Изучение статистических метода обработки опытных данных, подчиняющихся нормальному закону распределения случайных величин

Сибирский федеральный университет

Институт  фундаментальной подготовки 
 

Лабораторная  работа  № 1

Изучение  статистических метода обработки опытных  данных, подчиняющихся нормальному  закону распределения случайных  величин. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила: Студентка Иванова Е.А. 

Группа  РФ 10-11

Допуск: 
 

Защита: 
 
 
 

Красноярск 2010 
 
 

        Цель работы: изучение статистических методов обработки опытных данных, подчиняющихся нормальному закону распределения случайных величин.

        Оборудование: наручные часы с секундной стрелкой, электронный секундомер. 

Краткие теоретические сведения 

        Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту  нерегулярно и, на первый взгляд, беспорядочно. Результат каждого отдельного измерения случайной величины практически непредсказуем. Однако совокупности результатов измерений подчиняются статистическим закономерностям, изучение которых служит одной из основ теории и практики физического и инженерного эксперимента. Существует множество законов распределения случайных величин. Одним из наиболее распространенных является нормальный закон распределения, описываемый функцией Гаусса: 

               

,                           (1) 

где ρ(t) – плотность нормального распределения случайной величины t, σ – среднеквадратичная ошибка или стандарт.

        Закономерность распределения значений изучаемой случайной величины t становится наглядной, если построить гистограмму - ступенчатую диаграмму, показывающую, как часто при измерениях появляются значения, попадающие в тот или иной из равных интервалов Dt, лежащих между наименьшим и наибольшим из наблюдаемых значений величины t.

        Гистограмму строят в следующих  координатах (рис 1): ось абсцисс – измеряемая величина t; ось ординат – ΔN/NΔt. Здесь N - полное число измерений, ΔN - число результатов, попавших в интервал [t, t + Δt]. Частное ΔN/N - есть доля результатов, попавших в указанный интервал, и характеризует вероятность попадания в него результата отдельного измерения. Отношение этой величины к ширине интервала ΔN/NΔt называется "плотностью вероятности".

        При очень большом числе измерений  ( ) вместо ступенчатой гистограммы получается плавная кривая зависимости 

               .                          (2) 

        Эту функцию называют плотностью  вероятности или законом распределения по t. Чтобы сравнить наблюдаемое распределение с нормальным распределением (1), нужно найти по данным измерений параметры <t> и σ функции Гаусса (приближенно, поскольку число измерений ограничено). Параметр <t> есть среднее арифметическое случайной величины 

                              .                      (3) 

Параметр  σ является средним квадратичным отклонением наблюдений от среднего <t>: 

                 

(4) 

        Из анализа формулы (1) следует,  что плотность нормального распределения имеет максимум  

                                    

,                                   (5) 

при значении t = <t> и симметрична относительно <t>. Нетрудно сравнить “наибольшую высоту гистограммы” и максимальное значение функции Гаусса (5).

        Для количественной проверки  того, насколько хорошо полученные  результаты соответствуют нормальному распределению, можно воспользоваться соотношением (6) 

                                       

,                                   (6) 

в котором  вероятность Р₁₂ попадания результата измерения в интервал (t₁, t₂) c одной стороны может быть вычислена как интеграл функции Гаусса в этих пределах, а с другой стороны - найдена как относительное число наблюдений N₁₂ , результаты которых попали в этот интервал. При сравнении наблюдаемого распределения с нормальным (1) можно воспользоваться известными значениями вероятности распределения случайной величины для наиболее употребительных в технике измерений пределов: 

                    t(<t>-s;  <t>+s),                    P_s = 0,68; 

                    t(<t>-2s; <t>+2s),                 P_2s = 0,95; 

                    t(<t>-3s; <t>+3s),                 P_3s = 0,997. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 1

 

Таблица 2 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Таблица 3

      Ход работы:

  1. Провели 50 раз  измерений выбранного  промежутка времени. Промежуток равен 9 с. Показания цифрового частотомера занесли  во второй столбец табл. 1.

        2. Нашли  в табл. 1 наименьший t_min и наибольший t_max из результатов наблюдений. Промежуток (t_min - t_max) разбили на 6 равных интервалов Δt. Границы интервалов занесли  в табл. 2.

        3. Подсчитали  число  результатов наблюдений  в табл. 2, попавших  в каждый интервал Δt_i, и заполнили второй столбец табл. 2.

        4. Вычислим опытные  значения плотности  вероятности попадания  случайной величины в каждый из интервалов Δt_i. Заполним третий столбец табл. 2. 

        5. Построим  гистограмму  для чего по  оси абсцисс откладывали   интервалы Δt_i, являющиеся основаниями прямоугольников, высота которых равна плотности вероятности ρ_i.

  6. Вычислим <t> по (3) и s по (4). Полученные значения занесите в табл. 1.

        7. По формуле (5) найдём максимальное  значение плотности  вероятности r_max при t = <t>. Результаты занесли в табл. 1. Сравнили полученные значения r_max с наибольшей высотой гистограммы.

        8. Для значений  t, соответствующих границам выбранных интервалов, вычислили по функции Гаусса (1) значения плотности вероятности r(t) и занесли их в четвертый столбец табл. 2.

        9. Нанесли  все  расчетные точки  на график, на котором  изображена гистограмма, и провели через них плавную кривую.       

10. Вычислили  границы  интервалов, указанных  в первом столбце  табл. 3. По данным  табл. 1 подсчитали  число наблюдений  N₁₂, попадающих в каждый из трех интервалов, а также отношение N₁₂/N (6). Сравнили их с известными значениями Р₁₂, соответствующими нормальному распределению случайных величин (1).