Применение метода конформного преобразования в электростатике и гидродинамике

 

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники. 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

Применение  метода конформного преобразования  в электростатике и гидродинамике.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Выполнила  студентка 

      Научный руководитель

                                                                                                                  

Дата сдачи:

Дата защиты:

Оценка: 
 
 
 
 

      2011г.

 

ВВЕДЕНИЕ 

Некоторые из классов  задач уравнений математической физики требуют применения методов  теории функции комплексного переменного. В частности, для решения определенных задач используют конформные преобразования. Состояние методов конформного преобразования до последнего времени было таково, что они представляют собой просто набор известных функций, хотя и достаточно широкий, но все же ограниченный. С их помощью было решено немало различных задач прикладного характера по расчету полей в гидродинамике, электростатике, теории упругости. Были развиты даже самостоятельные научные разделы, такие, как теория струй и теория фильтрации грунтовых вод, позволяющие не только рассчитывать поле, но и находить неизвестные свободные границы. В этой работе исследуется уравнение Лапласа  для двумерного случая в плоской области при заданных граничных условиях. Имеется некоторая двухсвязная неограниченная область и для нее задаются граничные условия. В данной работе мы конформно отобразим заданную двухсвязную неограниченную область.

Цель исследования изучить применение метода конформного преобразования в электростатике и гидродинамике.

Для достижения цели поставленной в курсовой работе нами решались следующие задачи:

• раскрыть сущность понятия метода конформного;
• рассмотреть задачи электростатики и гидродинамики;
• проанализировать   способ применения уравнений Коши-Римана и Лапласа;
• сделать выводы  о проделанной работе.

ГЛАВА I. Основные теоретические сведения. 

• Конформное  преобразование – взаимно однозначное непрерывное соответствие между точками двух областей на поверхностях, при котором сохраняются углы между линиями.
• Условие Коши – Римана – называемые также условиями д’Аламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную   и мнимую  части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного  
• ∆ (название: дельта) – в данной курсовой символ ∆ обозначает оператор Лапласа.
• Электростатическое поле – поле, созданное неподвижными в пространстве и неизменными во времени электрическими зарядами (при отсутствие электрических токов). Электрическое поле представляет собой особый вид материи, связанный с электрическими зарядами и передающий действия зарядов друг на друга.
• Электрическое поле — одна из составляющих электромагнитного поля; особый вид материи, существующий вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, а также в свободном виде при изменении магнитного поля (например, в электромагнитных волнах). Электрическое поле непосредственно невидимо, но может наблюдаться благодаря его силовому воздействию на заряженные тела.
• Плоское электростатическое поле  - поле, силовые линии которого лежат в одной плоскости.
• Аналитическая функция (комплексного переменного) — функция комплексного переменного f(z) = u(z) + iv(z)   (где u(z) и v(z) — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в некоторой области ,

называемой  областью аналитичности, выполняется  одно из трех равносильных условий:

1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);
2. Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится и его сумма равна f(z) (аналитичность в смысле Вейерштрасса);

• Силовые  линии – интегральные кривые для векторного поля. Силовые линии  электрического поля перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

• Эквипотенциальные линии - это воображаемая линия, соединяющая последовательность точек, имеющих одинаковый потенциал в данный момент времени.
• Плоский конденсатор -  конденсатор представляет собой две металлические пластины, расположенные параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии друг от друга.
• В гидродинамике  уравнение непрерывности называют уравнением неразрывности. Оно выражает собой закон сохранения массы в элементарном объеме, то есть непрерывность потока жидкости или газа. Его дифференциальная форма

 

где   — плотность жидкости (или газа),  —вектор скорости жидкости (или газа) в точке с координатами  в момент времени  .

• плоским потоком называется такой поток, в котором жидкость движется параллельно некоторой плоскости, причем во всех плоскостях, параллельных упомянутой, все явления, характеризующие поток  (распределение скоростей, давлений и пр.) Такой поток имеет место всегда при обтекании весьма длинного, по сравнению с поперечными размерами (теоретически говоря, бесконечно длинного), цилиндра, если скорость потока направлена перпендикулярно к образующим цилиндра.
• Фиктивное  течение представляет собой обтекание цилиндра единичного радиуса потоком, имеющим на бесконечности комплексную скорость
• Теорема Бернулли     Постоянная, вообще говоря, для различных линий тока может быть разной; мы знаем только, что левая часть уравнения постоянна всюду вдоль данной линии тока.
• Несжимаемая жидкость - модель среды, плотность которой остаётся неизменной при изменении давления и является её физической характеристикой.
• Идеальная жидкость — в гидродинамике — воображаемая (идеализированная) жидкость, в которой, в отличие от реальной жидкости, отсутствуют вязкость. В идеальной жидкости отсутствует внутреннее трение, то есть, нет касательных напряжений между двумя соседними слоями.
• Однопараметрическое семейство кривых – дано уравнение семейства кривых, зависящее от параметра C, принимающего различные значения. При каждом значении параметра уравнение определяет некоторую кривую на плоскости. Придавая C всевозможные значения, получим семейство кривых, зависящих от одного параметра.
• - вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой.
• Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке.
• Вязкая жидкость —  жидкость, подчиняющаяся в своём течении закону вязкого трения Ньютона, то есть касательное напряжение  и градиент скорости линейно зависимы. Простое уравнение, описывающее поведение вязкой (ньютоновской) жидкости:      где

    τ — касательное напряжение, вызываемое жидкостью [Па]

μ — динамический коэффициент вязкости — коэффициент пропорциональности [Па·с] 

— градиент скорости перпендикулярно направлению сдвига [с⁻¹].

• В соответствии с увеличением порядка дифференциального уравнения при переходе к случаю вязкой жидкости увеличивается и число граничных условий. Так, на твердых неподвижных границах в теории невязкой жидкости ставится одно условие непроницаемости (V, n) = 0, а в теории вязкой жидкости— три (скалярных) условие.

 

 Это — так называемое условие прилипания, оно оправдывается многочисленными экспериментами и отражает тот факт, что между поверхностью твердого тела и вязкой жидкостью существуют силы молекулярного сцепления. На движущихся твердых границах условие прилипания сводится к условию совпадения скоростей жидкости и соответствующих точек поверхности. На свободной граничной поверхности должен обращаться в нуль вектор напряжений:        где n — вектор нормали к поверхности, и кроме того, должно выполняться кинематическое условие, согласно которому нормальная составляющая вектора скорости совпадает со скоростью перемещения поверхности в направлении своей нормали.

ГЛАВА  II. Применение метода конформного преобразования  в электростатике

2.1. Применение метода конформного преобразования в электростатике. 

    Для решения двумерных электростатических  задач часто используется теория  функций комплексного переменного.  Рассмотрим, например, следующую задачу электростатики:

  найти электрическое поле нескольких заряженных проводников,  потенциалы которых равны , ... 

  

  Рис.1

  Такая задача, как известно, приводит к уравнению 

                                                                (2.1)

с граничными условиями

                                                        (2.2)

где через  , обозначена поверхность проводника с номером i. Если поле можно считать плоским, не меняющимся, например вдоль оси z, то уравнение (2.1) и граничные условия принимают вид:

                                               (2.3)

                                                      (2.4)

где — контур, ограничивающий область .

  Будем искать потенциал и как мнимую часть некоторой аналитической функции

                           (2.5)

причем в силу выполнения условий Коши— Римана

                         (2.6)

и

                                               (2.7)

Из граничного условия (2.4) следует, что функция f(z) имеет постоянную мнимую часть на контурах ограничивающих наши проводники.

Обращаясь к условиям (2.6), замечаем, что

                          (2.8)

представляет  собой уравнение семейства силовых  линий ¹), в то время как уравнение

                          (2.9)

в силу условия (2.7) определяет семейство эквипотенциальных линий.

  Таким образом, для решения поставленной задачи достаточно найти конформное преобразование 

переводящее плоскость  комплексного переменного 

на плоскость 

при котором  границы проводников переходят  в прямые (рис.2) 

Рис.2 

или 

  Если  известна такая функция w = f(z), то искомый потенциал находится по формуле 

Зная потенциал, можно вычислить электрическое  поле

                                    (2.10)

и плотность  поверхностных зарядов на единицу  длины по оси z: 

которая в силу условий Коши — Римана равна

                                              (2.11) 

1.2. Поле полубесконечного плоского конденсатора.

 Найдем  поле конденсатора, образованного бесконечно тонкими металлическими пластинами у = —d/2 и у = d/2, простирающимися в области x < 0. Применим преобразование переводящее, область, изображенную на (рис.3) в слой  ∣Im*∣ ≤π, к решению следующей задачи: