Расчет параметров посадки и калибров для проверки отверстия и вала

 

1. Определим среднее арифметическое и стандартное отклонение для данных таблицы 1:

    

    

2. С помощью  правила «трех сигм» проверяем наличие или отсутствие промахов.

    

    

Таким образом, ни один из результатов не выходит  за границы интервала  , следовательно, с вероятностью 0,9973 гипотеза об отсутствии грубых погрешностей принимается.

3. Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о виде закона распределения вероятности.

    Для того чтобы построить гистограмму, необходимо результаты отдельных измерений  расположить в так называемый вариационный ряд  по возрастанию  их численных значений.

    Участок оси абсцисс, на котором располагается вариационный  ряд значений физической величины, разбивается на k одинаковых интервалов . При выборе числа интервалов следует придерживаться следующих рекомендаций:

Число измерений «n»	Число интервалов «k»
40-100	7-9
100-500	8-12
500-1000	10-16
1000-10000	12-22

Тогда:

    

Начало  первого интервала выбирается таким образом, чтобы это значение оказалось меньше, чем минимальный результат вариационного ряда. Последний интервал должен покрывать максимальное значение ряда. Выберем начало первого интервала в точке 21,16, тогда конец последнего (9-го) интервала окажется в точке 21,64.

    Затем для каждого интервала подсчитывается количество результатов m_i, попавших в данный интервал и определяется

    

     Если  в интервал попадает меньше пяти наблюдений, то такие интервалы объединяют с  соседними, соответственно изменяется и параметр .

                                                          начало             окончание         кол-во совпадений m_i

      - первый интервал составляет            21,16      до          21,208                    4   

      - второй интервал составляет             21,208      до        21,256                    6   примем m₁=10

      - третий интервал составляет             21,256      до        21,304                   10

      - четвертый интервал составляет       21,304      до        21,352                   16

      - пятый интервал составляет              21,352      до        21,4                       19

      - шестой интервал составляет            21,4         до         21,448                   20

      - седьмой интервал составляет           21,448      до        21,496                  9

      - восьмой интервал составляет           21,496     до         21,544                   8

      - девятый интервал составляет           21,544     до         21,592                   6

           - десятый интервал составляет            21,593     до        21,64                      2 примем m9 = 8

           -Так, в нашем примере объединяются два первых и два последних интервала, их ширина становится равной 0,1. Общее число интервалов становится равным 7.

    Результаты  производимых вычислений заносятся  в первую половину таблицы 2, а затем строится сама гистограмма (рис.1).

Определяем для каждого из интервалов.

     ; ; ; ; ; ; ;

Построим гистограмму

 

    Рис.1

    Из  вида гистограммы на рис. 1 можно сделать предположение о том, что вероятность результата измерения подчиняется нормальному закону. Проверим правдивость этой гипотезы.

4. Проверка нормальности  закона распределения по критерию  Пирсона.

Для расчета  критерия Пирсона необходимо знать эмпирические частоты и теоретические вероятности для каждого интервала . Для расчета вероятностей используется функция Лапласа:

Значения X₁ и X₂ соответствуют началу и концу интервала. Для каждого из этих значений рассчитываем относительный доверительный интервал t, а затем из таблиц функции Лапласа находим соответствующие значения этой функции и . 

Рассчитаем значение относительного доверительного интервала  t для каждого из интервалов.

     ;                           

;     ;                                               Из таблице найдем

;     ;                                           ;     ;

;     ;                                           ;     ;

;     ;                             ;     ;

;     ;                                             ;     ;

;       ;                                             ;    

;       ;                                              ;       ;

                                                                                    ;       ;

;       ;                                              ;       ; 

Определим значение P для каждого интервала: 

;   ;  ;  ;  ;  ;   ;

Рассчитаем значение – критерия для каждого интервала и суммарное  значение :

;  ;  ;  ;  ;  ;  ; ;

Определим табличное (критическое) значение , задавшись доверительной вероятностью 0,93 и вычислив по формуле число степеней свободы:

     ;   ;   ;

Таким образом, с вероятностью 0,93 гипотеза о нормальности распределения вероятности результата измерения принимается.

5. В тех же  координатах, что и гистограмма,  следует построить теоретическую  кривую плотности вероятности.  Для этого рассчитываем значения  плотности вероятности для середины  каждого интервала  и отложим как ординаты из середин соответствующих интервалов; полученные точки соединим плавной кривой, симметричной относительно математического ожидания (среднего арифметического значения) (рис 1).

;   ;   ;   ;   ;   ;   ;  

Результаты вычислений                                                                          Таблица 2

i	Интервалы		mi
1	21,16	21,208	4	2,083	-1,732	-0,976	-0,4591	-0,3315	0,1276	0,6
2	21,208	21,256	6
3	21,256	21,304	10	2,083	-0,976	-0,598	-0,3315	-0,2257	0,1058	0,003
4	21,304	21,352	16	3,33	-0,598	-0,22	-0,2257	-0,0871	0,1386	0,33
5	21,352	21,4	19	3,958	-0,22	0,157	-0,2357	-0,0398	0,1507	1,02
6	21,4	21,448	20	4,17	0,157	0,535	-0,0398	0,1628	0,1418	2,39
7	21,448	21,496	9	1,875	0,535	0,913	0,1628	0,3264	0,1132	0,48
8	21,496	21,544	8	1,67	0,913	1,29	0,1628	0,3264	0,0829	0,01
9 10	21,544 21,592	21,592 21,64	6 2	1,67	1,29	2,047	-0,4965	-0,4525	0,0778	0,006

6. Представление  результата в виде доверительного  интервала.

Определим стандартное  отклонение среднего арифметического  по формуле:

    

Закон распределения  вероятности для среднего арифметического считаем нормальным, тогда доверительный интервал определяется по выражению при доверительной вероятности 0,93. Этому значению соответствует аргумент функции Лапласа t = 1,82.

;

;

Если закон  распределения вероятности для  среднего арифметического считаем  неизвестным, то относительный доверительный  интервал рассчитываем в соответствии с неравенством Чебышева:

;  ; 

;

Как видно из сравнения результатов, неизвестность  закона распределения вероятности  приводит к расширению доверительного интервала, то есть к увеличению дефицита измерительной информации. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                           Список используемой литературы: 

1.Допуски и  посадки. Справочник: В 2т./ Под  ред. В. Д. Мягкова. – Л.: Машиностроение, 1982. - 987 с.

2. ГОСТ 25347-82. Единая  система допусков и посадок.  Поля допусков и рекомендуемые  посадки.

3. Бурдун Г.  Д. , Марков Б. Н. Основы метрологии. Учебное пособие для вузов. Издание третье, переработанное.