Задачи(математические методы исследования операций в экономике)

     Индивидуальное  задание по дисциплине «Математические методы исследования операций в экономике»(Вариант I)

     Задача 1

     На  предприятии имеется возможность  выпуска и видов продукции  Пj (j = 1,2,3). При ее изготовлении используются ресурсы Р₁, Р₂, Р₃. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b₁, b₂, b₃. Расход ресурса i-го вида (i = 1,2,3) на единицу продукции j-го вида составляет а_ij единиц. Цена единицы продукции j-го вида равна c_1. Требуется: построить математическую модель процесса и найти план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальный доход. Записать двойственную задачу.

       
 
 

     Обозначим план выпуска П₁-х₁, П₂-х₂, П₃-х_3.

     Составим  модель процесса:

     2х₁+3х₂+4х₃≤150;

     3x₁+4x₂+5x₃≤180;

     3x₁+4x₂+2x₃≤120;

     x₁≥0, x₂≥0, x₃≥0,

     Функция дохода max Z= 80х₁+75x₂+68x_3.

     Результат:

     Значение  функции цели равно 3493. На предприятии необходимо выпускать продукцию п₁ -27 ед., п₃ -20 ед., ресурсы р₂ и р₃ израсходованы полностью, ресурс р₁ недоиспользован. 

     Составим  двойственную задачу:

     2у₁+3у₂+3у₃≥80;

     3 у₁+4 у₂+4у₃≥75;

     4 у₁+5 у₂+2у₃≥68;

     у₁, у₂, у₃≥0

     Функция цели min U=150 у₁+180 у₂+120 у_3.

     Результат:

     План  расхода ресурсов равен соответственно (0,5,22), значение целевой ячейки равно 3493.

     Анализ  решения обеих  задач.

     Значения  цели в прямой и двойственной задаче совпадают. Ресурс р₁ в прямой задаче не израсходован, а в двойственной соответствует нулевому значению плана; ресурсы р₂ и р₃ израсходованы полностью, в двойственной – это соответствует неотрицательным переменным.

     Задача 2

     Готовая продукция заводов А_i (i=1,2,3) направляется на склады В_j (j=1,2,3,4). Заводы А_i производят а_i тыс. изделий. Пропускная способность складов В_j за это время характеризуются величинами в_j тыс. изделий. Стоимость перевозки с завода А_i на склад В_j одной тысячи изделий равна С_ij. Требуется составить экономико-математическую модель задач, которая позволила бы найти план перевозки готовой продукции с заводов на склады с минимальными затратами.

     Имеем: а₁=250, а₂=150, а₃=400, в₁=100, в₂=500, в₃=100, в₄=300.

     Элементы  Матрицы удельных затрат

     Тип данной задачи – транспортная.

     Проверим  сбалансированность: 250+150+400=800; 100+500+100+300=1000.

     Дисбаланс 1000-800=200.

     Введем  фиктивного поставщика.

     Модель: Min при ограничениях ; .

     Результат:

     Четвертый склад недополучил 200 единиц продукции.

     На первый склад доставлено со второго завода 100 единиц продукции.

     На  второй склад доставлено 250 единиц с первого завода, 50 единиц со второго завода и 200 единиц с третьего завода.

     На  третий склад доставлено 100 единиц с третьего завода.

     На  четвертый склад доставлено 100 единиц с третьего завода.

     Затраты на перевозку равны 1850.

     Задача  3.

      Для производственной функции f(x₁,x₂)=35,44х₁^0,465+х₂^0,825, где х=(x₁,x₂) - вектор затрат факторов производства и функции издержек производства Z(x₁, x₂)=11x₁+2x₂,где x₁ -основные производственные фонды, x₂ -затраты живого труда, q₁,q₂ – цены соответственно ресурсов x₁,x_2. Требуется построить и исследовать математическую модель:

     а) минимизации издержек производства, если достигнутый объем 100000;

     б) максимизации выпуска продукции  производства, имеющиеся затраты 5000000.

     Модель  а) min U=11x₁+2x₂ при ограничении 35,44х₁^0,465 +х₂^0,825≥100000; x₁, x₂≥0.

     Модель  б) max Z= 35,44х₁^0,465 +х₂^0,825 при ограничении 11x₁+2x₂ ≤5000000; х1, х2≥0

     Результаты:

     а) Цель – 2285996.

     План  выпуска – 1066 и 1137134.

     б) При данных затратах максимизация выпуска невозможна. 

     Задача 4.

     При составлении проекта работ выделено 6 событий: (0,1,2,3,4,5 ,6), которые связаны работами (i –j ),где i ,j = 0,1,2,3…,5,6 и i ≠ j, например событие 1 связано с событием 2 работой (1-2)

     Требуется:

     а) Построить сетевой график выполнения проекта.

     б) Определить критический путь.

     Построим  сетевой график

     

     Результат:

 

     В критический путь входят работы

     0-1 1-3 3-4 4-5 5-6