Закон больших чисел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………………………………	3
1. Неравенство Чебышева…………………………………………………….	5
2. Теорема Чебышева…………………………………………………………	8
3. Сущность теоремы  Чебышева……………………………………………..	12
4. Значение теоремы  Чебышева для практики………………………………	13
5. Теорема Бернулли………………………………………………………….	15
Заключение……………………………………………..………………...........	18
Список литературы…………………………………………………………...	19

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое  из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

В данной курсовой работе изучен закон больших чисел.

Актуальность. Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы, которые здесь не рассматриваются). Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

Цель работы. Сформулировать и доказать теорему Чебышева и Бернулли и рассмотреть их значение для практики.

Задачи работы.

• доказать неравенство Чебышева;
• на основе неравенства Чебышева вывести теорему Чебышева;
• рассмотреть значение теоремы Чебышева для практики;
• сформулировать и доказать теорему Бернулли.

 

Структура работы. Во введении дается обоснование актуальности темы курсовой работы, формулируются цель и задачи. В теоретической части доказываются неравенство и теорема Чебышева и рассматривается сущность и значение для практики данной теоремы. Формулируется и доказывается теорема Бернулли. В заключении подводятся итоги и выводы по работе.

 

1. Неравенство Чебышева

 

Неравенство Чебышева справедливо  для дискретных и непрерывных  случайных величин. Для простоты ограничимся доказательством этого  неравенства для дискретных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную таблицей распределения:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

 

Поставим перед собой  задачу оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа e. Если e достаточно мало, то мы оценим, таким образом, вероятность того, что X примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию. П. Л. Чебышев доказал неравенство, позволяющее дать интересующую нас оценку.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем 1-D (Х)/ e ²:

Р(|Х -М(Х)|< e )

1-D(X)/ e².

Доказательство. Так как  события, состоящие в осуществлении  неравенств |Х—М(Х)|<e и |Х—М(Х)| e, противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.

Р(|Х —М(Х)|< e )+ Р(|Х —М(Х)|

e)= 1.

Отсюда интересующая нас вероятность

Р(|Х —М(Х)|< e )=1- Р(|Х —М(Х)| e).                              (1)

Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности                       Р (| Х—М(Х) | e).

 

Напишем выражение дисперсии  случайной величины X:

D(X)=[x₁ -M(X)]²p₁+[x₂ -M(X)]²p₂+…+[x_n -M(X)]2p_n.

Очевидно, все слагаемые  этой суммы неотрицательны.

Отбросим те слагаемые, у которых |x_i-M(Х)|< e (для оставшихся слагаемых |x_j-M(Х)| e), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

D (X)

[x_k+1-M (Х)]² p_k+1 + [x_k+2-M (X)]² p_k+z+ ... +[x_n-M(X)]²p_n.

Заметим, что обе части  неравенства |x_j - М (Х)| e (j = k+1, k + 2, ..., п) положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство |x_j - М (Х)|² e² Воспользуемся этим замечанием и, заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей |x_j - М (Х)|² числом e² (при этом неравенство может лишь усилиться), получим

D (X) e² (р_к+1 + p_k+2 + … + р_n).                             (2)

По теореме сложения, сумма вероятностей р_к+1 + p_k+2 + … + р_n есть вероятность того, что X примет одно, безразлично какое, из значений x_k+1, х_к+2,....х_п, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству                  |x_j - М (Х)| e Отсюда следует, что сумма р_к+1 + p_k+2 + … + р_n выражает вероятность

P(|X - М (Х)|

e).

Это соображение позволяет  переписать неравенство (2) так:

D(X)

e² P(|X — М (Х)| e) ,

или

P(|X — М (Х)| e) D(X) / e ²                                  (3)

Подставляя (3) в (1), окончательно получим

P(|X - М (Х)| <e)

1- D(X) / e ²,

что и требовалось  доказать.

 

Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если D(X)> e² и, следовательно, D(X)/ e²>1, то 1- D (Х)/ e² < 0; таким образом, в этом случае неравенство Чебышева указывает лишь на то, что вероятность отклонения неотрицательна, а это и без того очевидно, так как любая вероятность выражается неотрицательным числом.

Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Ниже мы воспользуемся этим неравенством для вывода теоремы Чебышева.

 

 

2. Теорема Чебышева

 

Теорема Чебышева. Если Х₁, Х₂,…, Х_n, ...–попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число е, вероятность неравенства

будет как  угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

Таким образом, теорема  Чебышева утверждает, что если рассматривается  достаточно большое число независимых  случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину — среднее арифметическое случайных величин

=(X₁+X₂+…+X_n)/n.

Найдем математическое ожидание . Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), получим

M = .              (4)

 

 

Применяя к величине неравенство Чебышева, имеем

 

или, учитывая соотношение (4),

 

              (5)

Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести  за знак дисперсии,  возведя его  в квадрат; дисперсия суммы независимых  случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим

.

По условию дисперсии  всех случайных величин ограничены постоянным числом С, т. е. имеют место неравенства: D (X₁) C; D (X₂) C; ...; D (X_n) C, поэтому

(D (X₁)+ D (X₂) +…+D (X_n))/n²

(C+C+…+C)/n²=nC/n²=C/n.

Итак,

  .                                                (6)

Подставляя правую часть (6) в неравенство (5) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем

 

Отсюда, переходя к пределу  при  , получим

 

Наконец, учитывая, что  вероятность не может превышать  единицу, окончательно можем написать

 

Теорема доказана.

 

Выше, формулируя теорему  Чебышева, мы предполагали, что случайные  величины имеют различные математические ожидания. На практике часто бывает, что случайные величины имеют  одно и то же математическое ожидание. Очевидно, что если вновь допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин  через а; в рассматриваемом случае среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно а. Мы можем сформулировать теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

 

Если Х₁, Х₂, ..., Х_п ,... –попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число e > О, вероятность неравенства

будет как  угодно близка к единице, если число  случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы будет иметь место  равенство

 

3. Сущность теоремы Чебышева

 

Сущность доказанной теоремы такова: хотя отдельные независимые  случайные величины могут принимать  значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а именно к числу (М (X₁) + М(Х₂) +...+М (Х_п))/п (или к числу а в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива  не только для дискретных, но и для  непрерывных случайных величин; она является ярким примером, подтверждающим справедливость учения диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.

 

4. Значение теоремы Чебышева для практики

 

Приведем примеры применения теоремы Чебышева к решению практических задач.

Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. При каких условиях этот способ измерения можно считать правильным? Ответ на этот вопрос дает теорема Чебышева (ее частный случай).

Действительно, рассмотрим результаты каждого измерения как  случайные величины Х₁, Х₂, ..., Х_п. К этим величинам можно применить теорему Чебышева, если:

1) они попарно независимы,

2) имеют одно и то  же математическое ожидание,

3) дисперсии их равномерно ограничены.

Первое требование выполняется, если результат каждого измерения  не зависит от результатов остальных. Второе требование выполняется, если измерения  произведены без систематических (одного знака) ошибок. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны истинному размеру а. Третье требование выполняется, если прибор обеспечивает определенную точность измерений. Хотя при этом результаты отдельных измерений различны, но рассеяние их ограничено.