Выделив в заданной функции полный квадрат, получить уравнение параболы и построить ее график

   Задача 88

Выделив в заданной функции  полный квадрат, получить уравнение  параболы и построить ее график.

 

   Решение:

Выделив полный квадрат в  заданной функции, получим:

 

 

График исходной функции  можно построить, переместив вершину  параболы

 в точку , направив ветви параболы вниз, и затем растянув

 параболу в 3 раза  вдоль оси 

 

  

 

 

 

 

Задача 98

Задана функция на отрезке . Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая аргументу значения через промежуток ; 2) найти каноническое уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить тип линии.

 

Решение:

1) Составим таблицу значений:

φ
r	1				1,5		2			3

 

		2		1,5				1

2) Подставляя в уравнение и в уравнение заданной линии, получим:

 

 

Полученное уравнение  есть уравнение эллипса с полуосями , центром в точке А(-1;0), эксцентриситет .

 

Задача 108

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение.

1)  = = (*)

Разделим числитель и  знаменатель на

(*) = = = =

2)   = = (*)

Разложим числитель на множители.

 

 

 

 

 

 

Умножаем знаменатель  на сопряженное выражение

 

 

 

 

3)  

 

 

Использован второй замечательный  предел .

 

Задача 118

Найти указанные пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.

Решение.

1). = = = (*)

При

(*) =

 

2) = = (*)

Введем замену , тогда

(*) = = (*)

При ,

(*) = =

=

Используя формулы приведения получим:

= =

=

 

Задача 128

Задана функция различными аналитическими выражениями для различных интервалов изменения аргумента. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и установить их тип. Сделать чертеж.

 

Решение.

Неэлементарная функция определена для всех значений x, кроме x=2. Она может иметь разрыв в точках х=0, х=1, где меняется ее аналитическое выражение. Исследуем точки х=0 и х=1.

1)

 

 

Согласно условию значение функции в точке х=0 определяется первой формулой. Следовательно, в точке х=0 выполняются все условия непрерывности:

 

2)

 

 

 

Здесь левый и правый пределы  функции конечны, но не одинаковы. Поэтому  в точке х=1 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции:

 

3)

 

Так как при  величина является положительно бесконечно большой, то в точке х=2 функция имеет точку разрыва второго рода.

Чертеж: