Применение метода экстраполяции при обработке информации в системе производства, сбыта и хранения товаров

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЭКСТРАПОЛЯЦИИ ПРИ ОБРАБОТКЕ ИНФОРМАЦИИ В СИСТЕМЕ ПРОИЗВОДСТВА, СБЫТА И ХРАНЕНИЯ ТОВАРОВ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

Введение………………………………………………………………….………3

Модель фирмы, производящей n видов товаров…………………………….….4     

Построение модели производства, сбыта и хранения двух видов товаров…...8

Алгоритм линейной экстраполяции……………………………………………10

Результаты моделирования………………………………………………...……12

Заключение……………………………………………………………………….17

Список использованной литературы…………………………………………...18

Приложение 1…………………………………………………………………….19

Приложение 2…………………………………………………………………….20                     

Введение

Необходимым условием достижения максимальной производительности фирмы  является, безусловно, владение информацией о товарах, которые эта фирма производит. Целью деятельности любой фирмы является улучшение производительности, а также, безусловно, максимизация прибыли. Это становится возможным при построении модели и получения информации о состоянии производства на текущий момент времени.

В настоящей работе рассмотрена  динамическая модель производства, сбыта  и хранения товаров повседневного  спроса, а именно, модель фирмы, производящей n видов товаров. Однако, при составлении реальной модели фирмы, невозможно предусмотреть абсолютно все неточности. На практике мы наблюдаем за компонентами вектора состояния с ошибками, что вызывает необходимость использовать рекуррентные оптимальные оцениватели для получения более точной картины. Помимо этого существует возможность задержек при поступлении информации в систему контроля, поэтому необходимо использовать рекуррентные оцениватели, осуществляющие прогноз – экстраполяторы.

В настоящей работе рассмотрена  система обработки информации с  помощью экстраполятора Калмана. Такую систему можно использовать когда информация поступает в момент времени k, а прогноз осуществляется на момент времени (k+1). В качестве примера применения данного метода рассмотрена модель фирмы, производящей 2 вида товаров. В первом варианте моделирования представлен случай, когда исследователь располагает информацией о товарах, находящихся и на рынке и у потребителя, во втором случае рассмотрен более реальный вариант, а именно, когда мы не знаем о количестве товаров у потребителя, так как реально контролировать эти компоненты не представляется возможным.

 

 

 

1. Модель фирмы, производящей n видов товаров

Наиболее распространённые математические модели экономических  систем имеют статистический характер и содержат  уравнения, отражающие соотношения баланса в фиксированный  момент времени или за один производственный цикл. Базовая модель, описывающая  производство и продажу на рынке  некоторых товаров повседневного  спроса, основана на соотношениях баланса  потоков товара у производителя  и у потребителя, а также дохода от продажи товара.

Будем рассматривать модель для фирмы, производящей n видов товаров в условиях рынка. Вектор состояния представлен компонентами:

                                                          (1)

где

 количество товаров i-ого вида на рынке;

         количество товаров i-ого вида у потребителя;

         доход (разность между выручкой и затратами в единицу времени).

Математическую модель динамики изменения количества товаров у  потребителей и на рынке, а также  прибыли можно записать в следующем  виде (для n видов товаров):

 

 

 

                              (2)                      

……………..

 

 

,

где

  – темп производства товара, то есть – количество единиц товара, выпущенных в единицу времени,

 – коэффициент порчи товара при хранении на рынке;

 коэффициент  потребления купленного товара  в единицу времени;

 плата за  хранение единицы непроданного  товара в единицу времени;

себестоимости;

количество проданных  товаров i-ого вида в один такт, .

Функции продаж определяются по формулам:

                                 (3)

 коэффициенты продаж;

 цены на товары, ;

         потенциальный  спрос i-ого вида товара (объём рынка для i-ого вида товара).

Параметры ,,, считаются постоянными. Величины u, c (темп производства и продажная цена) назначаются производителем и могут быть как постоянными, так и переменными. Переменные z, v, w являются функциями времени и могут изменяться в соответствии с законами рынка.

Таким образом, модель (2),(3) может  быть представлена в следующем виде:

                            (4)

где вектор имеет следующий вид:

,

q(k)- дополнительно введённые аддитивные возмущения, учитывающие возможные ошибки модели.

Матрица динамики А для данного объекта имеет вид:

 

,

 

элементы матрицы определяются по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица В имеет вид:

 

Начальное значение x(0) и вектор возмущений q(k) по предположению являются гауссовскими случайными величинами, для которых выполняются условия:

 

Здесь символ Кронекера, т.е. при k=j и при .

Также предполагается что начальное состояние и вектор возмущений взаимно некоррелированы:

 

 

 

 

 

 

 

2. Построение модели производства, сбыта и хранения двух видов товаров

В случае, когда рассматривается  модель производства двух видов товаров  в условиях рынка, вектор состояния x(k) состоит из пяти компонент:

 

 

где

 количество товаров 1-ого и 2-ого вида на рынке;

количество товаров 1-ого и 2-ого вида у потребителя;

         прибыль

Исходя из приведённых  выше уравнений, математическая модель динамики изменения количества товаров  у потребителей и на рынке, а также  прибыли может быть записана в  следующем виде:

 

 

 

                                     

 

где:

количество товаров, выпускаемых за один такт;

 коэффициенты потерь;

        коэффициенты потребления;

        стоимость хранения единицы товаров;

          себестоимости

          количество проданных товаров 1-ого и 2-ого вида за один такт(функции продаж).

Формулы для  имеют вид:

 

 

 коэффициенты продаж;

  цены на товары;

 потенциальный спрос на товар 1-ого и 2-ого вида

В векторно-матричном виде модель следующая:

 

Вектор представляется в следующем виде:

 

Матрица динамики А для данного объекта имеет вид:

,

 

Матрица В и вектор управления следующие:

 

 

 

 

3. Алгоритм линейной экстраполяции

Математическая линейная модель рассматриваемого объекта описывается уравнением:

 

где:

    A - матрица динамики для данного объекта,

   B - матрица влияния управления,

     - гауссовский случайный вектор,

   - вектор управления

Оценку экстраполяции за один такт определим следующим образом:

 

в которой:

 K –матрица коэффициентов передачи экстраполятора,

 Н – матрица системы контроля.

Модель системы контроля имеет вид:

 

Вычислим ошибку экстраполяции:

, выполняя несложные преобразования, получим:

 

Матрица вторых моментов ошибки экстраполяции:

 

           (6)

 

Используя правила матричного дифференцирования функции след найдем матрицу из условия (символ tr означает след матрицы):

Правила матричного дифференцирования:

 

 

 

и приравняв градиент   к нулю, получим:

 

 

 

откуда:

 

Выражая К получим следующую формулу для матрицы коэффициента передачи экстраполятора:

 

4. Результаты моделирования

1 вариант.

Моделирование выполнялось  при следующих начальных данных: матрица  , вектор управления- константа , матрица интенсивности   и матрица системы контроля , матрица ковариации, начальные условия для объекта и его оценки задаются как: .

На приведённых ниже графиках представлены результаты вычислений, из которых видно, что оценки процессов начинают удерживаться вблизи реальных значений практически, начиная с 1-го и 2-го тактов.

                          

  

 

                                                                                                                                                    

                                                                                     

                                                                                                                   

                                      

 

 

 

                  

  

 

 

 

 

                                             

 

 

Рис. 2. График второй компоненты и ее оценки

                  

  

 

 

 

 

                         

 

 

Рис. 3. График третьей компоненты и ее оценки

 

 

 

 

 

                          

                                                       
   

 

 

 

                         

           

 

 

 

 

 

Рис. 5. График пятой компоненты и ее оценки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 вариант.

Рассмотрим второй вариант  системы контроля. В этом случае матрица системы контроля H имеет размерность 3 5, в которой 2-ая и 4-ая компонента нулевые, поскольку в реальности, компоненты вектора состояний , контролю не подлежат, то есть мы не можем точно знать каким количеством товара располагает потребитель.

Таким образом, , остальные исходные данные останутся прежними, как в первом варианте.

Приведем графические результаты:

                  

 

 

 

                                               

 

                                           

 

 

Рис. 1. График первой компоненты и ее оценки

                  

 

 

 

                                  

                                           

 

 

Рис. 2. График второй компоненты и ее оценки

                  

           

 

 

 

 

                                     

 

 

Рис. 3. График третьей компоненты и ее оценки

                  

           

 

 

                                                     

 

                                           

 

 

Рис. 4. График четвертой компоненты и ее оценки

                  

                                                                    

                                                                                                           

 

 

 

 

 

 

Рис.5. График пятой компоненты и ее оценки

Заключение

1. В работе исследуется модель производства, сбыта и хранения n видов товаров. Обработка информации в экономической системе осуществляется с помощью линейного экстраполятора.
2. Изучен алгоритм линейного экстраполятора для обработки информации в системе производства, сбыта и хранения товаров для оценивания стратегии управления фирмой.
3. С использованием пакета прикладных программ Mathcad (версия 14.0) составлена программа моделирования линейного дискретного экстраполятора. Как показали исследования, даже если компоненты ,которые характеризуют количество товаров у потребителя, не наблюдаются, оценки являются сходящимися, и оценивание происходит с приемлемой точностью.