Розкладання періодичного коливання у тригонометричний ряд та створення комп’ютерної моделі приладу, що розраховує та відображає значенн

ОДЕСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ ТЕХНІЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ  ТА ЯКОСТІ

кафедра інформаційно-вимірювальних  технологій

КУРСОВА РОБОТА

з предмету: «МЕТОДИ  ТА ЗАСОБИ ОБРОБКИ СИГНАЛІВ»

(назва дисципліни)

на тему: Розкладання періодичного коливання у тригонометричний ряд та створення комп’ютерної моделі приладу, що розраховує та відображає значення n гармонік тригонометричного ряду____________________________________________

Студентки _5 курсу _502 м_ групи

спеціальності_7.051001__МВТ__________

Полянська В.С._______________________

(прізвище та ініціали)

 

Керівник професор Братченко Г.Д.______

(посада, вчене звання, науковий  ступінь, прізвище та ініціали)

Національна шкала ________________

Кількість балів: __________ Оцінка: ECTS _____

                                                                     Члени комісії          ________________        Н.О. Пунченко

                                                                                                                                             (підпис)                        (прізвище та ініціали)

                                                                                                       ________________        С.Л. Волков

                                                                                                                                             (підпис)                        (прізвище та ініціали)

                                                                                                      ________________        Г.Д. Братченко

                                                                                                                                              (підпис)                        (прізвище та ініціали)

 

 

 

 

 

м. Одеса – 2013 рік

ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«ОДЕСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ                                                          ТЕХНІЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ ТА ЯКОСТІ»

 

Факультет          Технічного регулювання та менеджменту якості

^{(повна  назва)}

Кафедра                   Інформаційно-вимірювальних технологій

^{(повна  назва)}

Напрям підготовки      Метрологія та інформаційно-вимірювальні системи

^{(код,  назва)}

 

ЗАТВЕРДЖУЮ

           Завідувач кафедри

 

______         Волков С.Л.                                                           ^{(підпис)                 (ініціали, прізвище)}

          “___”___________2012 р.

 

ЗАВДАННЯ

на курсову  роботу

 

студенту:                      Полянській Вікторіі Сергіївні                              

^{(прізвище, ім’я, по батькові)}

 

1. Тема Розкладання періодичного коливання у тригонометричний ряд та створення комп’ютерної моделі приладу, що розраховує та відображає                значення n гармонік тригонометричного ряду 

 

2. Термін здачі студентом закінченої роботи “__”_                    2013р.

3. Вихідні данні до роботи:

     Розкладання періодичних коливань, розрахунок параметрів, створення  комп’ютерної моделі                                                                                               

(визначаються  кількісні або (та) якісні показники,  яким повинен відповідати об’єкт  проектування  
наукового дослідження)

4. Перелік питань, які мають бути розроблені (формулюється у повному обсязі керівником КП із попереднім узгодженням (за необхідності) з консультантами з окремих питань і може бути структурований за розділами (частинами):

Анотація  Вступ, Розклад періодичних коливань, Визначення параметрів, Моделювання на ЕОМ, Висновок

5. Перелік графічного (ілюстративного) матеріалу (із зазначенням обов’язкових креслень, плакатів)

6. Дата видачі завдання “_ _”__           ____2013_р.

 

 

 

 

     Керівник                 професор               _________           Г.Д.Братченко 

              ^{(підпис)                   (ініціали, прізвище)}     

 

 

     Завдання  прийняв до виконання      _________             В.С.Полянська

 

Зміст

Вступ	4
1. Розклад періодичного  сигналу в ряд Фур’є	5
1.1. Ряд Фур'є періодичних функцій з періодом 2	8
1.2. Ряд Фур'є неперіодичних  функцій з періодом 2	9
2. Графоаналітичний метод  спектрального аналізу періодичних сигналів	11
Спектральне представлення сигналів	13
3. Розрахунок електричної  величини	15
4. Комп’ютерне моделювання  приладу	18
Висновки	23
Список використаної літератури	24

 

 

ВСТУП

У курсовій роботі розглянуто методи визначення коефіцієнтів рядів  Фур'є. При розробці даного питання буде розглянуто тригонометрична інтерполяція теорії і дискретне перетворення рядів Фур'є.

Метою цієї роботи є розгляд  можливості розкладання функції  в ряд Фур'є і актуальність вживання цього розкладання в  інженерно-технічних розрахунках, оцінити  її практичну і теоретичну значущість.

Розкладання періодичної  функції в ряд Фур'є з погляду  фізики відповідає на запитання про  розподіл енергії процесу по гармоніках, дискретно, тобто стрибком, що міняє частоту. Такі явища, як світлові промені або шуми при радіозв'язку містять у своєму складі гармоніки всіх частот та у дану схему не укладаються. Безперервна зміна частоти приводить до поняття інтеграла Фур'є, у якому розподіл енергії по частотах характеризується спектральною щільністю. Кожній окремій узятій частоті відповідає нульова енергія, однак вона здобуває вагу, якщо розглядається деякий інтервал частот. Подібно повній масі, що у випадку безперервного розподілу виражається інтегралом від щільності, до інтеграла зводиться й повна енергія процесу, неперервно розподілена по частотах. Цей підхід став надбанням фізиків і інженерів, чиї професійні інтереси пов'язані з теорією передачі сигналів (радіофізика, оптика, акустика, кібернетика, електричні лінії тощо). Разом з тим, незалежно від фізичного змісту гармонійний аналіз має іншу важливу складову, він - ефективний засіб рішення широкого класу задач із різних галузей науки.

Перетворення Фур'є - це самостійна операція математичного аналізу, досліджувана в курсовій роботі саме в цій якості.

 

1. РОЗКЛАД ПЕРІОДИЧНОГО  СИГНАЛУ В РЯД ФУР’Є

Розкладанню в ряди Фур'є  піддаються періодичні сигнали.

Періодичним сигналом (струмом або напругою) називають такий вигляд дії, коли форма сигналу повторюється через деякий інтервал часу T, який називається періодом. Простою формою періодичного сигналу є гармонійний сигнал або синусоїда, яка характеризується амплітудою, періодом і початковою фазою. Всі останні сигнали будуть негармонійними або несинусоїдальними. Можна показати, і практика це доводить, що, якщо вхідний сигнал джерела живлення є періодичним, то і всі останні струми і напруга в кожній гілці (вихідні сигнали) також будуть періодичними. При цьому форми сигналів в різних гілках відрізнятимуться один від одного.

Існує загальна методика дослідження  періодичних негармонійних сигналів (вхідних дій і їх реакцій) в  електричному ланцюзі, який заснований на розкладанні сигналів в ряд Фур'є.

Періодичну функцію будь-якої форми, задану на інтервалі одного періоду , і що задовольняє на цьому інтервалі умовам Дирихле:

• не повинно бути розриву 2-го роду (з відходами в нескінченність гілками функції);
• число розривів 1-го роду (скачків) повинно бути кінцевим;
• число екстремумів повинно бути кінцевим.

Будь-який періодичний сигнал може бути представлений Фур'є в тієї або іншій формі запису: тригонометричним рядом, вираженим через коефіцієнти, тригонометричним рядом, вираженим через амплітуди й початкові фази гармонік, або комплексним рядом.

Нехай – періодичне коливання напруги, значення якого повторюються строго через певний проміжок часу – період Т. Це коливання може бути виражене:

а) тригометричним рядом  Фур'є через коефіцієнт:

(1.1)

де  - частота першої (основної) гармоніки, що збігається із частотою коливань ;

- постійна складова ряду (середнє  значення функції  );

 

-ні коефіцієнти розглянутого  ряду - _;

б) тригонометричним рядом  Фур'є через амплітуди й початкові  фази гармонік (косинусоїд):

(1.2)

   де амплітуда -ої гармоніки;

початкова фаза -ної гармоніки;

Ці формули забезпечують перехід від ряду а) до ряду б)

в) комплексним рядом Фур'є:

(1.3)

                                                      

де  коефіцієнти ряду (комплексні амплітуди гармонік).

Ряди Фур'є довільних  аналогових періодичних сигналів можуть містити нескінченно велику кількість  членів. Проте одним з важливих достоїнств перетворення Фур'є є  те, що при обмеженні (усіканні) ряду Фур'є до будь-якого кінцевого  числа його членів забезпечується найкраще по середній квадратичній погрішності  наближення до вихідної функції.

У таблиці приведені розкладання  для восьми форм періодичних сигналів.

Таблиця 1.1 – Розкладання  періодичних сигналів

Графік f(t)	Ряд Фур’є функції f(t)	Примітка

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продовження таблиці 1.1

Графік f(t)	Ряд Фур’є функції f(t)	Примітка

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вибір форми ряду Фур'є залежить від поставленого завдання аналізу і форми завдання сигналу.

Ряд а) дозволяє оцінити внесок ортогональних складових гармонік у загальний сигнал. Запис цього ряду можна значно спростити, якщо певним чином вибрати систему координат. Так якщо сигнал симетрично ділиться віссю часу , то постійна складова . Якщо вертикальна вісь (ордината) ділить сигнал таким чином, що , то він є парною функцією й коефіцієнти . Якщо є непарною функцією, то в цьому випадку коефіцієнти .