Застосування системи лінійних рівнянь у розв’язанні задач з економіки

                    (1.12)

Яку називатимемо базисною системою рівнянь ( або системою з базисом ).

Із останньої системи рівнянь можна знайти загальний розв’язок системи рівнянь

                     (1.13)

     Щоб  не виконувати перетворення Гаусса  спочатку в прямому порядку,  виключаючи невідомі під головною  діагоналлю, а потім – у зворотному, виключаючи невідомі над нею, здійснюють повне виключення невідомих у стовпці за допомогою ключового елементу. У спеціалізованій літературі цей модифікований метод Гаусса називають методом Жордана – Гаусса. Суть його розглянемо за допомогою приведення правил  вибору ключового елемента:

1. Ключовий рядок вибирають для кожної ітерації іншим і так, щоб йому відповідала лише одна базисна невідома.
2. Ключовий стовпець вибирають на кожній ітерації також іншим з ненульовим елементом у ньому.
3. На місці ключового елемента має бути одиниця, а решта елементів ключового стовпця дорівнюють нулю. Занулення елементів досягається додаванням ключового рядка, помноженого на число k, до рядка, що заповнюється. Число k вибирається протилежним до того, на місці якого буде нуль.

 

1.3. Матричний метод розв’язування систем лінійних алгебричних рівнянь.

      Якщо систему рівнянь записати  у векторно – матричній формі  (1.13), а кількість рівнянь системи та число невідомих будуть однакові й det A≠ 0, то для її розв’язання, крім формул Крамера, можна використати матричний метод. Для цього треба знайти матрицю, що є оберненою до А, і помножити рівність (1.13) зліва на неї.

Тоді                                      ,

або                                              .                         (1.14)

Формула (1.14) виражає розв’язок, здобутий матричним методом.

Приклад. Знайти розв’язок системи рівнянь

                        

                                                  

Матриця системи рівнянь А =      має обернену матрицю, оскільки

det a = -3. Оберненою є матриця

Отже, х₁ = 1; х₂ = 1; х₃ = 1.

Якщо кількість рівнянь  системи і число невідомих  різні, то розбиваємо матрицю за стовпцями  на дві частини, першу з яких складає під матриця коефіцієнтів при базисних (б), другу – при вільних (в) невідомих:

                     А = ( А_б, А_в ).                          (1.15)

Тоді систему  рівнянь (1.13) можна переписати у вигляді

А_б

б+ А_{в в} = .

Якщо знайти обернену матрицю до матриці А_б , то загальний розв’язок

 системи  рівнянь (1.13) матиме вигляд 

б = А^-1_б – A^-1_{в в}.

     Процес відшукання оберненої матриці рівнозначний розв’язанню спеціальних систем рівнянь, кількість яких дорівнює порядку матриці.

 Дійсно, згідно  з означенням оберненої матриці 

Аx=Е.

Стовпці матриці x є невідомими,які потрібно знайти. Перша система рівнянь має вигляд Аx₁ = e_1, друга - Аx₂ = e₂  і т. д.,де  e_i – одиничні вектори,в яких усі координати дорівнюють нулю,за винятком i-ї,що дорівнює 1. Обернену матрицю можна обчислювати за методом виключення Жордана-Гаусса.

 Розглянемо задачі, що приводять до складання і

рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь на основі про-

гнозу випуску  продукції по відомих запасах  сировини.

Приклад. Підприємство випускає три види продукції, використовуючи сировину трьох типів. Необхідні характеристики виробництва зазначені в табл. 1.Потрібно визначити обсяг випуску продукції кожного виду при заданих запасах сировини. Задачі такого роду типові при прогнозах і оцінках функціонування підприємств, експертних оцінках проектів освоєння родовищ корисних копалин, а також у планування мікроекономіки підприємств.

Вид сировини	Витрати сировини за видами продукції. вага од/вик.			Запас сировини, Вагв. од.
	1	2	3
1	6	4	5	2400
2	4	3	1	1450
3	5	2	3	1550

 

Таблиця 1

 Розв’язання. Позначимо невідомі обсяги випуску продукції через

х₁ х₂ і х₃. Тоді за умови повної витрати запасів для кожного

виду сировини можна записати балансові співвідношення, що утворюють систему трьох рівнянь із трьома невідомими:

Розв’язуючи цю систему рівнянь будь-яким способом, знаходимо, що при за-

даних запасах сировини обсяги випуску продукції складуть по кажно-

му виду, відповідно (в  умовних одиницях),

х₁ = 150,   х₂ = 250,   х₃ = 100.

Загальна постановка задачі прогнозу випуску продукції. Нехай

С = || c_ij|| ; і = 1, 2,..., m,  j = 1, 2,..., n                                (2.1)

- матриця витрат  сировини m видів при випуску продукції п видів. Тоді, при відомих обсягах запасу кожного виду сировини, що утворюють відповідний вектор

                                  (2.2)

вектор-план = ( x₁, x₂,..., x_n ) випуску продукції визначається з розв’язку системи m рівнянь з n невідомими:

   

                                        (2.3)

де індекс "т" означає транспонування вектора-рядка  в вектор-стовпець.

 

 

 

 

 

 

 

 

Однорідна система рівнянь.

Однорідною  називають систему рівнянь,в якій вільні члени b_i дорівнюють нулю.

У загальному вигляді  однорідна система рівнянь записується  так:

                            (1.17)

Очевидно, і  це легко перевірити за формулами Крамера, що коли визначник системи рівнянь не дорівнює нулю, то воно має єдиний розв’язок (нульовий).

Теорема 3. Для того щоб система рівнянь (1.17) мала нетривіальний розв’язок,необхідно і достатньо, щоб її визначник det b_ij дорівнював нулю.

Доведення. Необхідність очевидна. Якщо det b_ij ≠ 0 ,то, як уже згадувалося, x_i = 0(i= 1,…, n).

Достатність доведемо, застосовуючи метод математичної індукції. Очевидно, що для n=1твердження є справедливим, оскільки замість системи рівнянь (1.17) маємо одне рівняння b₁₁x₁ = 0.

Нетривіальний розв’язок можливий лише за умови b₁₁x₁ = 0. Припустимо за методом математичної індукції,що результат справедливий при k=n-1. Звідси доведемо, що коли визначник системи рівнянь(1.17) дорівнює  нулю, то існує нетривіальний розв’язок. Цілком природно,що хоча б один елемент b_ij не дорівнює нулю, оскільки інакше всі  елементи будуть нулями і будь-який     n-вимірний вектор є розв’язком системи рівнянь. Будемо вважати,що              b₁₁ ≠ 0.Тоді,використовуючи метод Гаусса,виключимо x₁ з усіх рівнянь,за винятком першого. Застосувавши  формули переходу, запишемо систему рівнянь

                                 (1.18)

з визначником

=0

Оскільки b₁₁ ≠ 0,виходить,що (n-1)-вимірний визначник дорівнює нулю. З іншого боку, він є визначником системи рівнянь порядку  n-1, яку дістанемо з (1.18), якщо не враховувати перше рівняння. За припущенням математичної індукції вона має розв’язок  =( ₂,…, _n). Із першого рівняння (1.18) знаходимо

 Розв’язок ₁, ₂,…, _n і є нетривіальним розв’язком однорідної системи рівнянь (1.17).

Теорема 4. Загальний розв’язок неоднорідної  системи рівнянь А =

x = y +υ,                                 (1.19)

де y – загальний розв’язок  відповідної  однорідної системи рівнянь Ау = 0, а υ – довільний частинний розв’язок неоднорідної системи рівнянь А = .

Доведення. Підставляємо розв’язок (1.19)  у систему рівнянь A = :А(у + υ) = Ау + Аυ = 0 + b = b.

Отже, розв’язок (1.19) задовольняє вихідну систему рівнянь. Найчастіше за частинний розв’язок вибирають базисний. Систему рівнянь, в якій відповідна неоднорідна система рівнянь має нетривіальний розв’язок, іноді називають невизначеною.

 

 

 

 

 

                  

 

 

 

 

 

  2. Застосування систем рівнянь для аналізу моделі Леонтьєва «витрати – випуск»

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь широко застосовуються на практиці. Зумовлено це багатьма об’єктивними чинниками, серед яких можна виділити два основних. По-перше, значна кількість задач з економіки має властивості  подільності й адитивності. По-друге,в тих випадках, коли математичні моделі нелінійні,їх можна лінеаризувати, тобто наближено замінити адекватною лінійною моделлю. У цьому разі ми дещо поступимося точністю оцінки ситуації, але зможемо простіше здійснити необхідні обчислення.

Прикладом найпростішої лінеаризованої моделі є заміна функції двох змінних(яка, наприклад, виражає критерій ефективності ) її розвиненням у ряд Тейлора:     

Відкинувши  вираз (││х – х⁰││² ) і поклавши f(x₁,x₂) = C, дістанемо лінійне рівняння, яке відповідає фіксованому значенню функції С. Зазначимо, що математичні моделі реальних задач описуються системами лінійних алгебраїчних рівнянь, які мають велику вимірність. Вони містять десятки, сотні або й тисячі рівнянь і невідомих, визначення яких потребує використання електронно-обчислюваної техніки.

Наприклад, якщо в ситуації, запропонованій Ф. Кене, для обчислень  достатньо системи трьох лінійних рівнянь, то в розрахунках економіки  сучасного підприємства, що випускає десятки одиниць продукції , їх буде вже не менше кількості кінцевого продукту.

Другою особливістю застосування лінійних рівнянь є той факт, що майже всі коефіцієнти матриці  системи рівнянь обчислюють наближено. Тому обчислення слід виконувати з  певною точністю(0,1%, чотири знаки  після коми тощо). Вибираючи методи розв’язання системи рівнянь,слід орієнтуватися на ті, які не погіршують точності обчислень.

Третьою особливістю практичних лінійних моделей є блокова структура  коефіцієнтів матриці системи рівнянь, серед яких є багато нулів або таких, що повторюються. Наприклад, модель планування може характеризуватися блоковою структурою, де Е – одиничні матриці, а заштриховані прямокутники – блоки підматриці з ненульовими коефіцієнтами. Василь Леонтьєв поклав початок систематизованому дослідженню економіки в її частково розширеному вигляді. При такому підході виробничі процеси в економіці розкрупнюються  до рівня N секторів (галузей) виробництва,  хоча й не до рівня окремих підприємств або фірм, та аналізуючи переміщення продуктів, товару, послуг між цими галузями. Зазначимо, що

 « чиста галузь» є деякою економічною абстракцією. Вона не обов’язково існує реально у вигляді деякого міністерства чи об'єднання. Наприклад, під галуззю «електроенергетика» можна розуміти  сукупність усіх електростанцій незалежно відомчої належності. Така відокремленість галузей утруднює практичне застосування здобутих результатів, але, з іншого боку, дає змогу провести детальний аналіз технологічної структури суспільного виробництва і розподілу.

     Основні припущення моделі, яку в подальшому будемо називати моделлю Леонтьєва, такі:

1. В економічній системі виробляється, купляється, споживається та інвестується n видів продукції, які позначатимемо індексами

1, 2, 3, …, n.

2. Кожна галузь виробляє лише один вид продукції. Отже, спільне виробництво різних товарів виключається. Різні галузі виробляють різні товари і тому галузь, що виробляє продукцію виду i, позначатимемо тим самим індексом.
3. Під виробничим процесом у кожній галузі розумітимемо перетворення деяких ( можливо, всіх ) видів продукції, взятих у певних кількостях, на деяку кількість продукції одного чи іншого виду. При цьому припускається, що співвідношення витраченої і випущеної продукції є сталим.

У моделі Леонтьєва  такий характер перетворень можна  описати так: якщо для виробництва  одиниці продукції в  j-й галузі треба витратити а_ij одиниць  і-ї продукції, то випуск λ одиниць j-ї продукції потребує витрат λа_ij одиниць  і-ї продукції (і = 1,…, n). Ці n₂ величин а_ij називають витратними ( або технологічними) коефіцієнтами. Припускається, що вони сталі. За термінологією економістів у моделі зберігається сталість питомого випуску при сталих пропорціях витрат ( незалежно від масштабів виробництва).

     Через  Х_i позначимо загальний обсяг продукції, випущеної галуззю під номером і за одиницю часу ( наприклад, рік ). Ці величини визначають валовий випуск і-ї галузі. Частина валового випуску споживається у вигляді витрат, необхідних для виробництва. Тоді кінцеву продукцію ( У_і ) запишемо як різницю між валовим випуском Х_і і-ї галузі та продукцією, спожитою як виробничі витрати в усій економічній системі. Остання частина продукції обчислюється за формулою   

Якщо через У_j позначити кінцеву продукцію, тобто частину, що була спожита у невиробничій галузі для створення запасів, інвестицій, експорту тощо, то дістанемо систему рівнянь,                                        

яку називають моделлю Леонтьєва «витрати-випуск».