Избранные главы механики

      Ответ: сила удара мяча о стенку  равна 10 Н.

      Задача 10. Пластилиновый шарик массой 50 г, летящий со скоростью 20 м/с перпендикулярно к стенке, ударяется о стенку и прилипает к ней. Определить силу удара, если длительность его 0,1 с.

      Решение

      Скорость  шарика после удара равна 0. Поэтому  по второму закону Ньютона 

      F = DР/Dt = m(V₂ –V₁)/Dt  или в скалярном виде  F = = - = -10 Н.

        Знак “минус” означает, что при  неупругом ударе сила удара со стороны стенки направлена противоположно первоначальному направлению движения шарика.

      Ответ: сила неупругого удара шарика о стену  равна 10 Н.

      Примечание. Сравните результаты решения задач 8, 9 и 10 и ответьте на  вопрос: в каком случае сила удара мяча о стенку будет максимальной.  

      Задача 11. Какое усилие должен развить велосипедист, чтобы за 10 с движения изменить скорость с 18 км/ч до 54 км/ч при коэффициенте полезного действия педальной системы 60 %? Масса велосипеда вместе с велосипедистом 72 кг.

      Решение

      Для увеличения скорости с V₁  до  V₂ необходимо действие силы, которую будем считать постоянной, равной F = DР /t = m(V₂ –V₁)/Dt. Так как направление движения не менялось, то  F = .

      Часть приложенного усилия тратится на преодоление силы трения в педальной системе. Поэтому приложенное (затраченное)  усилие должно быть больше F, то есть F₃ = F/h = = 120 Н.

      Ответ: велосипедист должен развить усилие 120 Н.

      Задача 12.  Вагон массой  2,4 т,  движущийся  со скоростью  36 км/ч,  догоняет другой  вагон массой  4 т,  движущийся со скоростью  4 м/с, и  сцепляется  с  ним.  С какой скоростью стали двигаться вагоны после сцепления?

      Решение

       Пусть V₁ – скорость движения первого вагона, V₂ – скорость движения второго вагона, а V – скорость движения вагонов после сцепления. В горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы, поэтому можем считать ее изолированной. За положительное направление примем направление движения вагонов (рис.10). Тогда по закону сохранения импульса суммарный импульс вагонов до сцепления равен суммарному импульсу вагонов после сцепления. В векторной  форме этот  закон имеет следующий вид: 

(m₁V₁+m₂V₂)= (m₁+m₂)V. А так как все векторы скорости направлены вдоль выбранной оси, то скалярный вид уравнения m₁V₁+m₂V₂=(m₁+m₂)V. Здесь предполагается, что после сцепления вагоны продолжили движение в первоначальном направлении. Отсюда    V = =  6,25 м/с. 

      Значение  скорости получилось в результате вычислений положительным, что означает, что наше предположение о направлении движения сцепленных вагонов верно: сцепленные вагоны продолжили движение в прежнем направлении.

      Ответ: после сцепления вагоны стали  двигаться со скоростью 6,25 м/с в  том же направлении.

      Задача 13. Две лодки движутся по инерции параллельными курсами. Когда лодки поравнялись, с одной из них на другую осторожно опустили груз массой 30 кг. После этого лодка массой 300 кг, в которую переложили груз, остановилась, а скорость другой лодки V₁ = 1,5 м/с не изменилась. С какой скоростью двигалась вторая лодка до того, как в нее переложили груз? Задачу решить двумя способами

      Решение

      1. Рассмотрим систему «две лодки  и груз». Предположим, что процесс  перекладывания груза с лодки M₁ в лодку M₂ происходил так быстро, что импульсом внешних сил, действующих на лодку, можно пренебречь. В этом случае можно считать, что импульс лодок и груза сохраняется.. Тогда   Р₁ = Р₂,  где Р₁ – импульс системы до взаимодействия; равный  Р₁=(M₁+m)V₁+M₂V₂;  Р₂ = M₁V₁ – импульс системы после взаимодействия. (M₁+m)V₁+M₂V₂ =M₁V₁, откуда получаем  V₂= - = 0,15 м/с.

      2. Рассмотрим систему “груз – лодка M₂”. В момент касания грузом дна лодки выполняется закон сохранения импульса  в виде    mV₁+M₂V₂= 0.

      Тогда  находим V₂= - . Результат получили тот же самый.

      Ответ: вторая лодка двигалась со скоростью 0,15 м/с.

      Примечание. Можно рассматривать как всю систему тел, так и изменение импульса любого из тел, составляющих данную систему.

      Задача 14. Из игрушечной пушки массой 0,28 кг, скользившей по гладкой горизонтальной поверхности, выстрелили шариком массой 20 г, в результате чего пушка остановилась, а шарик упал на расстоянии 1,8 м от пушки. Найти скорость пушки перед выстрелом и среднюю силу давления пушки на горизонтальную поверхность во время выстрела, длившегося 50 мс. Ствол пушки наклонен к горизонту под углом 45⁰. Сопротивлением воздуха пренебречь.

      Решение

       В качестве системы  будем рассматривать пушку и  шарик. Пусть скорость шарика в момент выстрела равна V₀  и наклонена под  углом a к горизонту (рис. 11). Так как дальность полета шарика известна, то воспользуемся формулой дальности полета тела, брошенного под углом к горизонту  l = (v₀² Sin2a)/g. Отсюда v₀= .          

      В  силу того, что горизонтальные силы отсутствуют, горизонтальная составляющая суммарного импульса сохраняется. P_1x=P_2x, где P_1x=(m+М)u,

                    P_2x=mv_0x= mv₀ Сos a

      (тележка  после выстрела остановилась);  (m+М) u = mv₀ Сos a.

      В вертикальном направлении на систему действуют внешние силы сила реакции опоры N и силы тяжести mg и Mg. Поэтому для вертикальной оси, направленной вертикально вверх, изменение импульса равно импульсу действующих сил, то есть P_2y – P_1y = SF_y t.

      P_2y = m V₀ Sin a,  . P_1y = 0,   SF_y t = t (N - mg - Mg).  mV₀ Sin a = t (N - mg – Mg).

      Решая систему уравнений 

       (m+М)u=mV₀ Сos a;

        mV₀ Sin a = t (N - mg - Mg),

 находим скорость тележки до выстрела  u = 0,2 м/с и  силу реакции опоры N = 4,2 Н.

      Ответ: скорость тележки до выстрела u= 0,2 м/с;  сила реакции опоры N=4,2 Н.

      Задача 15. Два пластилиновых куска массами m₁ и m₂ перед столкновением имели скорости V₁  и V₂, направленные под углом a друг к другу. В результате неупругого взаимодействия куски  слиплись. Определить скорость V образовавшегося куска. Внешними силами пренебречь.

       Решение

      Поскольку внешних сил нет, мы вправе воспользоваться  законом сохранения импульса

m₁V₁ + m₂V₂ = (m₁ + m₂ )V.    Тогда V=(m₁V₁+m₂V₂)/(m₁ + m₂).

      Модуль  вектора V найдем по теореме косинусов   (рис.12).

      Примечание. Еще раз обращаем ваше внимание на векторный характер операций, производимых с импульсами системы.