Пакет программ сглаживания функции

     КОЛОМЕНСКИЙ  ИНСТИТУТ (филиал)

     ГОСУДАРСТВЕННОГО  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

     _______________________________________________________________

     «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ОТКРЫТЫЙ  
УНИВЕРСИТЕТ» 

     Кафедра «Управления, информатики и вычислительной техники»

     КУРСОВАЯ  РАБОТА 

     По  курсу «Программирование на языке высокого уровня»

     по  теме: «Пакет программ сглаживания функции» 
 
 

     Выполнил: студент группы ПО-21

     Кокалич Мария

     Руководитель:

     Родионов  К.А. 
 
 

     Коломна 2011 

     ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
 
 
 
 

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

 

     по  дисциплине «Программирование  на языке высокого уровня»

     Вариант № 2

     Тема: «Пакет программ сглаживания функции»

1. Разработать приложение в среде Delphi для сглаживания функции, заданной таблицей значений в равно отстоящих точках, с помощью многочлена 3- степени, построенного по последовательным точкам методом наименьших квадратов.
2. В программе необходимо предусмотреть:

• задание произвольной табличной функции y(x);
• вывод табличных значений сглаженной функции;
• графическое отображение табличной функции y(x) для контроля задания табличных значений;
• графическое отображение сглаженной функции y(x).

 
     

3. Предусмотреть обработку некорректного ввода исходных данных.
4. Провести тестирование программы.
5. Подготовить пояснительную записку (отчет), в которую необходимо включить описание применения приложения, исходные данные к программе и результаты расчетов, образцы диалоговых окон, тексты программ, полученные диаграммы результатов, а также чистый лист для рецензии преподавателя.

 
 

     Дата  выдачи: ___________   Преподаватель:___________________

     ВВЕДЕНИЕ

     В курсовой работе поставлена задача, разработать  пакет программ сглаживания функции. Для решения данной задачи будет применяться метод наименьших квадратов. Для контроля правильности решения и облегчения расчетов предлагается использовать OLE-технологии.

     Таким образом, целью курсовой работы является овладение и закрепление навыков  программирования на языке Object Pascal в инструментальной среде Delphi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2.Математические  методы

     2.1Основные  понятия

 

     Функция

     Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

     Функция f (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.

     При этом говорят, что функция f задана на множестве X, или что f отображает X в Y.

     Если  элементу   сопоставлен элемент  , то говорят, что элемент y находится в функциональной зависимости f от элемента x. При этом переменная x называетсяаргументом функции f или независимой переменной, множество X называется областью задания или областью определения функции, а элемент y, соответствующий конкретному элементу x — частным значением функции f в точке x. Множество Y всех возможных частных значений функции f называется её областью значений или областью изменения.

     В теоретической математике функцию f  удобно определить как бинарное отношение (то есть множество упорядоченных пар  ), которое удовлетворяет следующему условию: для любого   существует единственный элемент   такой, что  .

     Это и позволяет говорить о том, что  элементу   сопоставлен один и только один элемент   такой, что  .

     Таким образом, функция — это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов (f,X,Y), где

• множество X называется о́бластью определе́ния;
• множество Y называется о́бластью значе́ний;
• множество упорядоченных пар   или, что то же самое, график функции.

     Если  задана функция f, которая определена на множестве X и принимает значения в множестве Y, то есть, функция f отображает множество X в Y, то

• этот факт коротко записывают в виде   или  .
• область определения функции f (множество X) обозначается D(f), или  ;
• область значений функции f (множество Y) обозначается R(f) (E(f)), или   ( ).

     Наличие функциональной зависимости между  элементом   и элементом 

• наиболее часто обозначается как

     y = f(x),

       или

      ;

• реже используется обозначение без скобок y = fx,   или y = xf,
• а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: y = (f,x) или y = (x,f);
• так же существует и операторное обозначение y = x^f, которое можно встретить в общей алгебре.

     Способы задания функции

     1.Аналитический. Является наиболее важным для МА (мат.анализа), поскольку методы МА (дифференциального, интегрального счисления) предполагают этот способ задания. Одна и та же функция может быть задана различными формулами: y=∣sin(x)∣y=√1−cos2(x)  Иногда в различных частях своих областей определяемая функция может быть задана различными формулами f(x)={f1(x),x∈D1 fn(x),x∈Dn  ∪nk=1Dk=D(f) . Часто при этом способе задания функции область определения не указывается, тогда под областью определения понимается естественная область определения, т.е. множество всех значений x при которых функция принимает действительное значение.

     Частным случаем аналитического способа  задания функции является задание  функции уравнением вида F(x,y)=0 (1) Если это уравнение обладает свойством, что ∀x∈Д сопоставляется единственное y, такое, что F(x,y)=0, то говорят, что уравнение (1) на Д неявно задает функцию. Еще один частный случай задания функции -- параметрический, при этом каждая пара (x,y)∈f  задается с помощью пары функций x=ϕ(t),y=ψ(t)  где t∈M .

     2.Графический. Область определения -- проекция данного графика на Ох, а множество значений -- проекция Д(f) на Оу.

     3.Словесный. Отношение f, по которому каждому х находящееся соответствие у описывается словесно. Например, y=[x] : x из R (Целой частью х из R называют любое целое число не превосходящее х).

     4.Табличный. Состоит в простом перечислении элементов функции f, т.е. при этом способе указывается значение аргумента x и соответствующе значение функции y=f(x). В работе использовался именно этот способ задания функции, так как использовалось линейное сглаживание функции по пяти точкам. Таблица позволяет без затруднений с точностью найти нужные точки.

     2.2  Математические методы

 

     Метод наименьших квадратов

     Метод наименьших квадратов - один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.

     Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

     Описание  метода 

     Пусть функцияy=f(x) задана таблицей своих значений:  , i=0,1,-n. Требуется найти многочлен фиксированной степени m, для которого среднеквадратичное отклонение (СКО)  минимально.

     Так как многочлен  определяется своими коэффициентами, то фактически нужно подобрать набор кофициентов  минимизирующий функцию  .

     Используя необходимое условие экстремума,  , k=0,1,-m получаем так называемую нормальную систему метода наименьших квадратов:  , k=0,1,-m.

     Полученная  система есть система алгебраических уравнений относительно неизвестных  . Можно показать, что определитель этой системы отличен от нуля, то есть решение существует и единственно. Однако при высоких степенях m система является плохо обусловленной. Поэтому метод наименьших квадратов применяют для нахождения многочленов, степень которых не выше 5. Решение нормальной системы можно найти, например, методом Гаусса.

     Запишем нормальную систему наименьших квадратов для двух простых случаев: m=0 и m=2. При m=0 многочлен примет вид:  . Для нахождения неизвестного коэффициента  имеем уравнение: . Получаем, что коэффициент   есть среднее арифметическое значений функции в заданных точках.

     Если  же используется многочлен второй степени  , то нормальная система уравнений примет вид:

       

     Линейное  сглаживание по пяти точкам

     Линейное  сглаживание по пяти точкам — операция усреднения с помощью интерполяционных многочленов, обеспечивающая получение уточнённого значения   по заданному значению y_i и ряду близлежащих значений  , известных со случайной погрешностью.

     Линейное  сглаживание по пяти точкам выполняется  с помощью следующих формул:

      ,

      ,

      ,

      ,

      ,

     где N - номер последней точки (ординаты y_i). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     3.Описание применения пакета программ

     3.1 Основные понятия,  цели и задачи

 

     В курсовой работе была поставлена задача разработать пакет программ сглаживания  функции. В задании предлагается произвольная таблично заданная функция. Аппроксимация производится методом  наименьших квадратов, линейным сглаживанием по пяти точкам. Для наглядности и проверки решения используется построение графика исходной функции и сглаженной функции. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     3.2 Описание диалоговых  окон

 

     Основное  окно программы представлено на рисунке 1. Оно содержит компоненты для ввода табличной функции, вывода расчетных данных  и поле  для построения графиков функций.