Основные положения синтеза электрических цепей

     г) Численные методы решения задачи чебышевской аппроксимации.

     Эти методы позволяют осуществить наилучшее  равномерное приближение заданных на любом конечном интервале зависимостей произвольного вида.

     Рассмотрим  один из вариантов численных методов, сводящихся к задаче линейного программирования.

     Пусть на интервале  задана некоторая, показанная на рисунке 3 зависимость ξ(х) и её нужно наилучшим образом в смысле чебышевского критерия близости аппроксимировать функцией f (х) в качестве которой, ради простоты изложения существа метода, возьмём алгебраический полином 2-ой степени т.е.  

     f(х) = а₀х²+а₁х+а₂ 

     Рисунок 3. 

     Заменим указанный интервал некоторой совокупностью  точек х_а, х₁,...., х_.. и пусть их число будет равно a. Функцию ξ(х) также заменим совокупностью точек

     ξ (х_а), ξ (х₁),...., ξ (х_b) и будем решать задачу чебышевской аппроксимации этой совокупности точек полиномом f(х) = а₀х²+а₁х+а₂ .

     Можно доказать, что если число точек  взято достаточно большое, то результаты решения непрерывной и дискретной задач чебышевского приближения совпадают, с точностью до бесконечно малой величины.

     Экспериментально  установлено, что при аппроксимации  полиномами практически достаточным  будет выбор числа точек, в 5-10 раз превышающего степень полинома.

     Для выбранных точек можно записать следующую систему из неравенства: 

       (2) 

     В качестве целевой функции выберем  параметр d, который будем минимизировать путём подбора коэффициентов а₀, а₁, а₂, т.е. .

     В приведённой постановке решаемая задача полностью вписывается в основную задачу линейного программирования и может быть решена по стандартным программам. Найденные в результате решения этой задачи коэффициенты а₀, а₁, а₂ и будут определять полином наилучшего приближения. Аналогичным образом решается задача чебышевского приближения дробно-рациональными функциями.

     Достоинства численных методов:

• применимость метода для аппроксимации ξ (х) произвольного вида, заданной аналитически, либо графически, либо таблицей;
• возможность простого введения в задачу аппроксимации УФР в виде ограничений, дополняющих систему (2).

      Литература 

1. Белецкий  А.Ф. «Теория линейных электрических  цепей » Москва 1986 - с. 375-379, 407-414.

• Белецкий  А.Ф. « Линейные устройства аппаратуры связи. Конспект лекций» - с. 32-39.

• Бакалов В.П. «Теория электрических цепей» Москва «Радио и связь» 1998- с.368-390