Динамическое программирование

>    При постановке задач динамического  программирования следует руководствоваться  следующими принципами:

    1.    Выбрать параметры (фазовые координаты), характеризующие состояние S управляемой  системы перед каждым шагом.

    2.    Расчленить  операцию на этапы  (шаги).

    3.    Выяснить набор шаговых управлений xi для каждого шага и налагаемые  на них ограничения.

    4.    Определить какой выигрыш приносит  на i-ом шаге управление xi, если  перед этим система была в  состоянии S, т.е. записать «функцию  выигрыша»:  .

    5.    Определить, как изменяется состояние  S системы S под влиянием управление x_i на i-ом шаге: оно переходит в новое состояние

     (1.1).

    

    6.    Записать основное рекуррентное  уравнение динамического программирования, выражающее условный оптимальный  выигрыш W_i(S) (начиная с i-го шага и до конца) через уже известную функцию W_i+1(S): . (1.2)

    Этому выигрышу соответствует условное оптимальное  управление на i-м шаге x_i(S) (причем в уже известную функцию W_i+1(S) надо вместо S подставить измененное состояние ).

    Этому выигрышу соответствует условное оптимальное  управление на i-м шаге x_i(S) (причем в уже известную функцию W_i+1(S) надо вместо S подставить измененное состояние ).

    7.    Произвести условную оптимизацию  последнего (m-го) шага, задаваясь гаммой  состояний S, из которых можно  за один шаг дойти до конечного  состояния, вычисляя для каждого  из них условный оптимальный  выигрыш по формуле .

    8.    Произвести условную оптимизацию  (m-1)-го, (m-2)-го и т.д. шагов по  формуле (1.2), полагая в ней i=(m-1),(m-2),…,  и для каждого из шагов указать  условное оптимальное управление x_i(S), при котором максимум достигается.

    Заметим, что если состояние системы в  начальный момент известно (а это  обычно бывает так), то на первом шаге варьировать  состояние системы не нужно - прямо  находим оптимальный выигрыш  для данного начального состояния S₀. Это и есть оптимальный выигрыш за всю операцию .

    

    9.    Произвести безусловную оптимизацию  управления, «читая» соответствующие  рекомендации на каждом шаге. Взять найденное оптимальное  управление на первом шаге ; изменить состояние системы по формуле (1.1); для вновь найденного состояния найти оптимальное управление на втором шаге х₂* и т.д. до конца.

    Данные  этапы рассматривались для аддитивных задач, в которых выигрыш за всю  операцию равен сумме выигрышей  на отдельных шагах. Метод динамического  программирования применим также и  к задачам с так называемым «мультипликативным» критерием, имеющим  вид произведения: .

    (если  только выигрыши w_i положительны). Эти задачи решаются точно так же, как задачи с аддитивным критерием, с той единственной разницей, что в основном уравнении (1.2) вместо знака «плюс» ставится знак «умножения»: .

    3.1 Примеры задач динамического программирования

    Задача  планирования рабочей силы:

    При выполнении некоторых проектов число  рабочих, необходимых для выполнения какого-либо проекта, регулируется путем  их найма и увольнения. Поскольку  как наем, так и увольнение рабочих  связано с дополнительными затратами, необходимо определить, каким образом должна регулироваться численность рабочих в период реализации проекта.

    

    Предположим, что проект будет выполнятся в  течение n недель и минимальная потребность  в рабочей силе на протяжении i-й  недели составит b_i рабочих. При идеальных условиях хотелось бы на протяжении i-й недели иметь в точности b_i рабочих. Однако в зависимости от стоимостных показателей может быть более выгодным отклонение численности рабочей силы как в одну, так и в другую сторону от минимальных потребностей.

    Если x_i – количество работающих на протяжении i-й недели, то возможны затраты двух видов: 1) С₁(x_i - b_i)-затраты, связанные с необходимостью содержать избыток x_i - b_i рабочей силы и 2) С₂(x_i - x_i-1)-затраты, связанные с необходимостью дополнительного найма (x_i - x_i-1) рабочих.

    Элементы  модели динамического программирования определяются следующим образом:

    1.          Этап і представляется порядковым  номером недели і, і=1,2,…n.

    2.          Вариантами решения на і-ом  этапе являются значения x_i – количество работающих на протяжении і-й недели.

    3.          Состоянием на і-м этапе является x_i-1 – количество работающих на протяжении (і-1) –й недели (этапа).

    

    Рекуррентное  уравнение динамического программирования представляется в виде где .

    Вычисления  начинаются с этапа n при xn=bn и заканчиваются  на этапе 1.

    Задача  замены оборудования:

    Чем дольше механизм эксплуатируется, тем  выше затраты на его обслуживание и ниже его производительность. Когда  срок эксплуатации механизма достигает  определенного уровня, может оказаться  более выгодной его замена. Задача замены оборудования, таким образом, сводится к определению оптимального срока эксплуатации механизма.

    Предположим, что мы занимаемся заменой механизмов на протяжении n лет. В начале каждого  года принимается решение либо об эксплуатации механизма еще один год, либо о замене его новым.

    Обозначим через r(t) и c(t) прибыль от эксплуатации t-летнего механизма на протяжении года и затраты на его обслуживание за этот же период. Далее пусть s(t) – стоимость продажи механизма, который эксплуатировался t лет. Стоимость приобретения нового механизма остается неизменной на протяжении всех лет и равна l.

    Элементы  модели динамического программирования таковы:

    1.  Этап і представляется порядковым  номером года і, і=1,2,...n.

    

    2.  Вариантами решения на і-м этапе  (т.е. для і-ого года) являются  альтернативы: продолжить эксплуатацию  или заменить механизм в начале  і-ого года.

    3.  Состоянием на і-м этапе является  срок эксплуатации t (возраст) механизма  к началу і-ого года.

    Пусть f_i(t)-максимальная прибыль, получаемая за годы от і до n при условии, что в начале і-ого года имеется механизм t-летнего возраста.

    Рекуррентное  уравнение имеет следующий вид:

    (1)-если  эксплуатировать механизм,

    (2)-если  заменить механизм.

    Задача  инвестирования:

    Предположим, что в начале каждого из следующих n лет необходимо сделать инвестиции P₁, P₂,…, P_n соответственно. Вы имеете возможность вложить капитал в два банка: первый банк выплачивает годовой сложный процент r₁, а второй - r₂. Для поощрения депозитов оба банка выплачивают новым инвесторам премии в виде процента от вложенной суммы.

    Премиальные меняются от года к году, и для  і-ого года равны q_i1 и qi2 в первом и втором банках соответственно. Они выплачиваются к концу года, на протяжении которого сделан вклад, и могут быть инвестированы в один из двух банков на следующий год. Это значит, что лишь указанные проценты и новые деньги могут быть инвестированы в один из двух банков. Размещенный в банке вклад должен находится там до конца рассматриваемого периода. Необходимо разработать стратегию инвестиции на следующие n лет.

    

    Элементы  модели динамического программирования следующие:

    1.  Этап і представляется порядковым  номером года і, і=1,2,...n

    2.  Вариантами решения на і-м этапе  (для і-ого года) являются суммы  li и инвестиций в первый и второй банк соответственно.

    3.  Состоянием x_i на і-м этапе является сумма денег на начало і-ого года, которые могут быть инветсированы.

    Заметим, что по определению =x_i-l_i. Следовательно,

     .

    где і=2,3,…n, x₁=P₁. Сумма денег x_i, которые могут быть инвестированы, включает лишь новые деньги и премиальные проценты за инвестиции, сделанные на протяжении (і-1)-го года.

    Пусть f_i(x_i)- оптимальная сумма инвестиций для интервала от і-го до n-го года при условии, что в начале і-го года имеется денежная сумма x_i. Далее обозначим через s_i накопленную сумму к концу n-го года при условии, что l_i и (x_i-l_i)-объемы инвестиций на протяжении і-го года в первый и второй банк соответственно. Обозначая , і=1,2, мы можем сформулировать задачу в следующем виде.

    Максимизировать z=s₁+s₂+…+s_n, где

    

     .

    Так как премиальные за n-й год являются частью накопленной денежной суммы  от инвестиций, в выражения для s_n добавлены q_n1 и q_n2.

    Итак, в данном случае рекуррентное уравнение  для обратной прогонки в алгоритме  динамического программирования имеет  вид где x_i+1 выражается через x_i в соответствии с приведенной выше формулой, а _fn+1(x_n+1)=0.

    3.2 Общая структура динамического программирования.

    Отыскание оптимальной стратегии принятия набора последовательных решений, в  большинстве случаях, производится следующим образом: сначала осуществляется выбор последнего во времени решения, затем при движении в направлении, обратном течению времени, выбираются все остальные решения вплоть до исходного.

    Для реализации такого метода необходимо выяснить все ситуации, в которых  может происходить выбор последнего решения. Обычно условия, в которых  принимается решение, называют «состоянием» системы. Состояние системы – это описание системы, позволяющее, учитывая будущие решения, предсказать ее поведение. Нет необходимости выяснять, как возникло то ил иное состояние или каковы были предшествующие решения. Это позволяет последовательно выбирать всего по одному решению в каждый момент времени. Независимо от того, отыскивают оптимальные решения с помощью табличного метода и последующего поиска или аналитическим путем, обычно быстрее и выгоднее производить выбор по одному решению в один момент времени, переходя затем к следующему моменту и т.д. К сожалению, таким методом можно исследовать не все процессы принятия решений. Необходимым условием применения метода динамического программирования является аддитивность цен всех решений, а также независимость будущих результатов от предыстории того или иного состояния.

    

    Если  число решений очень велико, то можно построить относительные  оценки состояний так, чтобы оценки, отвечающие каждой паре последовательных решений, отличались друг от друга на постоянную величину, представляющую собой средний «доход» на решение. Также можно выполнять дисконтирование  доходов от будущих решений. Необходимость  в этом иногда появляется в том  случае, когда решение принимаются  редко, скажем раз в году. Тогда  уже не нужно рассматривать последовательно 1,2,3…решения, чтобы достичь решения  с большим номером. Вместо этого  можно непосредственно оперировать  функциональным уравнением, что, как  правило, дает существенную выгоду с  точки зрения сокращения объема вычислений.

    4 Одномерное динамическое программирование.

      Чтобы лучше понять суть динамического  программирования, сначала более  формально определим понятия  задачи и подзадачи.

      Пусть исходная задача заключается  в нахождении некоторого числа  T при исходных данных n₁, n₂, ..., n_k. То есть мы можем говорить о функции T(n₁, n₂, ..., n_k), значение которой и есть необходимый нам ответ. Тогда подзадачами будем считать задачи

    

    T(i₁, i₂, ..., i_k) при i₁ < n₁, i₂ < n₂, ..., i_k < n_k.