Елементи математичної статистики в економіці

Вступ

 

Математична статистика - наука про  математичні методи аналізу даних, отриманих при проведенні масових  спостережень (вимірів, дослідів). Залежно від математичної природи конкретних результатів спостережень математична статистика ділиться на статистику чисел, багатовимірний статистичний аналіз, аналіз функцій (процесів) і тимчасових рядів, статистику об'єктів нечислової природи. Істотна частина математичної статистики грунтована на імовірнісних моделях.

Виділяють загальні завдання опису  даних, оцінювання і перевірки гіпотез. Розглядають і більше приватні завдання, пов'язані з проведенням вибіркових обстежень, відновленням залежностей, побудовою і використанням класифікацій (типологий) та ін.

Для опису даних будують таблиці, діаграми, інші наочні представлення, наприклад, кореляційні поля. Імовірнісні  моделі зазвичай не застосовуються. Деякі  методи опису даних спираються на просунуту теорію і можливості сучасних комп'ютерів.

Методи оцінювання і перевірки  гіпотез спираються на імовірнісні  моделі породження даних. Ці моделі діляться на параметричні і непараметричні. У параметричних моделях передбачається, що об'єкти, що вивчаються, описуються функціями розподілу, залежними  від невеликого числа (1-4) числових параметрів. У непараметричних моделях функції розподіли передбачаються довільними безперервними.

У математичній статистиці оцінюють параметри і характеристики розподілу (математичне очікування, медіану, дисперсію, квантилі та ін.), щільності і функції розподілу, залежності між змінними та ін.

Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини. Далі розглянемо застосування неперервних випадкових величин в економіці, а саме при оцінці ризику в ціноутворенні на продукцію великовантажного автомобілебудування.

Оцінка ризику в ціноутворенні на продукцію  великовантажного автомобілебудування на аналізі випадкових величин

 

В умовах насиченості в  товарних лініях (асортиментних групах) конкуруючих виробників машин, схожих по своїх споживацьких якостях, особливу значущість в питанні конкурентоспроможності вантажних автомобілів на ринку  придбаває чинник їх ціни як елемента політики стимулювання збуту продукції підприємства.

Для виробника необхідно врахувати, що в цілях максимізації кількості продажів йому доведеться будувати достатньо гнучку цінову політику, орієнтовану на задоволення індивідуальних потреб замовника (потенційного покупця) автомобіля. У зв'язку з цим важливо наперед врахувати, спрогнозувати можливі варіанти відхилень фактичних значень цін реалізації машин від їх первинних, планових показників, заявлених в прайс-позиціях підприємства, і їх вплив на основні фінансові показники суб'єкта ринкових відносин.

Економічно обгрунтований  процес встановлення ціни на вантажну техніку, що випускається, виходячи з  собівартості її виробництва і стану  ринкової кон'юнктури є найважливішою  умовою побудови ефективної діяльності підприємства-виробника на ринку. Разом  з тим ціноутворення складає  один з найзначущіших компонентів підприємницького ризику.

Так, відхилення фактичного рівня ціни на реалізовувану продукцію  від планового всього на 1 % веде до втрат не менше 1 % доходу від продажів, а при еластичності ринкового  попиту такі втрати можуть скласти 2-3 %; при рентабельності продукції 10-12 % відхилення в ціні, рівне 1 %, може дати втрату 5-10 % прибули.

 

 

 

В підприємницькій діяльності важливо кількісно визначити  ризик, щоб порівняти альтернативні  варіанти ціноутворення і вибрати  самий оптимальний з них. А  оскільки ризик - це вірогідність виникнення збитків в результаті нездійснення події, передбаченої прогнозом, і, отже, поняття вірогідності, то він може бути зміряний інструментами теорії вірогідності і математичної статистики.

Ринкова ціна по своїй природі  є випадковою величиною - змінною, яка  може прийняти те або інше значення в результаті ряду подій, що повторюються (в нашому випадку - фактична ціна реалізації автомобілів конкретному споживачу).

Теорія математичної статистики розрізняє два типи випадкових величин:

1. дискретна - ізольовані значення досліджуваного параметра, які можна наперед перерахувати; дискретні величини відокремлені один від одного проміжками, де немає інших можливих значень відповідного параметра; дискретна величина задається переліком всіх її можливих значень з відповідною вірогідністю, що характеризує закон розподілу дискретної величини;
2. безперервна - випадкова величина, яка може прийняти будь-яке значення з кінцевого або нескінченного інтервалу; безперервні величини не відокремлені один від одного і заповнюють деякий інтервал, причому одне значення випадкової величини не можна відділити від іншого проміжком, що не містить можливого значення цієї ж випадкової величини.

З останнього приведеного  визначення стає очевидним, що ціна як економічна категорія є безперервною випадковою величиною.

З курсу математичної статистики відомо, що перерахувати можливі значення безперервної випадкової величини і  їх вірогідності з побудовою ряду розподілу неможливо. Тому при описі характеру поведінки безперервної випадкової величини використовують не ряд розподілу, а його функцію. Остання і дозволяє судити про ступінь ризику.

До поширених видів  розподілу випадкової величини відносять:

• рівномірне;
• нормальне;
• показове.

Стосовно аналізу ризику в ціноутворенні для задачі опису  розподілу випадкових значень цін  найкращим чином підходить саме нормальний розподіл, оскільки на варіювання цін в ринковій економіці впливає  велика кількість чинників, а нормальний розподіл якраз і дозволяє врахувати  їх дію на значення аналізованої випадкової величини.

Безперервна випадкова величина має нормальний розподіл, якщо її диференціальна функція розподілу (густина розподілу  вірогідності) має наступний вигляд:

 

                                                                                     (1.1)

 

Для вирішення багатьох практичних задач визначення рівня ризику при  безперервній нормально розподіленій випадковій величині достатньо вказати  окремі числові параметри, що дозволяють в зручній, компактній формі охарактеризувати найважливіші риси розподілу. Стосовно проблеми оцінки ризику в ціноутворенні  особливу значущість придбавають такі числові характеристики випадкової величини, як математичне очікування, середньоквадратичне відхилення і  коефіцієнт варіації.

1.Математическое очікування

Особливістю розподілу випадкової величини є наявність в ньому  деякого центру, навкруги якого групується решта її значень. Для характеристики такої особливості служить математичне  очікування - центр розподілу або  середнє значення випадкової величини.

 

Його економічне значення стосовно оцінки ризику в ціноутворенні  полягає в тому, що це свого роду стрижня, в околиці якого будуть з найбільшою вірогідністю варіювати  значення ціни як безперервної випадкової величини.

З курсу математичної статистики відомо, що математичне очікування нормально розподіленої випадкової величини можна представити у  вигляді:

 

                                                                   (1.2)

 

Практичне застосування даної  формули при оцінці ризику в ціноутворенні  вимагає її спрощення:

 

                                                                                 (1.3)

 

де А - нижня межа цінового інтервалу;

     B - верхня межа цінового інтервалу.

Таким чином, математичне  очікування безперервної нормально  розподіленої випадкової величини (значення варіацій цін) буде рівне параметру * у формулі (1.2) або напівсумі числових параметрів меж інтервалу [А;B].

2.Среднее квадратичне  відхилення.

Дисперсія як міра розсіювання  випадкової величини володіє істотним недоліком - характеризує ознаку в іншій  розмірності (унаслідок присутності квадрата різниці Х - МХ), тому для відповідності параметрів Х, МХ використовують δ - середнє квадратичне відхилення:

 

                                                             (1.4)

де: А - нижня межа цінового інтервалу;

      B - верхня межа цінового інтервалу.

 

3. Коефіцієнт варіації  випадкової величини

Це виражене у відсотках  відношення середньоквадратичного  відхилення до математичного очікування випадкової величини:

 

                                                                   (1.5)

 

Коефіцієнт варіації при  нормальному розподілі вірогідності характеризує відсоток відхилень від  очікуваного значення величини, тобто це і є ступінь цінового ризику.

Практичне значення перерахованих  характеристик перш за все в тому, що вони дозволяють осмислено підійти  до кількісної оцінки ризику.

Проілюструємо застосування вищеописаних інструментів на прикладі рішення задачі визначення ступеня цінового ризику.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад

 

Перед відділом маркетингу холдингової компанії ''АвтоКрАЗ'' стоїть задача визначення впливу можливого  відхилення фактичної ціни реалізації автомобіля підвищеної прохідності  КрАЗ-6322 від її запланованого рівня  на розмір прогнозованого доходу від  діяльності компанії на даному сегменті ринку. При цьому є наступна інформація:

• вказана в прайсі компанії ціна на автомобіль - 158500 грн.
• розмір допуску можливих відхилень від початкової ціни - 3% (при цьому мається на увазі, що розмір допуску обгрунтований з погляду економічної ефективності);
• прогнозний об'єм продажів компанії на сегменті автомобілів підвищеної прохідності складає в натуральному виразі 1000 шт.

 

Розв’язання:

Рішення поставленої задачі доцільно розбити на декілька етапів.

Перш за все, необхідно  задати інтервал можливого варіювання цінових рівнів: [153745;158500].

Потім виходячи з розгляду ціни як безперервної нормально розподіленої випадкової величини визначаємо її числові  параметри:

• математичне очікування:

         MX=(153745+158500)/2=156122,5 грн.

• середньоквадратичне відхилення:

          d =156915-155330=2377,5 грн.

Звідси розраховуємо коефіцієнт варіації:

          VX=(2377,5/156122,5)*100%=1,52%.

Таким чином, ступінь ризику для компанії при роботі на сегменті автомобілів підвищеної прохідності  складає 1,52%. За даними табл. 1 отриманий кількісний вираз ступеня ризику відноситься до категорії мінімальній.

Таблиця 1

Емпірична шкала рівня  ризику

Ступінь риизику,%	Градації ризику
0-10	мінімальний
10-30	малий
30-40	середній
40-60	високий
60-80	максимальний
80-100	критичний

 

Маючи свій в розпорядженні  показник ступеня ризику, можна оцінити  його вплив на фінансові результати діяльності ХК ''АвтоКрАЗ'': якщо компанія вийде на прогнозований показник частки ринку, то планові об'єми її доходу складуть 1000*158500=158 500 000 грн.; проте, враховуючи ступінь ризику, плановий дохід повинен бути скоректований  на її величину у бік зменшення.

Таким чином, прогнозний об'єм доходу підприємства складе, найімовірніше, 156 000 000 грн.

Висновок: Отже, показник ступеня цінового ризику грає вельми значущу роль в процесі господарювання підприємства в умовах ринкової економіки, оскільки дозволяє коректувати розміри основних фінансових показників з урахуванням чинника коливається ринкової кон'юнктури, що дає можливість більш обгрунтовано прогнозувати результати виробничо-господарської діяльності підприємства на плановий період (зокрема, більш точно оцінити рівень прибутковості з витікаючою можливістю і реальністю виконання підприємством-виробником своїх фінансових зобов'язань перед кредиторами, акціонерами і т.д.).

 

 

 

Список використаної літератури

 

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. Изд.7-е, стер.- М.: Высш. шк., 1999. - 479 с.
2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: учебник для техникумов. Изд. 2-е, стер.- М.: Высш. шк., 1998.- 336 с.
3. Романюк О.П. Методи економіко-статистичного аналізу. Навч. посіб. – К.: Вид. УАДУ, 1997.