Задача по математике

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона AB равна , сторона BC равна 12 , сторона AD равна 6 . Известно, что угол DAB острый, угол ADC тупой, причём синус угла DAB равен , косинус угла ABC равен - . Окружность с центром в точке O касается сторон BC, CD и AD. Найдите OC.

 
Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Пусть P — точка пересечения продолжений отрезков DA и CB. Найдите стороны и углы треугольника DCP (в который вписана данная окружность) с помощью теоремы синусов.

 
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть DAB = , ABC = . Тогда

sin

= , cos = , cos = - , sin = ,

sin(

+ ) = sin cos + cos sin = - .

Значит, + > 180^o. Поэтому прямые AD и BC пересекаются в точке P, которая разделена с точками D и C прямой AB. Тогда

APB = + - 180^o.

По теореме синусов найдем PB из треугольника APB:

PB =

= - = .

Поэтому PC = PB + BC = 13.

По теореме синусов из треугольника DPC находим, что

sin

PDC = = .

Тогда cos PDC = - .

По теореме синусов из треугольника DCP находим, что

PD =

= .

Пусть r — радиус данной окружности, O — её центр. Тогда

r =

= = .

Пусть K — точка касания окружности со стороной DC. Из прямоугольного треугольника OKC находим, что

OC =

= = .

 
Также доступны документы в формате TeX

Ответ

.