Кинематическая модель промышленного робота

МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕМАТИКИ МАНИПУЛЯЦИОННого

  робота «Универсал 5»

 

Структурная кинематическая схема  промышленного робота «Универсал – 5»

 

Разомкнутая кинематическая цепь, представляет собой последовательное соединение одного неподвижного и 3 подвижных звеньев с помощью кинематических пар (вращательных и поступательных) V-го класса.

Количество и вид кинематических пар определяют подвижность робота.  Число степеней подвижности (W) Промышленных Роботов определяет число степеней свободы его полной кинематической цепи относительно звена, принятого за неподвижное, например, относительно неподвижной стойки или основания. Другими словами это сумма возможных координатных перемещений объекта манипулирования относительно неподвижного звена. Причем, при определении числа степеней подвижности принято не учитывать движение захватного устройства (УЗ) при захвате объекта манипулирования.   

  В общем виде для пространственной кинематической цепи число степеней подвижности Промышленные роботы определяется по формуле Сомова-Малышева  

  W=6n-5p₅-4p₄-3p₃-2p₂-p₁  (1)  

  где n – общее число подвижных звеньев  

  p1 – p5 – число кинематических пар соответственно I и V классов.  

  Для плоской кинематической цепи число степеней подвижности определяется по формуле П.Л.Чебышева:  

  W=3n-2p₅-p₄ (2)

Следовательно W = 5

 

 

 

 

 

 

 

1. Общее уравнение кинематики манипуляционного робота.

Пронумеруем последовательно все  звенья манипулятора: i=0,1,...,N.

 

С каждым звеном связана своя система  координат. С неподвижным звеном (основанием) манипулятора связана  абсолютная (инерциальная) система  координат – O₀X₀Y₀Z₀. С подвижными звеньями – локальные системы координат – O_iX_iY_iZ_i, i=1,2,3,4. Последнее 4-ое подвижное звено робота связано с рабочим органом, который непосредственно воздействует на объект манипулирования или рабочую среду – это захватное устройство (схват).

В процессе транспортирования  перемещаемый объект манипулирования  образует с захватным устройством  одно твёрдое тело, положение которого в неподвижном декартовом пространстве в каждый момент времени характеризуется  в общем случае вектором обобщённых координат объекта манипулирования  :

,

где

x_p, y_p, z_p – координаты центра схвата в неподвижной инерциальной системе координат O₀X₀Y₀Z₀;

y, q, j – углы, определяющие ориентацию схвата относительно осей инерциальной системы координат, X₀, Y₀, Z₀ соответственно.

Общее уравнение кинематики манипуляционного робота в векторной форме

.

.

Если расписать это  уравнение по каждой координате вектора  , то получим функции положения объекта манипулирования:

 

Схема с наложенными инерциальной и локальной системой координат.

 

2. Специальные системы координат промышленного робота

Универсал 5

Робот Универсал 5 – это четырёхкоординатный робот, работающий в полярно - цилиндрической системе координат, предназначен для комплексной механизации и автоматизации вспомогательных работ в заготовительных, кузнечных, литейных и механосборочных цехах. Номинальная грузоподъёмность робота – 5 кг. Пронумеруем последовательно звенья манипулятора: i=0,1,2,3,4. С каждым звеном свяжем свою систему координат. С неподвижным звеном-основанием свяжем неподвижную (инерциальную) систему координат – O_iX_iY_iZ_i. Начало координат инерциальной системы может лежать в любой точке оси вращательной кинематической пары (0,1). Ось Z₀ направим по этой оси. Ось Х₀ можно направить произвольным образом. Направим ось Х₀ параллельно оси X₁. Ось Y₀ выбираем так, чтобы система O₀X₀Y₀Z₀ являлась правой системой координат.

С подвижным звеном 1 свяжем локальную систему координат O₁X₁Y₁Z₁. Ось Z₁ направим по оси поступательной кинематической пары (1,2). Ось Х₁ направим вдоль общего перпендикуляра к осям Z₀ и Z₁. Ось Y₁ выбираем так, чтобы система O₁X₁Y₁Z₁ являлась правой системой координат. Положение системы O₁X₁Y₁Z₁ в системе O₀X₀Y₀Z₀ определяется параметрами q₁, S₁, a₁, a₁. В самом деле, систему O₀X₀Y₀Z₀ можно совместить с системой O₁X₁Y₁Z₁ при помощи:

1)    вращения вокруг оси Z₀ на угол q₁ (в направлении против движения часовой стрелки) до тех пор, пока оси Х₀ и X₁ не станут параллельными. q₁ – величина переменная, определяет поворот звена 1;

2)    переноса вдоль оси Z₀ на величину S₁ до тех пор, пока оси Х₀ и X₁ не окажутся на одной прямой. S₁ – постоянная величина;

3)    перенос вдоль оси Х₀ в её новом положении здесь будет отсутствовать (а₁=0), так как уже после предыдущих преобразований начала координат О₀ и О₁ совпали;

4)    вращение вокруг оси Х₀ в её новом положении, т.е. вдоль оси Х₁ также будет отсутствовать (a₁=0), т.к. все оси координат (Z₀ и Z₁, Y₀ и Y₁) совместились после двух преобразований.

Из четырёх параметров q₁, S₁, a₁,  α₁= -π/2, определяющих положение системы 1-го звена относительно инерциальной системы координат, только один параметр q₁ является переменным, т.е. является обобщённой координатой манипулятора, соответствующей 1-ой степени подвижности.

С подвижным 2-ым звеном свяжем локальную систему координат O₂X₂Y₂Z₂. Ось Z₂ направим по оси поступательной кинематической пары (1,2). Ось X₁ – вдоль общего перпендикуляра к осям Z₁ и Z₂. Положение системы O₂X₂Y₂Z₂ в системе координат O₂X₂Y₂Z₂ определится параметрами: q₂=0, S₂, a₂=0, α₂= π/2. В самом деле, угол q₂=0, т.к. направления осей X₁ и Х₂ совпадают, и систему O₁X₁Y₁Z₁ можно совместить с системой O₂X₂Y₂Z₂ при помощи переноса вдоль оси Z₁ на величину S₂, в результате чего начала координат и все оси координат совпадут. S₂ - величина переменная и является обобщённой координатой, соответствующей 2-й степени подвижности.

С подвижным 3-им звеном свяжем локальную систему координат O3,X3,Y3,Z3 направим по оси вращательной кинематической пары (2,3). Начало координат инерциальной системы может лежать в любой точке оси вращательной кинематической пары (2,3). Ось Z₂ направим по этой оси. Ось Х₂ можно направить произвольным образом. Направим ось Х₂ параллельно оси X₃. Ось Y₂ выбираем так, чтобы система O2X2Y₂Z₂ являлась правой системой координат. S₃=const, a₃=0,  α₃ =- π/2. Здесь q₃ – величина переменная и является обобщённой координатой, соответствующей 3-й степени подвижности.

Последняя система координат O₄X₄Y₄Z₄ связана с рабочим органом робота (схватом).Положение системы O₄X₄Y₄Z₄ в системе координат O₄X₄Y₄Z₄ определится параметрами: q₄=0, S₄, a₄=0, α₄= 0. S₄ - величина переменная и является обобщённой координатой, соответствующей 4-й степени подвижности

Таким образом, манипулятор промышленного  робота Универсал 5 имеет пять степеней подвижности, каждой из которых соответствуют обобщённые координаты: q₁, S₂, q₃,S₄. Сведём все обобщённые координаты робота, а также остальные параметры, определяющие относительное положение каждой i-й локальной системы координат в системе i-1, в таблицу параметров МР.

 

 

 

Таблица параметров МР.

Кинематическая пара (i-1,i)	Тип кинематической пары	Номер i –го звена	Өi	Si	ai	αi
(0,1)	вращательная	1	Ө1 var	S1 const	0	- π/2
(1,2)	поступательная	2	0	S2 var	0	π/2
(2,3)	вращательная	3	Ө3 var	S3 const	0	- π/2
(3,4)	поступательная	4	0	S4 var	0	0

 

 

 

3. Матрицы преобразования координат промышленного робота «Универсал 5»

Однородная обобщённая матрица  преобразования координат   задаёт положение системы координат i-го звена O_iX_iY_iZ_i в системе звена (i-1) O_i-1X_i-1Y_i-1Z_i-1, а именно левый верхний блок (матрица поворота) задаёт ориентацию осей X_i, Y_i, Z_i относительно осей системы (i-1), правый верхний блок (вектор переноса) задаёт положение начала системы O_iX_iY_iZ_i (точки O_i) в системе O_i-1X_i-1Y_i-1Z_i-1.

 

матрица преобразования координат (1)

 

В соответствии с таблицей параметров МР и на основании матрицы преобразования координат (1) определим матрицы преобразования координат А_i промышленного робота «Универсал 5» по каждой степени подвижности. Для этого будем последовательно подставлять параметры каждой i-ой строки таблицы параметров  в (1).

 

Матрица, задающая положение  системы координат 1-го звена O₁X₁Y₁Z₁ в инерциальной системе координат O₀X₀Y₀Z₀ имеет вид:

A1 =

 

 

 

Q₁ – обобщённая координата манипулятора, задающая угол поворота 1-го звена относительно стойки.

 

 

 

 

 

Матрица, задающая положение системы  координат 2-го звена O₂X₂Y₂Z₂ в системе 1-го звена O₁X₁Y₁Z₁ имеет вид:

A2 =

 

 

 

 

S₂ – обобщённая координата манипулятора, задающая перемещение 2-го звена относительно 1-го звена.

Матрица, задающая положение системы  координат 3-го звена O₃X₃Y₃Z₃ в системе 2-го звена O₂X₂Y₂Z₂ имеет вид:

 

 

 

A3=

 

 

 

Q₃ – обобщённая координата манипулятора, задающая угол поворота 3-го звена относительно 2 звена.

Матрица, задающая положение системы координат 4-го звена O₄X₄Y₄Z₄ в системе 3-го звена O₃X₃Y₃Z₃ имеет вид:

A4=

 

 

 

S ₄ – обобщённая координата манипулятора, задающая угол поворота рабочего органа относительно 3-го звена.

4. Построение кинематической модели промышленного робота «Универсал 5»

T4 =

Матрица Т4 имеет следующий  геометрический смысл :

первый столбец – вектор направляющих косинусов, задающих ориентацию оси X_N (вектора нормали) рабочего органа относительно осей X₀, Y₀, Z₀ инерциальной системы координат соответственно;

второй столбец – вектор направляющих косинусов, задающих ориентацию оси Y_N (вектора ориентации) рабочего органа относительно тех же осей;

третий столбец – вектор направляющих косинусов, задающих ориентацию оси Z_N (вектора подхода) рабочего органа;

четвёртый столбец – вектор координат  x_p, y_p, z_p, задающих положение начала системы рабочего органа (т. O_N), совпадающего, как правило, с центром схвата (т. P) в инерциальной системе координат.

Из девяти направляющих косинусов  матрицы поворота t только три являются независимыми, т.к.:

1)    сумма квадратов направляющих косинусов каждого столбца равна единице;

2)    векторы X_N, Y_N, Z_N образуют правую систему координат и, следовательно, всегда перпендикулярны друг другу.

Поэтому, в общем случае, из двенадцати элементов матрицы T₄ только шесть являются независимыми и полностью определяют положение и ориентацию объекта манипулирования в инерциальной системе координат O₀X₀Y₀Z₀. Ими могут быть шесть наддиагональных элементов матрицы T₄.

 

 

 

 

 

Следовательно кинематическая модель МР имеет вид:

 

 

 

 

 

5. Обратная задача кинематики промышленного робота «Универсал 5».

 Используя матрицы преобразования координат Ai, определим матрицу преобразования координат при переходе от системы координат схвата к инерциальной системе: T4 = A1*A2*A3*A4

 

  T4=

 

Число степеней подвижности робота «Универсал 5» N=4. В этом случае (N<6) невозможно получить произвольное положение и ориентацию объекта манипулирования и, чтобы решить обратную задачу кинематики этого робота, должно быть задано только четыре обобщённых координаты объекта манипулирования (N=m=4).