Расчет границ интервалов случайного рассеивания

Цель работы: изучение основных распределений случайных величин, используемых в управлении качеством, исследование способов построения интервалов  случайного рассеивания случайных величин для заданных законов распределения в пакете «Statgraphics Centurion XV», анализ доли значений экспериментальных выборок различных распределений, попадающих в интервалы случайного рассеивания.

В процессе выполнения задания  построили интервалы случайного рассеивания с симметричными  «хвостами», соответствующие доверительной  вероятности P=0.95 для распределений, наиболее часто используемых в задачах управления качеством: биномиального (Binomial), нормального (Normal), равномерного (Uniform), Пуассона (Poisson) и распределения Лапласа (Laplace) (т.н. двойного экспоненциального). Однако сначала эти распределения необходимо привести к единому математическому ожиданию (МО) и дисперсии.

Взяв за основу параметры  биномиального распределения N=100 (число испытаний в серии) и p=0.5 (вероятность успеха в каждом испытании), определили параметры остальных распределений, так, чтобы их МО и дисперсия были равны МО и дисперсии биномиального распределения с указанными выше параметрами. Для этого использовали следующие соотношения:

• Для биномиального распределения МО и дисперсия равны соответственно Mx= Np, Dx = Np(1-p). Отсюда можно найти требуемые параметры (МО и СКО) нормального распределения a = Mx, s² = Dx.
• Для равномерного распределения Mx=(a+b)/2, Dx= (b-a)²/12. Так что, приравняв эти величины МО и дисперсии нормального распределения a = Mx, s² = Dx, получаем систему из двух уравнений для определения требуемых параметров равномерного распределения a – нижняя граница, b – верхняя граница распределения.
• Для распределения Пуассона имеется один параметр l = Mx = Dx. Поэтому для этого распределения положим l = Dx = s² , где s² – общая дисперсия для всех исследуемых распределений.
• Для распределения Лапласа Mx = a (Mean), Dx= 2/(l²), где l - параметр масштаба распределения (Scale). Отсюда можно рассчитать l, положив s² = 2/(l²), где s² – общая дисперсия для всех исследуемых распределений.

Binomial:

Mx= Np;

Dx = Np(1-p);

Mx= Np = 0,5*100 = 50

Dx = Np(1-p) =50-50p= 50*0,5 = 25

Normal:

a = Mx=50

s² = Dx=25

s= 5

Uniform:

Mx= Np=50

 Dx=25

Mx=(a+b)/2

50*2= a+b

100= a+b

b=100-a

 

Dx= (b-a)²/12

25=(b-a)²/12

25*12=(b-a)²

300=b-a

17.32=100-a-a

a=41.34

b=58.66

Poisson:

l = Dx = s²=25

Laplas:

Mx = a =50

Dx= 2/(l²)

25=2/l²

l²=2/25=0.08

l=0.28

Используя функции пакета «STATGRAPHICS Plus 5.1», Plot/Probability Distributions вышли на панель Probability Distributions и последовательно выбрали исследуемые распределения. Для каждого распределения в открывшемся окне результатов анализа открыли панель Tabular Options (желтая кнопка) и отметили галочкой Inverse CDF (обратная функция распределения). Функция Inverse CDF (Probability Distributions Analysis) создает и отражает отчет о всех критических значениях выбранного распределения.

 

 Для каждого исследуемого  распределения в появившемся  подокне анализа Inverse CDF с помощью правой кнопки мыши установили определенные в п. 2 параметры распределения в окне Analysis Options и вероятности «хвостов» распределения в окне Pane Inverse CDF. Если заданная доверительная вероятность интервала случайного рассеивания P=0.95 (см. п.1), то Рα₁ и Рα₂ (первая и вторая строки в окне Inverse CDF Options) можно найти следующим образом   Рα₁=(1 – 0,95)/2=0,025;  Рα₂=Р + Рα₁ = 0,95 + 0,025 = 0,975.

    После задания этих параметров и нажатия кнопки «ОК» в подокне анализа Inverse CDF появятся значения квантилей, соответствующих заданным уровням вероятности для исследуемого распределения. Эти значения и определяют интервал рассеивания для соответствующей случайной величины.

 

 

Полученные результаты расчета  интервалов случайного рассеивания  для пяти исследуемых распределений  занесли в Таблицу 1, представленную ниже:

 

Исследуемые распределения	Заданные параметры		Интервал случайного рассеивания [Xmin;Xmax]	Ширина интервала случайного рассеивания (Xmax – Xmin)	График плотности распределения (density)*
	a1	a2
Binomial	N=100	p = 0.5	[40;60]	20
Normal	a =50	s =5	[40 ; 60 ]	20
Uniform	a =41,34	b = 58,66	[ 42 ; 58 ]	16
Poisson	l =25	l = 25	[ 16 ; 35 ]	19
Laplace	a =50	l = 0,28	[ 39 ; 61 ]	22

 

Определение доли попаданий  случайной величины в интервал случайного рассеивания в процессе эксперимента.Смоделировали выборки объемом n = 100 псевдослучайных величин пяти распределений с параметрами, представленными в Таблице.

 Для каждого распределения  (выборки) определили долю (число/100) значений лежащих вне интервала [Xmin;Xmax] и попадающих в этот интервал. Для упрощения подсчета можно, отметив соответствующий столбец выборки и нажав на правую кнопку мыши, использовать функцию пакета Recode/Data, которая позволяет отфильтровать данные, лежащие внутри или вне заданного интервала.

 

 

Таблица 2. –  Доли значений выборки распределений, лежащих  вне и внутри интервалов случайного рассеивания

 

Исследуемые распределения	Интервал случайного рассеивания [Xmin;Xmax]	Доля значений выборки, лежащих вне  интервала [Xmin;Xmax] (a = 1-P)	Доля значений выборки, лежащих внутри [Xmin;Xmax] (P)
Binomial	[40;60]	0,06	0,94
Normal	[40 ; 60 ]	0,03	0,97
Uniform	[ 42 ; 58 ]	0,06	0,94
Poisson	[ 16 ; 35 ]	0,05	0,95
Laplace	[ 39 ; 61 ]	0,03	0,97

Доля значений выборок, лежащих вне интервала рассчитывается как : 6/100=0,06

Доля значений выборки, лежащих внутри: 1-0.06=0.94

 

Вывод:  в процессе выполнения лабораторной работы мы изучили основные распределения случайных величин для заданных законов распределения в пакете «Statgraphics Centurion XV».Для исследуемых распределений ширина интервалов случайного рассеивания примерно одинаковая, самая маленькая ширина интервала у Uniform, а самая большая ширину  у  Laplace. Все интервалы случайного рассеивания по своему значению стремятся к интервалу биноминального рассеивания, т.к. мат.ожидание и дисперсия всех распределений приравнивались к  биноминальному согласно заданию.

Экспериментально полученная доля значений выборок распределений, лежащих внутри этих интервалов, стремится  к заданной доверительной вероятности  попадания случайных величии  в интервал случайного рассеивания.