Вырожденный электронный газ

  Основные особенности белых карликов таковы:

  а)  Масса не слишком отличается от массы Солнца при радиусе, в сотню раз меньшем,  чем у Солнца.  Размеры белых  карликов одного порядка с размерами земного шара.

  б)  Отсюда   следует   огромная   средняя    плотность   вещества, доходящая до 10⁶—10⁷ г/см³ (т. е. до сотни тонн, «запрессованных» в кубическом сантиметре!).

в)  Светимость белых карликов очень  мала: в сотни и тысячи раз меньше солнечной.

    При первой же попытке проанализировать условия в недрах белых карликов мы сразу же сталкиваемся с очень большой трудностью. Используя установлена связь между массой звезды, ее радиусом и центральной температурой (Tc»(2pMG)/(pcAR)). Так как последняя должна быть обратно пропорциональна радиусу звезды, то центральные температуры белых карликов, казалось бы, должны достигать огромных значений порядка многих сотен миллионов градусов. При таких чудовищных температурах там должно было выделяться непомерно большое количество ядерной энергии. Даже если предположить, что весь водород там «выгорел», тройная гелиевая реакция должна быть весьма эффективной.

        Выделяющаяся   при   ядерных  реакциях   энергия обязана «просачиваться»   на   поверхность   и   уходить   в   межзвездное   пространство в форме излучения, которое должно было быть исключительно мощным. А между тем светимость белых карликов ничтожна, на несколько порядков меньше, чем у «обычных» звезд той же массы. В чем тут дело?

        Попытаемся разобраться в этом парадоксе.

        Прежде  всего столь сильное  расхождение  между ожидаемой и наблюдаемой светимостью означает, что формула Tc»(2pMG)/(pcAR)), попросту неприменима к белым карликам. Вспомним теперь, какие основные допущения были сделаны при выводе этой формулы. Прежде всего предполагалось,  что звезда   находится  в   состоянии   равновесия под действием двух сил: гравитации и газового давления. Не приходится сомневаться, что белые карлики находятся в состоя гидростатического    равновесия. В противном случае за  короткое время они  перестали бы существовать: рассеялись в межзвездном пространстве, если давление превышало бы гравитацию, либо сжались «в точку», если гравитация не была бы скомпенсирована давлением газа.  Не приходится также сомневаться в универсальности закона всемирного тяготения: сила гравитации действует повсеместно и она не зависит ни от каких других свойств вещества, кроме его количества. Тогда остается только одна возможность: усомниться в зависимости  газового   давления   от  температуры,   которую    получена с помощью хорошо известного закона Клапейрона.

       Этот закон справедлив для идеального газа. Известно, что вещество недр обычных звезд с достаточной точностью можно считать идеальным газом.  Следовательно,  логический вывод состоит в том, что очень плотное вещество недр белых карликов уже не я в л я е т с я     идеальным     газом.

        Правда, резонно вообще усомниться, является ли это вещество газом? Может быть, это жидкость или твердое тело? Легко убедиться, что это не так. Ведь в жидкостях и твердых телах плотно упакованы атом ы, которые соприкасаются своими электронными оболочками, имеющими не такие уж маленькие размеры: порядка 10^-8 см. Ближе чем на такое расстояние атомные ядра, в которых сосредоточена практически вся масса атомов, «придвинуться» друг к другу не могут. Отсюда непосредственно следует, что средняя плотность твердого или жидкого вещества не может значительно превосходить — 20 г/см³. Тот факт, что средняя плотность вещества в белых карликах может быть в десятки тысяч раз больше, означает, что ядра там находятся друг с другом на расстояниях, значительно меньших, чем 10^-8 см. Отсюда следует, что электронные оболочки атомов как бы «раздавлены» и ядра отделены от электронов. В этом смысле мы можем говорить о веществе недр белых карликов как об очень плотной плазме. Но плазма — это прежде всего газ, т. е. такое состояние вещества, когда расстояние между образующими его частицами значительно превышает размеры последних. В нашем случае расстояние между ядрами не меньше чем ~ 10^-10 см, в то время как размеры ядер ничтожно малы — порядка  10^-12 см.

      Итак,   вещество   недр   белых   карликов — это   очень   плотный ионизованный газ.  Однако  из-за огромной  плотности   eго физические свойства  резко отличаются от свойств    идеального. Специфические           свойства  ионизованного газа при сверхвысоких плотностях определяются его  вырождением.    Это явление находит объяснение только в рамках  квантовой   механики.    Классической физике понятие «вырождение» чуждо. Что же это такое? Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется сначала   немного   остановиться   на   особенностях движения  электронов в атоме, описываемых законами квантовой механики. Состояние каждого электрона в атомной системе определяется заданием квантовых чисел: главным  п,  орбитальным  l,  магнитным т,  и спиновым s. Для атома водорода главное квантовое число определяет энергию атома в стационарном состоянии Е (п):

Е (п) = — R/n²

Где  R — 13,6  эВ — универсальная   постоянная.

Орбитальное квантовое число  l,  определяет орбитальный момент количества движения электрона pi:

pi= h√l/(l + 1)                                   (5-2)

(h = h /2π,   где h — постоянная   Планка).   Квантовое  число l может принимать лишь следующий  ряд целочисленных значений:

  l = 0, 1, 2, ..., (п— 1);

всего n значений.

Магнитное квантовое число  определяет ориентацию орбитального момента  количества движения р  относительно  избранного направления Н     

(рис. 7,а), вектор p₁   может ориентироваться относительно направления Н  лишь так, что его проекция на это направление целократна      h:

plH= mlh                              ()

Число т₁ может   принимать следующий ряд дискретных значений:

         т₁ = –l, –(l–1),...,0,  1, 2, ...,l;                            ()

всего    2 l+ 1    значений.

    Наконец, спиновое квантовое число определяет ориентацию собственного момента количества движения электрона (спина р_s) относительно избранного направления Н (рис. 7, б): вектор p_S может ориентироваться относительно   Н лишь так,  что его  проекция  на   Н равна:

Рис. 7

р_Нs=s h                                

  При этом s может принимать лишь два значения: ½ и — ¹/₂.

Фундаментальным законом квантовой механики является     принцип      Паули,     запрещающий   для   любой квантовой системы (например, сложного атома) двум каким-либо электронам иметь все квантовые числа одинаковыми. Поясним этот принцип на простой полуклассической боровской модели атома. Совокупность трех квантовых чисел (кроме спина) определяет орбиту электрона в атоме. Принцип Паули, применительно к этой модели атома, запрещает находиться на одной и той же квантовой орбите более чем двум электронам. Если на такой орбите находятся два электрона, то у них должны быть противоположно ориентированные спины. Это означает, что хотя три квантовых числа у таких электронов могут совпадать, квантовые числа, характеризующие спины электронов, должны быть различны. Принцип Паули имеет огромное значение для всей атомной физики. В частности, только на основе этого принципа можно понять все особенности периодической системы элементов Менделеева. Принцип Паули имеет универсальное значение и применим ко всем квантовым системам, состоящим из большого числа тождественных частиц. Примером такой системы, в частности, являются обыкновенные металлы при комнатных температурах (о чем уже велась речь).     Как известно, в металлах внешние электроны не связаны с «собственными» ядрами, а как бы «обобществлены». Они движутся в сложном электрическом поле ионной решетки металла. В грубом, полуклассическом приближении можно представить, что электроны движется по некоторым, правда, весьма сложным траекториям. И конечно для таких  траекторий   тоже  должен   выполняться   принцип Паули.   Это означает, что по каждой из упомянутых выше электронных траекторий может двигаться не больше двух электронов, которые  должны отличаться своими   спинами.   Необходимо   подчеркнуть,   что   согласно   квантовомеханическим   законам   число таких возможных траекторий  хотя и  очень велико, но конечно. Следовательно,  далеко  не  все  геометрически  возможные орбиты реализуются.

         На самом деле,  конечно,  наше рассуждение является весьма упрощенным. Мы говорили выше о «траекториях» для наглядности. Вместо классической картины движения по траектории квантовая механика   говорит  только   о    состоянии    электрона, описываемого  несколькими  совершенно определенными  («квантовыми») параметрами. В каждом из возможных состояний электрон , имеет некоторую определенную энергию. В рамках нашей модели движения по траекториям принцип Паули можно сформулировать еще так: по одной и той же «дозволенной» траектории   могут двигаться с одинаковыми скоростями (т. е.  иметь одинаковую энергию) не больше двух электронов.

         Применительно к сложным, многоэлектронным атомам принцип Паули позволяет понять, почему у них электроны не «ссыпались» на самые «глубокие» орбиты, энергия которых минимальна. Другими словами, он дает ключ к пониманию строения атома. Точно так же обстоит дело и в случае электронов в металле, и в случае вещества недр белых карликов. Если бы одно и тоже   количество электронов и атомных ядер заполняло достаточный объем, то «для всех хватило бы места». Но представим что этот объем   о г р а н и ч е н.    Тогда только небольшая часть электронов заняла бы все возможные для их движения траектории,   число  которых   по   необходимости   ограничено.   Остальные электроны должны   были   бы  двигаться   по   тем   же     с а м ы м траекториям, которые уже «заняты». Но в силу принципа Паули они будут двигаться по этим траекториям с большими скоростями и, следовательно, обладать большей   энергией. Дело обстоит совершенно так же, как в многоэлектронном атоме, где из-за того же   принципа   «избыточные»   электроны   обязаны   двигаться по орбитам с большей энергией.

       В куске металла или в каком-нибудь объеме внутри белого карлика число электронов больше числа дозволенных траекторий движения. Иное дело в обычном газе, в частности, в недрах звезд главной последовательности. Там число электронов всегда меньше числа дозволенных траекторий. Поэтому электроны могут двигаться по разным траекториям с различными скоростями, как бы «не мешая» друг другу. Принцип Паули в этом случае не отражается на их движении. В таком газе устанавливается максвелово распределение скоростей и выполняются хорошо известны школьной физики законы газового состояния вещества, в частности, закон Клапейрона. Если  «обычный»  газ сильно сжать, то число возможных траекторий для электронов станет значительно меньше и, наконец, наступит такое состояние, когда на каждую траекторию придется больше двух электронов. В силу принципа Паули эти электроны обязаны иметь различные скорости, превышающие некоторое критическое значение. Если теперь сильно охладить этот сжатый газ, то скорости электронов отнюдь не уменьшатся. В противном случае, как легко понять, принцип Паули перестал бы выполняться. Даже вблизи абсолютного нуля скорости электронов в таком газе оставались бы большими. Газ, обладающий такими необычайными свойствами, называется вырожденным.      Поведение такого газа целиком объясняется тем, что его частицы (в нашем случае — электроны) занимают всевозможные траектории и движутся по ним «по необходимости» с весьма большими скоростями. В противоположность вырожденному газу скорости движения частиц в «обычном» газе при уменьшении его температуры становятся очень маленькими. В соответствии с этим уменьшается и его давление. Как же обстоит дело с давлением вырожденного газа? Для этого вспомним, что мы называем давлением газа. Это импульс, который частицы газа передают за одну секунду времени при столкновении некоторой «стенке», ограничивающей его объем. Отсюда ясно, что давление вырожденного газа должно быть очень велико, так как скорости образующих его частиц велики. Даже при очень низких температурах давление вырожденного газа должно оставаться большим, так как скорости его частиц,  в отличие от обычного газа,  почти не уменьшаются с уменьшением температуры.  Следует ожидать, что давление вы рожденного газа мало зависит от его температуры, так как скорость движения образующих его частиц определяется прежде всего принципом Паули.