Возрастание и убывание функции

Теорема №1: Функция, непрерывная на отрезке [а,b], где а<b, и имеющая неотрицательную (положительную) производную на интервале (а,b), не убывает (строго возрастает) на [а,b]. Действительно, пусть а£х1<х2£b; тогда на отрезке [x1,x2] выполняются условия теоремы Лагранжа. Поэтому найдется на интервале (х1;х2) точка с, для которой f(x2)–f(x1)=(x2–x1) (где x1<c<x2). Если по условию f'³0 на (а,b), то f'(с)³0 и f(x2)–f(x1)³0 {1}; если же f'>0 на (а,b), то f'(c)>0 и f(x2)–f(x1)³0 {2}. т.к. неравенства {1} и {2} имеют место, каковы бы ни были х1, x2, где а£х1<х2£b, то в первом случае f не убывает, а во втором f строго возрастает на отрезке [а,b].