  функцій.

  

  

   

  

 

Вправи.

• Перевірити  справедливість формул, що виражають  , і через та інші функції. (див. таблицю в 3 розділі.)
• Перевірити формули (2), (3), (4), (5) та (6).
• Довести, що ; .
• Дати визначення функцій та ; довести, що вони зв’язані з логарифмічними функціями наступними співвідношеннями: (0< x <1), .

Список  використаної літератури.

1. А.Р. Янпольский «Гиперболические функции», Государственное издательство физико-математической литературы. (Москва 1960).
2. І.Н. Бронштейн та К.А. Сімєндяєв «Справочник по математике», Гостехиздат. (1957).
3. Г.Б. Двайт «Таблицы интегралов и другие математические формулы», ГИИЛ. (1948).
4. В.Г. Шерватов «Гиперболические функции», ГТТИ. (1935).