Контрольная работа по "Статистике"

Задание 1

28.   В  урне находятся  три шара с номерами 1, 2, 3. Случайным  образом эти шары один за  другим вынимаются из урны. Какова  вероятность того, что: а) вторым  появится шар с номером «2»;  б)  шар с номером «3» появится  не ранее, чем шар с номером  «1»?

 

Решение:

а) Воспользуемся классическим определением вероятности события , где m – число благоприятных исходов; n – число всевозможных исходов n=3!=1∙2∙3=6.

Вероятность события  А – {вторым появится шар с номером «2»}, т.е. только в одном случае m=1 равна:     .

Вероятность события  В – {шар  с номером «3» появится не ранее, чем шар с номером «1»}, т.е. в  трёх случаях (2; 1; 3), (1; 3; 2),  и (1; 2; 3), m=3 равна:    

Ответ: а) 0,1667; б) 0,5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

28.  Среди 30 деталей три нестандартные.  Наугад извлекаются две детали. Какова вероятность, что среди  них хотя бы  одна деталь  нестандартна.

 

Решение:

Определим вероятность противоположного события  – {среди двух деталей нет нестандартных} р=3/30=0,1; q=1 – p=1 – 0,1=0,9. По формуле Бернулли

Тогда искомая вероятность событии  А – {среди двух деталей хотя бы  одна деталь нестандартная}

Ответ: 0,919

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

4. Производится стрельба тремя ракетами по кораблю. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Для потопления корабля достаточно двух попаданий, при попадании одной ракеты корабль тонет с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что корабль будет потоплен. 

 

Решение:

Введем события:

А – {корабль будет потоплен}

Н_i – {попала i-ая ракета}

Р(Н_i)=0,6

Р(А/Н₁)=0,7

Р(А/Н₂)=1

Р(А/Н₃)=1

Событие А – {корабль будет потоплен}. Вероятность определим по формуле полной вероятности Р(А)=Р(Н₁)·Р(А/Н₁)+Р(Н₂)·Р(А/Н₂)+Р(Н₃)·Р(А/Н₃)=1/3∙0,7·0,6+1/3∙1·0,6+1/3∙1·0,6=0,54

Ответ: 0,54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4

4.  Производится залп из шести  орудий по некоторому объекту.  Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий

 

Решение:

Событие А – {объект ликвидирован}, m≥4, воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа при n = 6; p = 0,6; q =1 – 0,6= 0,4; k₁ =4; k₂ =6

По таблицам значений функции (интеграл вероятности) находим F (2) = 0,47725,  F (0,33) = 0,1293.

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание  5

4.  Вероятность того, что вошедший  в магазин покупатель  сделает покупку, равна 0,4. Предполагая,  что покупатель делает не более  одной покупки, составить закон  распределения числа покупок,  сделанных  в магазине, если  вошло 5 человек. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и  среднее квадратическое отклонение, полученной случайной величины

 

Решение:

Для вычисления вероятностей воспользуемся  формулой Бернулли: , где р=0,4; q=1 – p=1 – 0,4=0,6; n= 5 человек

х₁ – {ни один из покупателей не совершил покупок} 0,07776

х₁ – {один покупатель совершил покупку} 0,2592

х₂ – {два покупателя совершили покупку} 0,3456

х₃ – {три покупателя совершили покупку} 0,2304

х₄ – {четыре покупателя совершили покупку} 0,0768

х₅ – {пять покупателей совершили покупку} 0,01024

1) Ряд распределения  случайной величины

xi	0	1	2	3	4	5	Σ
pi	0,07776	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,01024	1

2) Математическое ожидание 

1·0,2592+2·0,3456+3·0,2304+4·0,0768+5∙0,01024=2

Дисперсия

1²·0,2592+2²·0,3456+3²·0,2304+4²·0,0768+5²∙0,010241² – 2²=1,2

Среднее квадратическое отклонение 

1,095

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 6

4. Время простоя оборудования  в ожидании ремонта распределено  по показательному (экспоненциальному)  закону с математическим ожиданием,  равным 2 часа. Найти вероятность  простоя более трех часов.

 

Решение:

Так как у нас показательное (экспоненциальное)  распределение  на отрезке [a=3; b= ], с показателями 1/l=2 часа и l = 0,5 [час^-1], следовательно, вероятность равна (1 – 0) – (1 – 0,22313)= 0,22313

Ответ: 0,22313

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание  7

 

 Приведенные ниже  данные о ценах на 100 видов товаров  ( в у. е.) записаны в случайном   порядке. Используя эти данные, необходимо:

1) сделать механическую выборку, отобрав 20 видов товаров (каждый пятый считая в порядке записи сверху вниз по колонкам и по этой выборке) ;

2) записать эмпирическую  функцию распределения;

3) построить интервальный вариационный ряд с шириной интервала 20 у.е;

4) построить гистограмму и эмпирическую кривую распределения;

5) предполагая,  что генеральная совокупность имеет нормальное  распределение с плотностью , найти методом моментов по выборке из I) статистические оценки неизвестных параметров а  и ;                   

6) найти доверительные интервалы для а и   с доверительной вероятностью 0,95

7.4 

 

113	159	93	112	154	186	128	111	88	111
133	145	123	138	110	104	128	117	129	158
84	114	118	140	108	109	131	125	114	122
85	90	108	81	120	146	100	79	137	117
113	127	155	95	134	162	97	128	123	149
133	148	121	161	104	130	108	116	123	112
120	164	86	129	92	97	129	154	118	144
101	107	99	96	160	94	112	114	140	141
124	113	89	145	103	141	137	91	109	118
137	124	163	92	139	136	121	138	124	83

 

Решение:

1. Произведем выборку. Получаем

113	127	155	95	134	162	97	128	123	149
137	124	163	92	139	136	121	138	124	83

2. Для построения эмпирической функции распределения F*(x) запишем элементы выборки в порядке возрастания

83

92

95

97

113

121

123

124

124

127

128

134

136

137

138

139

149

155

162

163

Рисунок 1 – Гистограмма распределения

Рисунок 2 – Эмпирическая функция распределения

3. Составляем вариационный ряд с шириной интервала h=20 (у.е.)

Интервалы	[83, 103)	[103, 123)	[123, 143)	[143, 163]
Частоты	4	3	9	4

4. Строим кривые распределения (рисунок 1 и рисунок 2)
5. Методом моментов определяем математическое ожидание и дисперсию

 

6) По формуле:

                         .

По  условию задачи .

В 5) мы вычислили  . Вычислим несмещенную выборочную дисперсию

.

Отсюда  .

По  таблицам распределения Стьюдента  с n – 1=19 степенью свободы находим t при доверительной вероятности 0,95.

            .

Выписываем  доверительный интервал:

покрывающий параметр с вероятностью 0,95.

По  формуле 

             

 и  находим по таблице распределения с n – 1=19 степенью свободы с            .

Выписываем  доверительный интервал

,

покрывающий параметр с вероятностью 0,95.

 

 

 

Задание  8.4.  Получить механическую выборку из данных о ценах  на товары,  приведенных в задании 7, отобрав 50 видов товара  (каждый второй,  считая в порядке записи сверху вниз по колонкам и по этой выборке). Используя критерий согласия  Пирсона, проверить согласие выборочных значений с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами, оцененными предварительно по выборке.

 

133	145	123	138	110	104	128	117	129	158
85	90	108	81	120	146	100	79	137	117
133	148	121	161	104	130	108	116	123	112
101	107	99	96	160	94	112	114	140	141
137	124	163	92	139	136	121	138	124	83

 

Решение:

Определим несмещённые оценки математического  ожидания и среднеквадратического  отклонения  по итогам табл. 8.1., расположенных  в ней в порядке возрастания:

;