Введение в физику

">Если  вращение осуществляется вокруг некоторой  оси, то

 

Тангенциальное  и нормальное ускорение, радиус кривизны

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

 

Рис. 2. Тангенциальное ускорение. 
 

 Направление  вектора тангенциального ускорения _т (см. рис.2) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное  ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис.2). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой _n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Радиус  кривизны. Нахождение радиуса кривизны траектории – одна из важных тем школьного курса физики, т.к. решение ряда задач динамики связано с нахождением радиуса кривизны траектории. Однако в курсе физики средней школы данная тема не выделяется в отдельную. В результате чего изучение темы в школе остаётся на уровне движения по окружности, причём зачастую равномерного.

Существует  несколько способов нахождения радиуса  кривизны, один из которых связан с  использованием дифференциального  исчисления, а другой основан на применении физических понятий. Первый метод не доступен учащимся 9 классов, в то время как второй – кинематический метод нахождения радиуса кривизны – опирается на основные понятия  базового школьного курса физики и не вызывает особых затруднений  у учащихся.

Основная  идея кинематического метода нахождения радиуса кривизны заключается в  том, чтобы геометрическую кривую представить  как траекторию какого-либо достаточно простого механического движения и  исследовать это движение методами кинематики и динамики.



Приближение участков криволинейной

траектории  дугами окружностей



Небольшой участок любой криволинейной  траектории всегда можно представить  как часть некоторой окружности. Радиус этой аппроксимированной окружности и называется радиусом кривизны траектории в данном месте. Поэтому выражение  для нормальной составляющей ускорения a_n=v²/R   можно использовать для определения радиуса кривизны траектории R. Величину 1/R называют кривизной траектории в рассматриваемой точке.

Таким образом, радиус кривизны траектории в  данной точке – это радиус такой  окружности, с элементарной дугой  которой совпадает участок криволинейной  траектории в малой окрестности  той точки, где находится движущаяся материальная точка.

Опираясь  на вышесказанное, можно сформулировать приблизительный алгоритм решения  задач по определению радиуса  кривизны траектории в данной точке:

1.  Определить  направление и величину скорости  тела V относительно Земли в данной  точке.

2.  Определить  направление и величину ускорения  тела в данной точке относительно  Земли а.

3.  Выделить  направление, перпендикулярное вектору  скорости, и спроецировать на  это направление вектор ускорения,  т.е. определить нормальную составляющую  полного ускорения a_n.

4.  Пользуясь  формулой a_n=v²/R  и полученными значениями V и a_n , определить радиус кривизны траектории в данной точке. 

Прямая  и обратная задачи кинематики

Задачи  кинематики. Описание движения в произвольной СО. Проанализируем произвольное прямолинейное движение в неподвижной системе отсчета  S. В мире событий оно описывается заданием графика движения  x = f(t) или непрерывной мировой линией произвольной формы. Представляют интерес задачи двух типов: прямая и обратная.  

• По известной мировой линии найти частные (дополнительные) характеристики движения - прямая задача кинематики.
• По известным частным характеристикам движения найти мировую линию частицы - обратная задача кинематики.

Прямая  задача кинематики. Непрерывность МЛ означает наличие в любой момент времени не только определенного значения координаты частицы, но и ее производной. Исходя из определения производной, имеем:  

x' = lim Dx/Dt  = dx/dt. 

Величина v_x = x' называется проекцией мгновенной скорости частицы на ось OX (в нашем случае - просто скоростью частицы) и характеризует направление развития процесса (направление движения вдоль оси OX). В общем случае приращение координаты dx за бесконечно малый промежуток времени dt , а, следовательно, и величина мгновенной скорости зависят от времени (см. рис. 3). На графике это проявляется в изменении тангенса угла наклона, образуемого касательной к МЛ и осью Ot.

Рис. 3. Мировая линия и мгновенная скорость. 

Аналогично  вводится понятие мгновенного ускорения: 

a_x = u_x'  = lim Du_x/Dt = du_x/dt. 

Мгновенное  ускорение показывает, как быстро изменится скорость при бесконечно малом изменении времени для  данного момента t.

На практике часто используется понятие средней  скорости

u_{x ср} = Dx/Dt. Средняя скорость не является полной характеристикой движения, т.к. ее значение зависит от Dt. Средняя скорость может быть как положительной, так и отрицательной.

В отличие  от средней скорости, путь s (расстояние вдоль траектории) и его приращение Ds за время Dt могут принимать только положительные значения. Средняя  путевая скорость равна: 

|u_{x ср}| = u_ср = Ds/Dt. 

Понятие среднего ускорения вводится с помощью  соотношения:  

   a_{x ср} = Du_x/Dt. 

Обратная  задача кинематики.  Рассмотрим, как найти график движения (МЛ) по известной зависимости скорости от времени. Из определения скорости найдем величину конечного перемещения частицы Dx за промежуток времени Dt:

(1.1)

 

Следовательно, положение частицы в любой  момент времени задается уравнением:

(1.2)

Значение  пути Ds, пройденного частицей за время Dt, можно найти, исходя из уравнения:

(1.3)

Используя полученные выражения и определения  средней скорости перемещения v_{x ср}  и средней путевой скорости v_ср,  найдем выражения для их расчета:

(1.4)

(1.5) 

Кинематика  вращательного движения 

Вращательным  называется движение, при котором  все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной  прямой – оси вращения.

1. Характеристики  вращательного движения. 

а) Угловая  скорость . 

Быстрота  вращения характеризуется угловой  скоростью  «омега», которая равна производной от угла поворота тела  по времени  

,

- угол поворота тела за малое  время . 

При равномерном  вращении его быстроту также описывают  частотой оборотов и периодом вращения . Частота оборотов равна числу оборотов, сделанных за единицу времени, 

,

- число оборотов за время  . Т.к. за один оборот тело поворачивается на угол, равный 2 , то  и 

.  

Период  вращения  - это время, за которое тело совершает один оборот. Т.к.

, 

то  .

рад/с , об/с , с .

 

Рис.4. 

б) Угловое  ускорение  . 

Угловое ускорение  «эпсилон» равно производной от угловой скорости по времени , 

,  

 - изменение угловой скорости за время . 

Векторы и направлены по оси вращения тела; вектор угловой скорости  направлен в сторону хода правого винта при вращении винта в направлении вращения тела (рис.3). При ускоренном вращении тела направления векторов  и совпадают, при замедленном – противоположны. 

Связь линейных и угловых  величин в кинематике

Понятно, что линейные и соответствующие  им угловые величины должны быть определенным образом связаны между собой. Найдем эти связи.

Рис. 5. 

При повороте радиуса, проведенного в точку М (см. рис. 5), на угол φ точка пройдет по дуге окружности путь

  . (1) 

За малое  время Δt точка проходит расстояние  , где φ2 и φ1 — углы поворота в конце и в начале интервала Δt. Разделив последнее равенство на Δt и учитывая, что и , получим

  . (2) 

Заметим, что соотношение (2) связывает между  собой линейную и угловую скорости не только при равномерном движении точки по окружности, но- и при  неравномерном движении тоже. Изменение  модуля скорости точки за время Δt есть  , где ω2 и ω1 — угловые скорости в конце и в начале промежутка Δt. Разделим последнее равенство на Δt и учтем, что   и , тогда касательное ускорение

  . (3) 

Соотношения (1), (2) и (3) дают для движущейся по окружности точки простую связь между  линейными и угловыми величинами: линейная величина равна произведению радиуса окружности на соответствующую  угловую величину. Эти соотношения  получены нами для конкретной точки  М колеса троллейбуса, но они справедливы  и для любой другой точки вращающегося (как равномерно, так и неравномерно) тела. 

Сила  как причина изменения  импульса

Одна  из основных идей механики состоит  в том, что сила, приложенная к  телу, есть причина изменения его  скорости. Второй закон Ньютона и  выражает эту идею:

. 

В механике используются еще две величины, связанные  со скоростью. Это — импульс тела (другое, сейчас почти вышедшее из употребления, название этой величины — количество движения) и кинетическая энергия  тела. Импульс тела — векторная величина, равная (по определению) произведению массы тела на его скорость:

. 

Кинетическая  энергия E_k тела — скалярная величина, равная (тоже по определению) половине произведения массы тела на квадрат его скорости:

. 

Поскольку и импульс, и кинетическая энергия  непосредственно выражаются через  скорость тела, а изменение скорости вызывается действующей на тело силой, очевидно, что изменения импульса и кинетической энергии тоже связаны  с силой.

Для импульса тела эта связь следует непосредственно  из второго закона Ньютона, записанного  в виде

(1)