Задачи на "Корреляционную связь"

   Один  из простых показателей тесноты  корреляционной зависимости —  показатель корреляции рангов. Разберем порядок вычисления этого показателя на примере.

   Изучается товарооборот и суммы издержек обращения  по ряду магазинов (в тыс. руб.). Данные представлены таблицей 1.

   Таблица 1.

   Из  таблицы видно, что с ростом товарооборота  растут и издержки обращения. График еще раз это подтверждает.

   Но  в ряде случаев увеличение товарооборота  ведет и к уменьшению издержек обращения, поскольку, помимо двух названных величин, в реальном процессе торговли участвуют и другие факторы, которые в рассмотрение не включены и носят случайный характер. Рассмотрим критерий тесноты связи, названный показателем корреляции рангов. От величин абсолютных перейдем к рангам по такому правилу: самое меньшее значение — ранг 1, затем 2 и т.д. Если встречаются одинаковые значения, то каждое из них заменяется средним. Итак:

 

   Построим  разности между рангами и возведем их в квадрат.

   1. Если ранги совпадают, то ясно, что сумма их квадратов равна  0.

                 

   Связь полная, прямая.

   2. Ранги образуют обратную последовательность

   1        10           

   2         9           В этом случае     

   3         8

   .          .            Связь полная, обратная.

   .          .

   .          .

   10        1 

   3. Среднее значение из двух крайних  означает полное отсутствие связи:

     
 

   4. Показатель корреляции рангов:

   

   Показатель  показывает, как отличается полученная при наблюдении сумма квадратов  разностей между рангами от случая отсутствия связи.

   Проанализируем  показатель корреляции рангов.

   1. Связь полная и прямая,     и   

   2. Связь полная и обратная,    и   

   3. Все остальные значения лежат  между -1 и +1.

   Построим  показатель корреляции рангов для нашего примера:

   Полученный  показатель свидетельствует о достаточно тесной связи между товарооборотом и издержками.

   Для определения тесноты корреляционной связи применяется коэффициент корреляции.

   Коэффициент корреляции изменяется от -1 до +1 и показывает тесноту и направление корреляционной связи.

   Если  отклонения по и по от среднего совпадают и по знаку, и по величине, то это полная прямая связь, то =+1.

   Если  полная обратная связь, то =-1.

   Если  связь отсутствует, то =0.

   Наиболее  удобной формулой для расчета  коэффициента корреляции является: 

       (1)

   Коэффициент корреляции можно рассчитать и по другой формуле:

      (2), где

            и        

   Пример.

   Вернемся  к примеру, где были рассмотрены  товарооборот и издержки обращения  по 10 магазинам.

   Таблица

   Все необходимые данные для определения  коэффициента корреляции есть в таблице, их лишь остается подставить в необходимую  формулу.

   

   В ряде случаев возникает необходимость установления статистической связи между признаками, не имеющими количественного выражения.

   Пример.

   На  предприятии работает группа станков. В силу организационно-технических  причин, периодически возникают простои. Было проведено 133 наблюдения за работой станков на протяжении дня , при этом в 59 случаях были отмечены простои, соответственно в 74 случаях их не было. После рационализаторского предложения, направленного на уменьшение простоев, вновь было проведено наблюдение, но уже за 66 станками. При этом в 27 случаях были отмечены простои, в 39 — нет. Ставиться вопрос: а есть ли вообще связь между сделанным предложением и уменьшением простоев. либо это вообще между собой никак не соотносится.

   В данном случае сопоставляются два признака, причем альтернативных.

   1 признак — наличие или отсутствие  рационального предложения;

   2 признак — наличие или отсутствие  простоев.

   Ни  тот, ни другой признак нельзя выразить числено. Поэтому введем следующие  обозначения.

   Первый  признак (х): — наличие рационального  предложения (1), отсутствие — (0).

   Второй  признак (у): — отсутствие простоев (1), наличие простоев (0). 

   Наши  наблюдения представим таблицей:

   Для центральной части таблицы введем специальные обозначения

   В этих обозначениях коэффициент корреляции имеет вид:

   

   его еще называют коэффициентом ассоциации.

   Он  так же меняется от -1 до +1 и для  нашего примера равен:

   

   Очень маленький коэффициент. Показывает, что связь между рациональным предложением и уменьшением числа простоев очень мала. Конечно, простои уменьшились, но не на столько эффективно, как бы этого хотелось.