Молекулярно-кинетическая теори Основное уравнение МКТ газов. Температура

Молекулярно-кинетическая теори

Основное  уравнение МКТ  газов. Температура

Простейшей  моделью, рассматриваемой молекулярно-кинетической теорией, является модель идеального газа. В кинетической модели идеального газа молекулы рассматриваются как идеально упругие шарики, взаимодействующие между собой и со стенками только во время упругих столкновений. Суммарный объем всех молекул предполагается малым по сравнению с объемом сосуда, в котором находится газ. Модель идеального газа достаточно хорошо описывает поведение реальных газов в широком диапазоне давлений и температур. Задача молекулярно-кинетической теории состоит в том, чтобы установить связь между микроскопическими (масса, скорость, кинетическая энергия молекул) и макроскопическими параметрами (давление, объем, температура).

В результате каждого столкновения между молекулами и молекул со стенками скорости молекул  могут изменяться по модулю и по направлению; на интервалах времени  между последовательными столкновениями молекулы движутся равномерно и прямолинейно. В модели идеального газа предполагается, что все столкновения происходят по законам упругого удара, т. е. подчиняются законам механики Ньютона.

Используя модель идеального газа, вычислим давление газа на стенку сосуда. В процессе взаимодействия молекулы со стенкой сосуда между ними возникают силы, подчиняющиеся третьему закону Ньютона. В результате проекция υ_x скорости молекулы, перпендикулярная стенке, изменяет свой знак на противоположный, а проекция υ_y скорости, параллельная стенке, остается неизменной (рис. 3.2.1).

Поэтому изменение  импульса молекулы будет равно 2m₀υ_x, где m₀ – масса молекулы.

Выделим на стенке некоторую площадку S (рис. 3.2.2). За время Δt с этой площадкой столкнутся все молекулы, имеющие проекцию скорости υ_x, направленную в сторону стенки, и находящиеся в цилиндре с основанием площади S и высотой υ_xΔt.

Пусть в единице  объема сосуда содержатся n молекул; тогда число молекул в объеме цилиндра равно nSυ_xΔt. Но из этого числа лишь половина движется в сторону стенки, а другая половина движется в противоположном направлении и со стенкой не сталкивается. Следовательно, число ударов молекул о площадку S за время Δt равно   Поскольку каждая молекула при столкновении со стенкой изменяет свой импульс на величину 2m₀υ_x, то полное изменение импульса всех молекул, столкнувшихся за время Δt с площадкой S, равно   По законам механики это изменение импульса всех столкнувшихся со стенкой молекул происходит под действием импульса силы FΔt, где F – некоторая средняя сила, действующая на молекулы со стороны стенки на площадке S. Но по 3-му закону Ньютона такая же по модулю сила действует со стороны молекул на площадкуS. Поэтому можно записать: 

Разделив  обе части на SΔt, получим: 

где p – давление газа на стенку сосуда.

При выводе этого  соотношения предполагалось, что  все n молекул, содержащихся в единице объема газа, имеют одинаковые проекции скоростей на ось X. На самом деле это не так.

В результате многочисленных соударений молекул  газа между собой и со стенками в сосуде, содержащем большое число  молекул, устанавливается некоторое  статистическое распределение молекул  по скоростям. При этом все направления векторов скоростей молекул оказываются равноправными (равновероятными), а модули скоростей и их проекции на координатные оси подчиняются определенным закономерностям. Распределение молекул газа по модулю скоростей называется распределением Максвелла. Дж. Максвелл в 1860 г. вывел закон распределения молекул газа по скоростям, исходя из основных положений молекулярно-кинетической теории. На рис. 3.2.3 представлены типичные кривые распределения молекул по скоростям. По оси абсцисс отложен модуль скорости, а по оси ординат – относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале от υдо υ + Δυ. Это число равно площади выделенного на рис. 3.2.3 столбика.

Характерными  параметрами распределения Максвелла являются наиболее вероятная скорость υ_в, соответствующая максимуму кривой распределения, и среднеквадратичная скорость   где   – среднее значение квадрата скорости.

С ростом температуры  максимум кривой распределения смещается  в сторону больших скоростей, при этом υ_в и υ_квувеличиваются. 

Чтобы уточнить формулу для давления газа на стенку сосуда, предположим, что все молекулы, содержащиеся в единице объема, разбиты  на группы, содержащие n₁, n₂, n₃ и т. д. молекул с проекциями скоростей υ_x1, υ_x2, υ_x3 и т. д. соответственно. При этом   Каждая группа молекул вносит свой вклад   в давление газа. В результате соударений со стенкой молекул с различными значениями проекций υ_xi скоростей возникает суммарное давление 

Входящая  в это выражение сумма –  это сумма квадратов проекций υ_x всех n молекул в единичном объеме газа. Если эту сумму разделить на n, то мы получим среднее значение   квадрата проекции   скорости молекул: 

Теперь формулу  для давления газа можно записать в виде 

Так как все  направления для векторов скоростей  молекул равновероятны, среднее  значение квадратов их проекций на координатные оси равны между  собой: 

Последнее равенство  вытекает из формулы: 

Формула для  среднего давления газа на стенку сосуда запишется в виде 

Это уравнение  устанавливает связь между давлением p идеального газа, массой молекулы m₀, концентрацией молекул n, средним значением квадрата скорости   и средней кинетической энергией   поступательного движения молекул. Его называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов.

Таким образом, давление газа равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема.

В основное уравнение  молекулярно-кинетической теории газов  входит произведение концентрации молекул n на среднюю кинетическую энергию   поступательного движения. Если предположить, что газ находится в сосуде неизменного объема V, то  (N – число молекул в сосуде). В этом случае изменение давления Δp пропорционально изменению   средней кинетической энергии.

Возникают вопросы: каким образом можно на опыте  изменять среднюю кинетическую энергию  движения молекул в сосуде неизменного  объема? Какую физическую величину нужно изменить, чтобы изменилась средняя кинетическая энергия   Опыт показывает, что такой величиной является температура.

Понятие температуры  тесно связано с понятием теплового равновесия. Тела, находящиеся в контакте друг с другом, могут обмениваться энергией. Энергия, передаваемая одним телом другому при тепловом контакте, называется количеством теплоты.

Тепловое равновесие – это такое состояние системы тел, находящихся в тепловом контакте, при котором не происходит теплопередачи от одного тела к другому, и все макроскопические параметры тел остаются неизменными. Температура – это физический параметр, одинаковый для всех тел, находящихся в тепловом равновесии. Возможность введения понятия температуры следует из опыта и носит название нулевого закона термодинамики.

Для измерения  температуры используются физические приборы – термометры, в которых о величине температуры судят по изменению какого-либо физического параметра. Для создания термометра необходимо выбрать термометрическое вещество(например, ртуть, спирт) и термометрическую величину, характеризующую свойство вещества (например, длина ртутного или спиртового столбика). В различных конструкциях термометров используются разнообразные физические свойства вещества (например, изменение линейных размеров твердых тел или изменение электрического сопротивления проводников при нагревании).

Термометры  должны быть откалиброваны. Для этого  их приводят в тепловой контакт с  телами, температуры которых считаются заданными. Чаще всего используют простые природные системы, в которых температура остается неизменной, несмотря на теплообмен с окружающей средой – это смесь льда и воды и смесь воды и пара при кипении при нормальном атмосферном давлении. По температурной шкале Цельсия точке плавления льда приписывается температура 0 °С, а точке кипения воды – 100 °С. Изменение длины столба жидкости в капиллярах термометра на одну сотую длины между отметками0 °С и 100 °С принимается равным 1 °С. В ряде стран (США) широко используется шкала Фаренгейта (T_F), в которой температура замерзающей воды принимается равной 32 °F, а температура кипения воды равной 212 °F. Следовательно, 

Особое место  в физике занимают газовые термометры (рис. 3.2.4), в которых термометрическим веществом является разреженный газ (гелий, воздух) в сосуде неизменного объема (V = const), а термометрической величиной – давление газа p. Опыт показывает, что давление газа (при V = const) растет с ростом температуры, измеренной по шкале Цельсия.

Чтобы проградуировать  газовый термометр постоянного  объема, можно измерить давление при  двух значениях температуры (например, 0 °C и 100 °C), нанести точки p₀ и p₁₀₀ на график, а затем провести между ними прямую линию (рис. 3.2.5). Используя полученный таким образом калибровочный график, можно определять температуры, соответствующие другим значениям давления. Экстраполируя график в область низких давлений, можно определить некоторую «гипотетическую» температуру, при которой давление газа стало бы равным нулю. Опыт показывает, что эта температура равна –273,15 °С и не зависит от свойств газа. На опыте получить путем охлаждения газ в состоянии с нулевым давлением невозможно, так как при очень низких температурах все газы переходят в жидкое или твердое состояние.