Дисперсионный анализ

 
 
 

Проверим  правильность вычислений 
 

 

3. Все отклонения от условного начала, суммы по столбцам и строкам возведем в квадрат

 

Рассчитаем  суммы квадратов отклонений по данным таблицы

 

Затем определим остаточную сумму  квадратов  как разность 
 
 

Далее необходимо определить число степеней свободы вариации для каждой суммы  квадратов отклонений 

 
 

Для того, чтобы определить дисперсии, следует разделить суммы квадратов отклонений на  соответствующее число степеней свободы

Вариацию внутри групп (случайную) определяет       ,равная      , ее и принимают за базу сравнения. Определим фактическое отношение дисперсий. Воспользуемся приложением А и определим Fтабл при уровне вероятности суждения             . Значение Fтабл находим на пересечении столбца и строки

( соответствующих степеням свободы). Проведенный дисперсионный анализ существенность различий между средними в целом. Определим оценку существенности разностей между каждой парой средних. Для этого необходимо вычислить среднюю ошибку разности средних  

 

Обратимся к  приложению Б Значение критерия t – Стьюдента.  

 

Мы определили величину возможных случайных колебаний  при заданном уровне вероятности. Возможны следующие сопоставления 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Пример 3. 

Дисперсионный анализ при группировке данных по двум признакам (неслучайное распределение  повторностей в группе).

Необходимо проанализировать производительность труда двух групп  рабочих, чтобы выявить эффект перехода от работы на старом оборудовании к  новому и стажем участников эксперимента. Оценить достоверность различий между средними по вариантам опыта, используя дисперсионный метод анализа. 

 
 
 
 

Выдвигаем гипотезу о том, что факторы не оказывают влияния на производительность труда. Заключение по гипотезе сделаем с вероятность 0,05.

Величина производительности труда варьировалав зависимости от стажа работы и перехода от старого оборудования к новому. От сочетания этих факторов, от различий в составе групп, а также не исключается случайное варьирование. Исходя из перечисленного, общую сумму квадратов откланений следует представить как сумму 
 

Разложение проведем в два этапа.

На первом этапе  разложим: 
 

А на втором –  
 
 
 

Для упрощения  вычислений выразим результаты эксперимента в отклонениях от постоянной величины А. За А принимается величина, близкая к общей средней

 
 

Проверим правильность проведенных преобразований 
 

Определим общую  сумму квадратов, суммы квадратов  всех вариантов опыта, повторностей. Возводя в квадрат данные таблицы, получим значения для определения                    и                      .

 

Рассчитаем 
 
 
 
 
 

 

Определим число  степеней свободы вариации 
 
 
 
 

Проведем предварительный  анализ дисперсий, разделив суммы квадратов  отклонений на соответствующее число  степеней свободы 
 
 

По приложению А определяем Fтабл. При 5% уровне вероятности для 7 и 14 степеней свободы  
 

Проведя предварительный  анализ существенности средних, делаем вывод о достоверности различий в средних и целесообразности перехода к дальнейшим расчетам.

Приступим к рассмотрению вариации производительности труда, которая  характеризуется различиями по стажу  работы и переходу от старого оборудования к новому и их взаимодействиям. Для  этого, используя суммы отклонений по повторностям, ставим вспомогательную таблицу 

Результаты возведем в квадрат