Цифровые сигналы

Федеральное государственное  образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Московский государственный  агроинженерный университет

имени В.П. Горячкина»

 

 

 

 

 

 

Кафедра

«Информационно-управляющие  системы»

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа на тему:

«Цифровые сигналы»

 

 

 

                                                                                                     

 

 

 

 

 

                                                                                       Выполнил:

                       студент 45 группы  ПРиМА

                       Аладьев Н.А.

                       Проверил:

                       к.т.н. доцент

                      Лукашкин В.Г.                 

                    

 

 

 

 

 

 

 

Москва, 2012 г.

Содержание:

 

1 Дискретизация непрерывных (цифровых) сигналов…………………………....3

2 Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов………………………...4

3 Преобразование Фурье и Лапласа для дискретных сигналов……………….….6

4 Основные теоремы  Z – преобразования……………………………………….....9

5 Дискретное преобразование Фурье……………………………………………..10

6 Список литературы……………………………………………………………….13

 

 

 

 

                 1 Дискретизация непрерывных (цифровых) сигналов

Под цифровым сигналом понимается любая пронумерованная после-

довательность чисел (цифровых кодов), например, 3, 7, 11, 9, …, в том числе

значений оцифрованного аналогового  сигнала, являющаяся функцией неко-

торого эквидистантного дискретного  аргумента (например, порядкового номера, расстояния или по умолчанию – времени).

Обработка сигналов на цифровых ЭВМ начинается с замены непрерывного сигнала X(t) на дискретную последовательность, для которой применяются такие обозначения

x(nT) , x(n) , x_n , {x₀ ; x₁ ; x₂ ; … } .

Дискретизация осуществляется электронным  ключом (ЭК) через равные интервалы  времени T (Рис. 1.1).

Дискретная последовательность аппроксимирует исходный сигнал X(t) в виде решетчатой функции X(nT). Частота переключения электронного ключа f_д и шаг дискретизации T связаны формулой

f_д = 1 / T .                      (1.1)

Дискретная последовательность или дискретный сигнал выражается через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим образом

x(nT) = x(t) dd(t - nT) ,                  (1.2)

где dd(t) - дискретная dd - функция (Рис. 1.2, а),

dd(t - nT) - последовательность dd - функций (Рис. 1.2, б).

Погрешность, возникающую  при замене аналогового сигнала  дискретным сигналом, удобно оценить  сравнивая спектры этих сигналов.

 

2 Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов.

Исходное выражение  для спектра дискретного сигнала  с учетом (1.2) запишется следующим образом

X(jww) = x(nT) e^-jwwt dt = x(t) dd(t - nT) e^-jwwt dt .

Периодическую последовательность dd - функций здесь можно разложить в ряд Фурье

dd(t - nT) = ,

где с учетом формулы связи спектров периодического и непериодического сигналов

, поскольку F_dd(jww) = 1

После замены в исходном выражении  периодической последовательности dd - функций ее разложением в ряд Фурье получим

X(jww) = x(t)( ) e^-jwwt dt = x(t) e^-jwwt dt .

Учитывая здесь теорему смещения спектров, т.е. :

если f(t) ®® F(jww), то f(t) ®® F[j(ww ±± ww₀)] ,

последнее равенство можно представить  в виде формулы, выражающей связь спектров дискретного X(jww) и аналогового X_a(jww) сигналов

X(jww) = X_a[j(ww - )] .               (1.3)

На основании формулы (1.3) с учетом поясняющих рисунков 1.3, а, б можно сделать следующие выводы :

Спектр дискретного сигнала  состоит из суммы спектров исходного  непрерывного сигнала, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на величину равную частоте дискретизации ww_д

Спектры аналогового и дискретного  сигналов совпадают в диапазоне  частот [-0,5ww_д ; 0,5ww_д], если удовлетворяется неравенство

ww_в Ј£ 0,5ww_д ,               (1.4)

где ww_в - верхняя частота спектра аналогового сигнала.

Равенство в (1.4) соответствует  утверждению теоремы Котельникова о минимальной частоте ww_д.

Смежные спектры X_a(jww) в (1.3) частично перекрываются, если условие (1.4) не выполняется (Рис 1.3, б). В этом случае спектр дискретного сигнала искажается по отношению к спектру аналогового сигнала. Эти искажения являются неустранимыми и называются ошибками наложения.

Аналоговый сигнал можно  восстановить полностью по дискретному  сигналу с помощью ФНЧ, частота среза которого ww_с = 0,5ww_д. Это утверждение основано но совпадении спектров дискретного сигнала на выходе ФНЧ и непрерывного сигнала. Сигнал восстанавливается без искажений, если выполняется условие (1.4). в противном случае сигнал восстанавливается с искажениями, обусловленными ошибками наложения.

Выбор частоты дискретизации  осуществляется в соответствии с (1.4). если частота ww_в не известна, то выбор из ww_д определяется расчетом по формуле (1.1), в которой интервал T выбирается приближенно с таким расчетом, чтобы аналоговый сигнал восстанавливался без заметных искажений плавным соединением отсчетов дискретного сигнала.

 

Преобразование Фурье  и Лапласа для дискретных сигналов.

Для дискретных сигналов формулы Фурье и Лапласа представляется возможным упростить. Действительно, поскольку

то после перехода к дискретной переменной пара преобразований Фурье принимает вид

Здесь применяются формулы одностороннего преобразования Фурье, так как начало отсчета совмещается с началом действия дискретного сигнала.

Формулы Фурье для дискретных сигналов применяются в нормированном  виде, поэтому после замены X(nT) ®® X(nT) / T преобразование Фурье принимает окончательный вид

                  (1.5)

Формулы Лапласа для дискретных сигналов получаются на основании (1.5) после обобщения частоты на всю  плоскость комплексного переменного, то есть jww ®® P = dd + jww

           (1.6)

Z - преобразование.

Эффективность частотного анализа  дискретных сигналов существенно возрастает, если заменить преобразование Лапласа  Z - преобразованием. В этом случае изображение  сигнала X(p), которое представляет собой трансцендентную функцию переменной P = dd + jww, заменяется Z - изображением сигнала X(Z), которое является рациональной функцией переменной Z = x + jy.

Формулы Z - преобразования получаются из формулы Лапласа (1.6) заменой переменных

e^pT = Z .                     (1.7)

Подстановка (1.7) и ее производной

dZ / dp = Te^pT

в (1.6) приводит к формулам прямого  и обратного Z - преобразования

            (1.8)

Точки на мнимой оси комплексного переменного p = dd +jww, то есть точки p = jww, определяют реально частотные характеристики сигнала. Мнимой оси соответствует на плоскости Z единичная окружность, так как в этом случае согласно (1.7)

Z = e^jwwT =            (1.9)

Поэтому непрерывному росту  переменной на мнимой оси плоскости p = dd + jww, соответствует многократный обход единичной окружности на плоскости z = x + jy (Рис. 1.4). Этим фактом объясняется, в частности, то обстоятельство, что интегрирование в формуле обратного z - преобразования (1.8) осуществляется вдоль единичной окружности плоскости z взамен интегрирования вдоль прямой параллельной мнимой плоскости p.

Учитывая вышеизложенное  и формулы (1.7), (1.9) можно утверждать, что левая полуплоскость переменного p = dd + jww отображается на плоскость единичного круга переменного z = x + jy, правая полуплоскость - на плоскость z за пределами единичного круга.

Подстановка (1.9) в z - изображение  сигнала приводит к спектру этого  сигнала, подстановка (1.7) дает изображение по Лапласу.

Пример. Определить спектр и построить графики модуля и аргумента спектральной плотности сигнала x(nT) = {a ; b} (Рис. 1.5, а).

Решение.

Z - изображение сигнала  согласно (1.8)

X(Z) = x(nT) Z^-n = x(0T) Z^-0 + x(1T) Z^-1 = a + bZ^-1

Отсюда подстановкой (1.9) определяем спектр сигнала

X(jww) = a + be^-jwwT.

Графики модуля и аргумента  спектральной плотности приведены  на рисунке 1.6, а, б на интервале частот [0 ; ww_д].

Вне интервала частот [0 ; ww_д] частотные зависимости повторяются с периодом ww_д.

 

Основные теоремы Z - преобразования.

Перечислим без доказательства теоремы z - преобразования, которые  потребуются в последующих разделах.

1. Теорема линейности.

Если x(nT) = ax₁(nT) + bx₂(nT) ,

то X(Z) = a X₁(Z) + bX₂(Z).

Теорема запаздывания.

Если x(nT) = x₁(nT - QT) ,

то X(Z) = X₁(Z) Z^-Q.

Теорема о свертке  сигналов.

Если X(nT) = x₁(kT) x₂(nT - kT) ,

то X(Z) = X₁(Z) X₂(Z).

Теорема об умножении  сигналов.

Если x(nT) = x₁(nT) x₂(nT) ,

то X(Z) = X₁(V) X₂( ) V^-1 dV,

где V, Z - переменные на плоскости Z.

Теорема энергий (равенство  Парсеваля).

x²(nT) = X(Z) X(Z^-1) Z^-1 dZ.

Z - преобразование дискретных  сигналов имеет значение равное значению преобразования Лапласа непрерывных сигналов.

 

Дискретное преобразование Фурье.

Если сигнал ограничен  во времени значением t_u , а его спектр - частотой ww_в , то он полностью характеризуется конечным числом отсчетов N как во временной, так и в частотной областях (Рис. 1.7, а, б) :

N = t_u/T - во временной области, где T = 1/f_д ,

N = f_д/f₁ - в частотной области, где f₁ = 1/t_u .

Дискретному сигналу  соответствует периодический спектр, дискретному спектру будет соответствовать периодический сигнал. В этом случае отсчеты X(nT) = {X₀ ; X₁ ; … X_N-1} являются коэффициентами ряда Фурье периодической последовательности X(jkww₁), период, который равен ww_д. Соответственно, отчеты X(jkww₁) = {X₀ ; X₁ ; … X_N-1} являются коэффициентами ряда Фурье периодической последовательности X(nT), период, который равен t_u.

Связь отсчетов сигнала  и спектра устанавливается формулами  дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Формулы ДПФ следуют из формул Фурье для дискретных сигналов (1.5), если непрерывную переменную ww заменить дискретной переменной  kww₁, то есть

ww ®® kww₁ , dww ®® ww₁.

После замены переменной в (1.5) получим

X(jkww₁) = x(nT) ,

x(nT) = X(jkww₁) .

Отсюда после подстановки ww₁ = ww_д/N, T = 2pp/ww_д формулы ДПФ принимают окончательный вид

X(jkww₁) = x(nT) - прямое ДПФ ,

x(nT) = X(jkww₁) - обратное ДПФ        (1.10)

Сигнал с ограниченным спектром имеет, строго говоря, бесконечную  протяженность во времени и, соответственно бесконечное число отсчетов и непрерывный спектр. Спектр останется непрерывным, если число отсчетов сигнала ограничить конечным числом N. Формулы (1.10) в этом случае будут выражать связь между N отсчетами дискретного сигнала и N отсчетами его непрерывного спектра, который можно полностью восстановить по его отсчетам.

Пример. Определить отсчеты  спектра сигнала на Рис. 1.5, а.

Здесь N = 2 поэтому X(jkww₁) = x(nT) e^-jppkn следовательно

X(j0ww₁) = x(nT)e^-j0 = x(0T) + x(1T) = a + b

X(j1ww₁) = x(nT)e^-jppn = x(0T) e^-j0 + x(1T) e^-jpp = a - b

график отсчетов спектра  приведен на Рис. 1.5, б, где ww₁ = ww_д/N = 0,5ww_д.

Сигнал с конечным числом отсчетов N имеет спектр, который  повторяет с конечной погрешностью спектр сигнала с бесконечным  числом отсчетов : спектры совпадают на отсчетных частотах kww₁ и отличаются на других частотах. Отличие спектров тем меньше, чем больше N. В самом деле, реальные сигналы обладают конечной энергией и, следовательно, начиная с некоторого номера отсчета остальными номерами можно пренебречь ввиду их малости, что не окажет заметного влияния на спектр сигнала.

Пример. Осуществить дискретизацию  экспоненциального импульса X(t) = Ae^-aat = 1 e^-10t и сравнить спектры исходного и дискретного сигналов.

Решение.

График сигнала X(t) представлен  на Рис. 1.8

Пусть T = 0,02с. В этом случае плавным соединением отсчетов сигнала (штриховая линия на Рис. 1.8) сигнал восстанавливается удовлетворительно  хотя заметны искажения в окрестности точки t = 0, поэтому ошибки наложения будут некоторым образом влиять на спектральные характеристики.

Пусть t_u = 0,4с. В этом случае

N = t_u/T = 20.