Задача о замене оборудования

Автор: Пользователь скрыл имя, 22 Декабря 2011 в 08:48, курсовая работа

Описание работы

Задачами данной курсовой работы являются:
1) Рассмотреть теоретические аспекты решения задач динамического программирования: реккурентность природы задач данного типа; принципы оптимальности Беллмана
2) Разработка алгоритма. Блок-схемы. Структура алгоритма
3) Реализация на ЭВМ построенного алгоритма на выбранном языке программирования

Содержание

Введение
1. Динамическое программирование
1.1 Основные понятия
1.2 Принципы динамического программирования. Функциональные уравнения Беллмана
1.3 Особенности задач динамического программирования
1.4 Примеры задач динамического программирования
2. Задача о замене оборудования
3. Расчет показателей экономико-математической модели
Список использованных источников
Приложение

Работа содержит 1 файл

Курсовая работа.docx

— 46.02 Кб (Скачать)

Из анализа идеи поэтапной оптимизации можно  сформулировать следующие принципы, лежащие в основе динамического  программирования: принцип оптимальности  и принцип погружения. 

Принцип оптимальности. Оптимальное управление на каждом шаге определяется состоянием системы на начало этого шага и целью управления. Или в развернутой форме: оптимальная  стратегия не зависит от начального состояния и начального решения, поэтому последующие решения  должны приниматься с учетом состояния  системы в результате первого  решения. 

Принцип погружения. Форма задачи, решаемая методом динамического  программирования, не меняется при  изменении количества шагов N, т.е. форма  такой задачи инвариантна относительно N. В этом смысле всякий конкретный процесс  с заданным числом шагов оказывается  как бы погруженным в семейство  подобных ему процессов и может  рассматриваться с позиции более  широкого класса задач. 

Реализация названных  принципов дает гарантию того, что  решение, принимаемое на очередном  шаге, окажется наилучшим относительно всего процесса в целом, а не узких  интересов данного этапа. Последовательность пошаговых решений приводит к  решению исходной N -шаговой задачи. 

Функциональные уравнения  Беллмана. Как отмечалось выше, в  основе динамического программирования лежит принцип оптимальности, направленный на процедуру построения оптимального управления. Так как оптимальной  стратегией может быть только та, которая  одновременно оптимальна и для любого количества оставшихся шагов, ее можно  строить по частям: сначала для  последнего этапа, затем для двух последних, для трех и т. д., пока не придем к первому шагу. Отсюда принцип оптимальности связан со вторым принципом - принципом погружения, согласно которому при решении исходной задачи ее как бы погру жают в семейство подобных ей и решают для одного последнего этапа, для двух последних и т. д., пока не получат решение исходной задачи. 

Дадим математическую формулировку принципа оптимальности. Для простоты будем считать, что  начальное x0 и конечное xT состояния системы заданы. Обозначим через z1(х0, u1) значение функции цели на первом этапе при начальном состоянии системы x0 и при управлении u1, через z2(х1, u2) - соответствующее значение функции цели только на втором этапе, ..., через zi(хi-1,ui) - на i-м этапе, ..., через zN(хN-1, uN) на N-м этапе. Очевидно, что 

Z = z (x0, u) = (1) 
 

Надо найти оптимальное  управление u*=(;;...;), такое, что доставляет экстремум целевой функции (1) при  ограничениях u Ω. Для решения этой задачи погружаем ее в семейство  подобных. Введем обозначения. Пусть  ΩN, ΩN-1,N, +, Ω1,2,+,N ≡ Ω - соответственно области определения для подобных задач на последнем этапе, двух последних  и т. д.; Ω - область определения  исходной задачи. Обозначим через 

F1(xN-1), F2(xN-2), +, Fk(xN-k), +, FN(x0) 

соответственно условно-оптимальные  значения функции цели на последнем  этапе, двух последних и т. д., на k последних и т. д., на всех N этапах. Начинаем с последнего этапа. Пусть  хN-1 - возможные состояния системы  на начало N-го этапа. Находим: 

F1(xN-1) = zN (xN-1, uN). (2) 

Для двух последних  этапов получаем 

F2(xN-2) = (ZN-1(xN-2, uN-1)+F1(xN-1)). (3) 

Аналогично: 

F3(xN-3) = (ZN-2(xN-3, uN-2)+F2(xN-2)). (4) 

Fk(xN-k) = (zN-k+1(xN-k, uN-k+1)+Fk-1(xN-k+1)). (5) 

FN(x0) = (z1(x0, u1)+FN-1(x1)). (6) 

Выражение (6) представляет собой математическую запись принципа оптимальности. Выражение (5) - общая  форма записи условно-оптимального значения функции цели для k оставшихся этапов. Выражения (2) - (6) называются функциональными  уравнениями Беллмана. Отчетливо  просматривается их рекуррентный (возвратный) характер, т. е. для нахождения оптимального управления на N шагах нужно знать  условно-оптимальное управление на предшествующих N - 1 этапах и т. д. Поэтому  функциональные уравнения часто  называют рекуррентными (возвратными) соотношениями Беллмана. 

1.3 Особенности задач  динамического программирования 

На основании приведенных  примеров можно выделить следующие  особенности задач динамического  программирования. 

- Рассматривается  система, состояние которой на  каждом шаге определяется вектором  xt. Дальнейшее изменение ее состояния зависит только от данного состояния xt и не зависит от того, каким путем система пришла в это состояние. Такие процессы называются процессами без последействия. 

- На каждом шаге  выбирается одно решение ut, под действием которого система переходит из предыдущего состояния xt-1 в новое хt. Это новое состояние является функцией состояния на начало интервала xt-1 и принятого в начале интервала решения ut, т. е. xt = xt(xt-1,ut). 

- Действие на каждом  шаге связано с определенным  выигрышем (доходом, прибылью) или  потерей (издержками), которые зависят  от состояния на начало шага (этапа) и принятого решения. 

- На векторы состояния  и управления могут быть наложены  ограничения, объединение которых  составляет область допустимых  решений u Ω. 

- Требуется найти  такое допустимое управление  ut для каждого шага t, чтобы получить экстремальное значение функции цели за все Т шагов. 

Любую допустимую последовательность действий для каждого шага, переводящую  систему из начального состояния  в конечное, называют стратегией управления. Стратегия управления, в результате которой можно получить экстремальное значение функции цели, называется оптимальной. 

Геометрическая интерпретация  задачи динамического программирования состоит в следующем. Пусть n - размерность  пространства состояний. В каждый момент времени координаты системы имеют  вполне определенное значение. С изменением времени t могут изменяться значения координат вектора состояния. Назовем  переход системы из одного состояния  в другое траекторией ее движения в пространстве состояний. Такой  переход осуществляется воздействием на координаты состояния. Пространство, в котором координатами служат состояния  системы, называется фазовым. Особенно наглядно задачу динамического программирования можно интерпретировать в случае, если пространство состояний двухмерно. Область возможных состояний  в этом случае изобразится некоторой  фигурой Ω, начальное и конечное состояния системы - точками х0, xt Ω. Управление это воздействие, переводящее систему из начального состояния в конечное. Для многих экономических задач не известно начальное либо конечное состояние, а известна область X0 или XT, которой эти точки принадлежат. Тогда допустимые управления переводят точки из области Х0 в XT. Задача динамического программирования геометрически может быть сформулирована следующим образом: найти такую фазовую траекторию, начинающуюся в области Х0 и оканчивающуюся в области ХT, для которой функция цели достигает экстремального значения. Если в задаче динамического программирования известны начальное и конечное состояния, то говорят о задаче с закрепленными концами. Если известны начальные и конечные области, то говорят о задаче со свободными концами. 
 

1.4 Примеры задач  динамического программирования 

Приведем еще несколько  типичных задач, для решения которых  необходимым является применение метода динамического программирования. Задача перспективного планирования. Задача заключается в следующем: пусть  планируется деятельность группы N промышленных предприятий П, (i=) на период в t (t =) хозяйственных лет. В начале периода на развитие системы предприятий выделены какие-то средства, обозначим их К, которые должны быть распределены между предприятиями. В процессе деятельности предприятия вложенные в него средства частично амортизируются. Каждое предприятие за год работы приносит доход, который зависит от вложенных в процесс производства средств. Часть этих средств отчисляется в фонд предприятий. В начале каждого хозяйственного года имеющиеся средства перераспределяются между предприятиями. Таким образом, возникает задача определения объема средств в начале каждого года, которые нужно выделить каждому предприятию, чтобы суммарный чистый доход за Т лет был максимальным. Это типичная задача динамического программирования. Здесь процесс принятия решения разбивается на Т шагов. Управление им заключается в начальном распределении и последующих перераспределениях средств ut ={}, где объем средств, выделенных i-му предприятию в начале t-го года. Для описания динамики системы вводится вектор состояния хt={}, где состояние i-го предприятия на начало t-го года. В свою очередь состояние каждого предприятия является вектором, координатами которого служат трудовые ресурсы, основные фонды, финансовое положение и т. д., т. е. =(). Очевидно, что вектор управления это функция состояния системы на начало соответствующего года: ut = ut(xt-1), при этом начальное состояние системы x0 может быть заданным. Целевой функцией будет суммарная прибыль объединения за Т лет, тогда, если zt прибыль за t-й год, то получим задачу 
 

max Z = , u Ω, 

где Ω область  допустимых управлений, или множество  экономических возможностей, определяемых различными ограничениями, которые  налагаются на состояние системы  и вектор управления. 

Задача об оптимальном  управлении поставками. В различных  областях народного хозяйства возникает  задача определения момента подачи партии поставки и ее объема. С размещением заказов связаны некоторые фиксированные затраты К, не зависящие от величины заказываемой партии, а зависящие только от факта заказа. С содержанием материальных ресурсов связаны затраты, пропорциональные остатку нереализованной продукции на конец интервала планирования. Пусть Т - промежуток планирования. Обозначим через vt интенсивность потребления ресурса в t-м интервале. Состояние системы будем описывать величиной остатка нереализованной продукции на конец интервала хt, при этом начальное х0 и конечное хt состояния системы можно считать заданными. Для обеспечения непрерывности потребления поставками нужно управлять. Обозначим через u = {ut} вектор управления, координаты которого величина поставок в начале соответствующих интервалов планирования. Очевидно, что вектор управления есть функция состояния на начало интервала. Из множества возможных управлений требуется выбрать такое, при котором достигается минимум издержек на заказ и содержание материальных ресурсов. Если St издержки содержания единицы продукции в t-м интервале, то функция цели примет вид: 

min Z = , 

Состояние системы  опишется соотношением хt = xt-1 + ut - vt (t = ). На состояние системы может быть наложено ограничение, связанное с надежностью снабжения: хt ≥ x0, где х0 - величина некоторого страхового запаса, защищающего с заданной надежностью от сбоев в системе. Объединение ограничений, налагаемых на состояние системы и вектор управления, обозначим через Ω. 

Получим задачу: 

min Z = , u Ω. 
 

2. Задача о замене  оборудования 

Задача о замене оборудования (обновлении, восстановлении, перестройке) имеет важное значение. Рассмотрим ее в упрощенной постановке Известно, что оборудование со временем изнашивается, стареет физически и морально. В процессе эксплуатации, как правило, падает его производительность и растут эксплуатационные расходы на текущий ремонт. Со временем возникает необходимость замены оборудования, так как его дальнейшая эксплуатация обходится дороже, чем ремонт или замена. Отсюда задача о замене может быть сформулирована так: в процессе работы оборудование дает ежегодно прибыль, требует эксплуатационных затрат и имеет остаточную стоимость. Эти характеристики зависят от возраста оборудо вания. В любом году оборудование можно сохранить, продать по остаточной цене и приобрести новое. В случае сохранения оборудования возрастают эксплуатационные расходы и понижается производительность. При замене нужны значительные дополнительные капитальные вложения. Задача состоит в определении оптимальной стратегии замен в плановом периоде с тем, чтобы суммарная прибыль за этот период была максимальной. 

Для количественной формулировки задачи введем следующие  обо значения r(t) стоимость продукции, производимой за год на единице оборудования возраста t лет, u(t) расходы, связанные  с эксплуатацией этого оборудования, s(t) остаточная стоимость оборудования возраста t лет, р покупная цена оборудования, Т - продолжительность планового периода, t = 0, 1, 2, , Т номер текущего года. 

Решение 

Чтобы решить задачу, применим принцип оптимальности  Беллмана. Рассмотрим интервалы (годы) планового периода в последовательности от конца к началу. Введем функцию  условно-оптимальных значений функции  цели Fk(t). Эта функция показывает максимальную прибыль, получаемую от оборудования возраста t лет за последние k лет планового периода. Здесь возраст оборудования рассматривается в направлении естественного хода времени. Например, t = 0 соответствует использованию совершенно нового оборудования. Временные же шаги процесса нумеруются в обратном порядке. Например, при k = 1 рассматривается последний год планового периода, при k = 2 последние два года и т. д., при k = T последние T лет. 

В этой задаче систему  составляет оборудование. Ее состояние  характеризуется возрастом. Вектор управления это решение в момент t = 0, 1, 2, +, Т о сохранении или замене оборудования. Для нахождения оптимальной  политики замен следует проанализировать, согласно принципу оптимальности, процесс  от конца к началу. Для этого  сделаем предположение о состоянии  оборудования на начало последнего года (k = 1). Пусть оборудование имеет возраст t лет. В начале T-го года имеется две возможности: 1) сохранить оборудование на T - й год, тогда прибыль за последний год составит r(t) u(t), 2) продать оборудование по оста точной стоимости и купить новое, тогда прибыль за последний год будет равна s(t) р + r (0) u(0), где r(0) стоимость продукции, выпущенной на новом оборудовании за первый год его ввода, u(0) эксплуата ционные расходы в этом году. Здесь целесообразно разворачивать про цесс от конца к началу. Для последнего года (k=1) оптимальной политикой с точки зрения всего процесса будет политика, обеспечивающая максимальную прибыль только за последний год. Учитывая значение прибыли при различном образе действия (замена сохране ние), приходим к выводу, что решение о замене оборудования возраста t лет следует принять в случае, когда прибыль от нового оборудования на последнем периоде больше, чем от старого, т. е. при условии 

s(t) - p + r(0) - u(0) > r(t) - u(t) 

Если же 
 

s(t) - p + r(0) - u(0) < r(0) - u(0) 

Информация о работе Задача о замене оборудования