Простейшая симметрия (асимметрия) в пространстве и времени

3. Сдвиг  начала отсчета по времени,  соответствующий симметрии

относительно  переноса по времени. Этот вид симметрии  связан с физической эквивалентностью различных моментов времени и  однородностью времени, т. е. его  равномерным течением во всех инерциальных системах отсчета. Смысл эквивалентности  различных моментов времени заключается  в том, что все физические явления  протекают независимо от времени  их начала (при прочих равных условиях).

4. Равномерное  прямолинейное движение начала  отсчета со скоростью V,

т.е. переход  от покоящейся системы в системе, движущейся равномерно и прямолинейно. Это возможно, т.к. такие системы  эквивалентны. Такую симметрию условно  называют изотропностью пространства- времени. Переход же осуществляется с помощью преобразований Галилея или преобразований Лоренца

     В 1918 г. немецкий математик Эмми Нетер доказала фундаментальную теорему, устанавливающую связь между свойствами симметрии и законами сохранения. Суть теоремы в том, что непрерывными преобразованиями в пространстве-времени, оставляющими инвариантным действие, являются: сдвиг во времени, сдвиг в пространстве, трехмерное пространственное вращение, четырехмерные вращения в пространстве-времени. Согласно теореме Нетер, из инвариантности относительно сдвига во времени следует закон сохранения энергии; из инвариантности относительно пространственных сдвигов – закон сохранения импульса; из инвариантности относительно пространственного вращения – закон сохранения момента импульса; инвариантность относительно преобразований Лоренца (четырехмерные вращения в пространстве-времени) – обобщенный закон движения центра масс: центр масс релятивистской системы движется равномерно и прямолинейно. Теорема Нетер относится не только к пространственно-временным симметриям, но и к внутренним. Например, при всех превращениях элементарных частиц сумма электрических зарядов частиц сохраняется неизменной.

     Закон сохранения заряда в  макросистемах был подтвержден  экспериментальным путем задолго  до Нетер, в 1843 г. М. Фарадеем. Строгого научного объяснения причин выполнения закона сохранения заряда пока нет.

                                      Формулировка теоремы Нетер.

1. Классическая механика

     Каждой однопараметрической группе диффеоморфизмов g^s(q_i), сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл системы, равный

     В терминах инфинитезимальных  преобразований, пусть инфинитезимальное  преобразование координат имеет  вид 

и функция  Лагранжа инвариантна относительно этих преобразований, то есть

Тогда у системы существует первый интеграл, равный

     Теорему можно обобщить на  случай преобразований, затрагивающих  также и время, если представить  её движение как зависящее  от некоторого параметра τ, причем в процессе движения t = τ. 

2. Теория поля.

     Теорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом степеней свободы, примером которых являются гравитационное и электромагнитное поле. А именно, пусть функция Лагранжа системы зависит от n потенциалов, зависящих, в свою очередь, от k координат. Функционал действия будет иметь вид

Пусть однопараметрическая группа g^s диффеоморфизмов пространства потенциалов сохраняет функцию Лагранжа, тогда сохраняется вектор называемый вектором потока Нётер. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование .

     Смысл сохранения вектора потока  Нётер в том, что  поэтому поток J через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую временем, и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток J через такую гиперплоскость постоянен во времени, при условии достаточно быстрого спадения поля на бесконечности и некомпактности гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса.

      В классической механике законы  сохранения энергии, импульса  и момента импульса выводятся  из однородности/изотропности лагранжиана системы — лагранжиан (функция Лагранжа) не меняется со временем сам по себе и не изменяется переносом или поворотом системы в пространстве. По сути это означает то, что при рассмотрении некой замкнутой в лаборатории системы будут получены одни и те же результаты — вне зависимости от расположения лаборатории и времени проведения эксперимента. Другие симметрии лагранжиана системы, если они есть, соответствуют другим сохраняющимся в данной системе величинам (интегралам движения); например, симметрия лагранжиана гравитационной и кулоновской задачи двух тел приводит к сохранению не только энергии, импульса и момента импульса, но и вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

      Теорема Нётер позволяет получать  значительную информацию о свойствах  решений системы дифференциальных  уравнений, основываясь лишь на  их симметрии. Она также является  одним из методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, так как позволяет в некоторых случаях находить первые интегралы системы уравнений и таким образом понижать число неизвестных функций.      Например:

     Сохранение импульса системы следует из её инвариантности относительно пространственных сдвигов. Конкретнее, если сдвиг вдоль оси X не меняет систему уравнений, то сохраняется импульс p_x вдоль этой оси.

     Сохранение момента импульса следует из инвариантности системы относительно вращений пространства.

     Закон сохранения энергии — это следствие однородности времени, позволяющей произвольным образом сдвигать начало отсчёта времени.

     В случае уравнений в частных производных необходимо, вообще говоря, искать бесконечное число первых интегралов. Даже зная их, обычно нелегко выписать общее решение.

     В силу своей фундаментальности,  теорема Нётер используется в  таких областях физики, как квантовая механика, для самого введения понятий импульса, момента импульса и т. д. Инвариантность уравнений относительно некоторых симметрий становится единственной сутью этих величин и гарантирует их сохранение.

     В квантовой теории поля аналогом  теоремы Нётер являются тождества Уорда — Такахаши (англ.), позволяющие получить дополнительные законы сохранения. Например, сохранения электрического заряда следует из инвариантности физической системы относительно изменения фазы комплексной волновой функции частицы и соответствующей калибровки векторного и скалярного потенциала электромагнитного поля.

     Заряд Нётер также используется  для вычисления энтропии стационарной чёрной дыры.

                                                 Заключение

     Пространство и время традиционно рассматривались в философии и науке как основные формы существования материи, ответственные за расположение отдельных элементов материи друг относительно друга и за закономерную координацию сменяющих друг друга явлений.

     Проблема времени и пространства всегда интересовала человека не только в рациональном, но и на эмоциональном уровне. Люди не только сожалеют о прошлом, но и боятся будущего, не в последнюю очередь потому, что неотвратимый поток времени влечет к их смерти. Человечество в лице своих выдающихся деятелей на протяжении всей своей сознательной истории задумалось над проблемами пространства и времени, немногим из них удалось создать свои теории, описывающие данные фундаментальные атрибуты бытия. Пространство и время лежат в основе нашей картины мира.

 Прошлый  век  - век бурного развития  науки был наиболее плодотворным  в плане познания времени и  пространства. Появление в начале  века сначала специальной, а  потом и общей теории относительности, а также теории сохранения Нетер заложило основу современного научного представления о мире, многие положения теорий были подтверждены опытными данными. Теорема Нетер установила связь между свойствами симметрии и законами сохранения. Теория относительности показала единство пространства и времени, выражающееся в совместном изменении их характеристик в зависимости от концентрации масс и их движения. Тем не менее вопрос познания пространства и времени, их природы, взаимосвязи и даже наличия во многом остается открытым. 
 
 
 
 
 

                                               Список литературы

1.  Найдыш В.М. Концепции современного естествознания: Учебник. — Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Альфа-М; ИНФРА-М, 2004.

2. Садохин А.П. Концепции современного естествознания: учебное пособие.- М.: ЭКСМО, 2005.

3. Карпенков С.Х. Концепции современного естествознания: Учеб. – М.: Высш. Шк., 2001.

4. Михайлова  Л.А. Концепции современного естествознания: учебник для вузов / Под ред..- СПб.: Питер, 2008.

5. Горелов  А.А. Концепции современного естествознания: учебное пособие.- М.: Центр, 1997

6. Лавриненко В.Н., Ратников В.П..Концепции современного естествознания: Учебник для вузов — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006

7. Лейбниц Г.В. Переписка с Кларком // Соч.: В 4т. М., 1982. Т. 1. С. 441

8. Клиффорд  В. О пространственной теории  материи // Альберт Эйнштейн и  теория гравитации. М., 1979

9.  Арнольд В. 1983 г.И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М.: Едиториал УРСС, 2003

10.  Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 280 с.,