Статистические методы в исследовании состава населения

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления в конкретных условиях места и времени. Он выражает величину признака, отнесённую к единице совокупности.   Средняя всегда обобщает количественную вариацию признаков, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами.

Средние величины делятся  на два больших класса:   степенные  средние; к ним относятся такие  наиболее известные и часто применяемые  виды, как средняя арифметическая, средняя геометрическая и средняя  квадратическая;  структурные средние, в качестве которых рассматривается мода и медиана.

Степенные средние в  зависимости от предоставления исходных данных исчисляются в двух формах: простой и взвешенной. Простая  средняя считается по несгруппированным  данным.

Особый вид средних  величин - структурные средние -  применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака.

В качестве структурных  средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы  – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности  значение признака не   превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его. [11],стр.49-65

Ряд динамики – это  последовательность упорядоченных во времени показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Всяки ряд динамики, следовательно, включает два обязательных элемента: время и конкретное значение показателя, или уровень ряда.

При изучении явления  во времени исследователь часто сталкивается с необходимостью описать интенсивность изменения и рассчитать средние показатели динамики. Эта проблема решается путём соответствующих  показателей. Для характеристики интенсивности изменения во времени такими показателями будут:  абсолютный прирост;   темпы роста;   темпы прироста; абсолютное значение 1% прироста.

Система средних показателей  динамики включает:   средний уровень  ряда;   средний абсолютный прирост;  средний темп роста;   средний  темп прироста.

Вариационный ряд (ряд распределения) – это упорядоченное распределение единиц совокупности по возрастающим (чаще) или по убывающим (реже) значениям признака и подсчёт числа единиц с тем или иным значением признака.

Для изменения вариации в статистике применяют несколько способов:  размах вариации;  среднее линейное отклонение;  дисперсия;   среднее квадратическое отклонение;   коэффициент вариации.

В изучении состава населения  также применяются графики, хотя при графических изображениях структуры  населения их аналитическая роль сравнительно невелика, чаще они служат целям популяризации статистических данных. Исключение составляют возрастно-половые пирамиды, несущие аналитическую нагрузку. [9],стр.311-313

 

2. Расчет и анализ статистических показателей, характеризующих состав населения

 

2.1.  Расчёт  относительных величин

 

Анализируя статистические данные, необходимо сопоставлять явления  во времени и в пространстве, исследовать  закономерности их изменения и развития, изучать структуру совокупностей. Результаты статистического наблюдения отражаются прежде всего в форме первичных абсолютных величин. Абсолютная величина показывает уровень развития явления.  Сама по себе абсолютная величина не даёт полного представления об изучаемом явлении, не показывает его структуру, соотношение между отдельными частями, развитие во времени, в этом случае необходимо использовать относительные величины. Относительная величина представляет собой результат деления двух величин.

Численность постоянного  населения Уральского Федерального округа РФ (на 1 января 2011 года; млн. человек)

                                                                              Таблица 1

Область	Численность населения
Курганская	1,062
Свердловская	4,511
Тюменская	3,291
Челябинская	3,605
Всего	12,469

      [6],стр.95

На основе абсолютных показателей, представленным в таблице 1, рассчитать относительные показатели, характеризующие структуру населения по областям Уральского Федерального округа. Построить круговую диаграмму, отражающую доли каждой области в общей численности населения округа. 

1. Курганская область: (1,062:12,469)*100% = 8,5%

2. Свердловская область: (4,511:12,469)*100% = 36,1%

3. Тюменская область: (3,291:12,469)*100% = 26,3%

4. Челябинская область: (3,604:12,469)*100% = 28,9%

 

 

Рис.1 Доля численности населения каждой области в общей численности населения округа

 

На 1 января 2011 года на долю Курганской области приходилось наименьшее количество - 8,5% постоянного населения Уральского Федерального округа, на долю Челябинской – 28,9%, Тюменской – 26,3%. В Свердловской области в указанный период проживало наибольшее число жителей – 4,511 млн. человек, что составляло 36,1% от общего числа постоянного населения округа.

 

 

2.2. Расчет средних  величин

 

Средняя величина - это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака. В средних величинах находят выражение действия общих условий, закономерностей изучаемого явления. Средняя, являясь функцией множества индивидуальных значений, представляет одним значением всю совокупность и отражает то общее, что присуще всем ее единицам.

Средняя арифметическая- (самый распространенный вид средней  величины) вычисляется в тех случаях, когда объём усредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности. Средняя арифметическая равна:                                                                                                                                                                                                                        

                                                              (1)

где n – число единиц совокупности;

x_i – i-ый член совокупности.            [1],стр.85

На основе данных о  численности постоянного населения Уральского Федерального округа  (на 1 января 2011 года) рассчитать среднюю численность жителей округа, оценить степень близости данных отдельных единиц x_i к средней посредством показателей вариации.

По формуле (1) находим среднюю арифметическую простую:

                      

Средняя численность  жителей областей округа на 1 января 2003 года составила 3,117 миллиона человек.

 

 

2.3. Размер и  интенсивность вариации

 

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой  совокупности в статистике называется вариацией признака. Она возникает  в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Средняя величина – это  абстрактная, обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности, которое весьма существенно для  её познания. Средняя величина не даёт представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от неё. В некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало отличаются от неё. В таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность. В других, наоборот, отдельные значения совокупности далеко отстают от средней, и средняя плохо представляет всю совокупность.

Колеблемость отдельных  значений характеризуют показатели вариации.  Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают случайную и систематическую вариацию.

Анализ систематической  вариации позволяет оценить степень  зависимости изменений в изучаемом  признаке от определяющих её факторов. Изучая силу и характер вариации в  выделенной совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность, а следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости данных отдельных единиц x_i к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей.  [10,стр.50-53

 Самая грубая оценка может быть дана с помощью размаха вариации, определяемой как разность между наибольшим (x_max)  и наименьшим (x_min) значениями вариантов:             R = x_max + x_min                        (2)

Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, вычисляют среднее линейное отклонение , которое учитывает различия всех единиц изучаемой совокупности:       

                                                  (3)

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (σ² – средний квадрат отклонений), определяемый по формуле:   

                                              (4)

Корень квадратный из дисперсии представляет собой среднее  квадратическое отклонение:             

                                                           (5)

 

Коэффициент вариации :         

                                                        (6)

Является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если  больше 40%, то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности. [11],стр.68-129

                                                                                                         Таблица 2

Область	xi
Курганская	1,062	2,055	4,223
Свердловская	4,511	1,394	1,943
Тюменская	3,291	0,174	0,030
Челябинская	3,605	0,488	0,238
∑	12,469	4,111	6,434

                   [6],стр.84

По формулам (2), (3), (4), (5), (6) определим показатели вариации.

R = 4,511 – 1,062 = 3,449

Размах вариации показывает, что разница между числом жителей  наиболее населенной Свердловской областью и наименее населенной Курганской областью  равна 3,449 млн. человек, среднее линейное отклонение равно 1,028 млн. человек, дисперсия 1,608 и  среднее квадратическое отклонение 1,268 показывают на относительную надёжность средней. Коэффициент вариации 40,6% не намного, но больше  40%, следовательно, в какой-то степени можно говорить о большой  колеблемости признака в данной статистической совокупности и об её неоднородности.

 

 

2.4.  Расчёт  моды и медианы

 

В статистическом анализе часто применяют структурные или порядковые средние. К ним относятся мода и медиана. В отличие от средней арифметической, структурные средние совершенно не зависят от крайних значений признака.

Мода (М₀) – это значение признака (варианта), которое чаще всего встречается в вариационном ряду. В интервальном вариационном ряду модой приближённо считают центральный вариант так называемого модального интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту. В пределах интервала находят то значение признака, которое является модой. Конкретное значение моды для интервального ряда определяется формулой:

               (7)

где - начальная (нижняя) граница модального интервала;  

 h- величина интервала;   

- частота  модального интервала;       

  - частота интервала, предшествующая модальному;

- частота интервала, следующая  за модальным. [1],стр.199-210

Медиана (Ме) – вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящего его  на две равные части, таким образом, что половина единиц совокупности имеют  значение признака меньше, чем медиана, а половина – больше, чем медиана.

В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы  следующий: расположить индивидуальные значения признака по рангу; определить для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах найти медианный интервал. В интервальном ряду медиана определяется по формуле:           

                                               (8)

где x_о -  нижняя граница медианного интервала; 

N_Me– порядковый номер медианы (∑f/2) ;