Нелинейные волны солитоны

    

    Рис. 3. Пример группового солитона (штриховая линия)

    зависимостью

    a(x,t)=a₀ ch^-1(

)

    где а_а - амплитуда, а l— половина размера солитона. Обычно под огибающей солитона находится от 14 до 20 волн, причем средняя волна самая большая. С этим связан хорошо известный факт, что самая высокая волна в группе на воде находится между седьмой и десятой (девятый вал). Если в группе волн образовалось большее количество волн, то произойдет ее распад на несколько групп.

    Нелинейное  уравнение Шрёдингера, как и уравнение Кортевега— де Фриса, также имеет широкую распространенность при описании волн в различных областях физики. Это уравнение было предложено в 1926 году выдающимся австрийским физиком Э. Шрёдингером для анализа фундаментальных свойств квантовых систем [4] и первоначально использовано при описании взаимодействия внутриатомных частиц. Обобщенное или нелинейное уравнение Шрёдингера описывает совокупность явлений в физике волновых процессов. Например, оно используется для описания эффекта самофокусировки при воздействии мощного лазерного луча на нелинейную диэлектрическую среду и для описания распространения нелинейных волн в плазме.

                                    

                                  

                                 3. Постановка задачи

    3.1.  Описание модели. В настоящее время наблюдается значительно возрастающий интерес к исследованию нелинейных волновых процессов в различных областях физики (например, в оптике, физике плазмы, радиофизике, гидродинамике и т.д.). Для изучения волн малой, но конечной амплитуды в дисперсионных средах в качестве модельного уравнения часто используют уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ):

    u_t + ии_х + bи_ххх = 0      (3.1) 

    Уравнение КдФ было использовано для описания магнитозвуковых волн, распространяющихся строго поперек магнитного поля или под углами, близкими к .

    Основные  предположения, которые делаются при  выводе уравнения: 1) малая, но конечная амплитуда, 2) длина волны велика по сравнению с длиной дисперсии.

    Компенсируя действие нелинейности, дисперсия дает возможность формироваться в  дисперсионной среде стационарным волнам конечной амплитуды - уединенным и периодическим. Уединенные волны для уравнения КдФ после работы [8] стали называться солитонами [9]. Периодические волны носят название кноидальных волн. Соответствующие формулы для их описания даны в [4].

    3.2. Постановка дифференциальной задачи. В работе исследуется численное решение задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с периодическими условиями по пространству в прямоугольнике Q_T={(t,x):0<t<T, x Î [0,l].

    u_t + ии_х + bи_ххх = 0           (3.2) 

    u(x,t)|_x=0=u(x,t)|_x=l                       (3.3)

    с начальным условием

    u(x,t)|_t=0=u₀(x)                     (3.4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    4. Свойства уравнения  Кортевега - де Фриза 

    4.1. Краткий обзор результатов по уравнению КдФ. Задача Коши для уравнения КдФ при различных предположениях относительно u₀(х) рассматривалась во многих работах [10-17]. Задача о существовании и единственности решения с условиями периодичности в качестве краевых условий была решена в работе [10] с помощью метода конечных разностей. Позже, при менее сильных предположениях, существование и единственность были доказана в статье [11] в пространстве L^¥(0,T,H^s(R¹)), где s>3/2, а в случае периодической задачи - в пространстве L^¥(0,T,H^¥(C))где С - окружность длины, равной периоду, на русском языке эти результаты представлены в книге [12].

    Случай, когда не предполагается какая-либо гладкость начальной функции u₀ÎL₂(R¹), рассмотрен в работе [13]. Там вводится понятие обобщенного решения задачи (3.2),(3.4), устанавливается существование обобщенного решения и(t,х) Î L^¥(0,T,L²(R¹)) в случае произвольной начальной функции u₀ ÎL₂(R¹); при этом и(t,х) Î L²(0,Т;H^-1(-r,r)) для любого r>0, и если для некоторого a  > 0 (x^au₀²(x)) Î L¹(0,+¥) , то 

    

(4.1) 

    Используя обращение линейной части уравнения  при помощи фундаментального решения G(t,x) соответствующего линейного оператора , вводится класс корректности задачи (3.2),(1.4) и устанавливаются теоремы единственности и непрерывной зависимости решений этой задачи от начальных данных. Также исследуются вопросы регулярности обобщенных решений. Одним из основных результатов является достаточное условие существования непрерывной по Гельдеру при t > 0 производной в терминах существования моментов для начальной функции, для любых k и l.

    Задача  Коши для уравнения КдФ исследовалась также методом обратной задачи рассеяния, предложенном в работе [14]. При помощи этого метода были получены результаты о существовании и гладкости решений при достаточно быстро убывающих начальных функциях, причем в [15] установлен, в частности, результат о разрешимости задачи (3.2),(3.4) в пространстве C^¥(О, Т; S(R¹)).

    Наиболее  полный обзор современных результатов  по уравнению КдФ можно найти в [16]. 

    4.2. Законы сохранения  для уравнения  КдФ. Как известно, для уравнения КдФ существует бесконечное число законов сохранения. В работе [17] приводится строгое доказательство этого факта. В работах [11], [12] различные законы сохранения применялись для доказательства нелокальных теорем существования решения задачи (3.2),(3.4) из соответствующих пространств.

    Продемонстрируем  вывод первых трех законов сохранения для задачи Коши на R¹ и периодической задачи.

    Для получения первого закона сохранения достаточно проинтегрировать уравнения (3.2) по пространственной переменной. Получим:

    

    

    

    

    отсюда  и следует первый закон сохранения:

    Здесь в качестве a и b выступают +¥ и -¥ для задачи Коши и границы основного периода для периодической задачи. Поэтому второе и третье слагаемые обращаются в 0.

     (4.2)

    Для вывода второго закона сохранения следует  умножить уравнение (3.2) на 2 u(t,x) и проинтегрировать по пространственной переменной. Тогда, используя формулу интегрирования по частям получим:

    

    но  в силу "краевых" условий все  слагаемые кроме первого опять  сокращаются 

    

    Таким образом второй интегральный закон сохранения имеет вид: 

     

             (4.3) 

    Для вывода третьего закона сохранения нужно  умножить наше уравнение (3.2) на (и² + 2b и_хх), таким образом получим:

    

    После применения несколько раз интегрирования по частям третий и четвертый интегралы сокращаются. Второе и третье слагаемые исчезают из-за граничных условий. Таким образом из первого интеграла получаем:

    

 

    что эквивалентно

     (4.4)

    А это и есть третий закон сохранения для уравнения (3.2). Под физическим смыслом первых двух интегральных законов сохранения в некоторых моделях можно понимать законы сохранения импульса и энергии, для третьего и последующих законов сохранения физический смысл охарактеризовать уже труднее, но с точки зрения математики эти законы дают дополнительную информацию о решении, которая используется потом для доказательств теорем существования и единственности решения, исследования его свойств и вывода априорных оценок. 

 

                                        5. Заключение 

      Настоящая работа посвящена исследованию  уравнения Кортевега – де Фриза. Проведен обширный литературный обзор по теме исследования. Изучены различные разностные схемы для уравнения КдФ. Выполнен практический счет с использованием явной пяти точечной разносной схемы

    

    Как показал анализ литературных источников, явные схемы для решения уравнений  типа КдФ наиболее применимы. В данной работе также решение было получено с использованием явной схемой.  
 
 
 
 

                                                Литература 

    1. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. М.: Наука, 1964. Т. 3.

    2.  Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1965. Вып.4.

    3. Филиппов А. Г Многоликий солитон. М.: Наука, 1986. (Б-чка "Квант"; Вып. 48).

    4. Рубанков В.Н. Солитоны, новое в жизни, науке, технике. М.: Знание, 1983. (Физика; Вып. 12).

    5. Буллаф Р., Кодри Ф. Солитоны. М.: Мир; 1983

    6.  Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

    7. Кружков С.Н. Фаминский А.В. Обобщенные решения для уравнения Кортевега-де Фриза.// Матем. сборник, 1983, т. 120(162), еЗ, с.396-445

    8.  Шабат А.Б. Об уравнении Кортевега-де Фриза // ДАН СССР, 1973, т.211, еб, с.1310-1313.

    9.  Фаминский А.В. Граничные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза и его обобщений: Дисс.... докт. физ.-матем. наук,М:РУДН,2001