Клеточные автоматы

 

3.2 Результати  моделювання

 

Продемонструємо дану модель для випадку , , , і індексі сусідства Мура, при .  

Рисунок 15 – початкова конфігурація

Рисунок 16 – 50 ітерацій

Рисунок 17 – 350 ітерацій

Це можна  інтерпретувати як поширення інфекції із початкової області. Особа інфікується  якщо серед її сусідів є хоча б  один інфікований із імовірністю .

Цікаві результати демонструє модель, якщо ввести відображення також імовірнісним. Правда, тоді вже не буде зростаючою, а кількість кліток, що задовольняють буде варіюватися.

 

При і інших умовах як в попередній моделі, отримав результати на рис. 18 - рис. 20.

Також можна виділити підмножину , елементи якої не враховувати при підрахунку

 

Рисунок 18 – початкові умови

Рисунок 19 – 500 ітерацій

Епідеміологічна інтерпретація такої моделі:

Популяція індивідів розподілена у двовимірному масиві , кожній особі відповідає деякий елементарний клітковий автомат із структури. Кожна клітка може приймати чотири стани – 0, 1, 2, 3, які інтерпретуються як «вразливий», «інфікований», «хворий» і «здоровий» або «невразливий». Всі особи народжуються вразливими і з часом можуть бути інфікованими. Динаміка системи визначається такими правилами:

• Якщо щільність хворих і інфікованих серед сусідів вразливої особи перевищує , то вона із імовірністю інфікується.
• Інфіковані стають хворими на наступному кроці.
• Хворі виліковуються і дістають імунітет. 

У позначеннях  моделі описаної вище це можна записати так:

, , .

Результати  моделювання на рис. 20 – рис. 22.

 

Рисунок 20 – (початкові умови – одна інфікована клітка у ценрі рисунка)

                                  Рисунок 21 – (початкові умови – одна інфікована клітка у ценрі рисунка)

 

                                  Рисунок 22 –

Остання модель після певного числа ітерацій входить у стан, коли зупиняється  будь-яка активність і інфекція вже  розповсюдилася на весь масив, тоді клітки залишаються або білого або сірого кольору. Сірі клітки можна інтерпретувати як осіб, які перехворіли, а білі – як осіб, які не були інфіковані. Графік залежності відношення білих  кліток відносно всіх кліток для   на рис. 23 (для немає значення, тому що активність зупинялася практично відразу).

Рисунок 23

 

 

ВИСНОВКИ

 

У першому розділі своєї курсової роботи я розглянув основні поняття та історію розвитку теорії клітинних автоматів. Також були розглянуті основні види клітинних автоматів: моногенні, полігенні, детерміновані, недетреміновані, стохастичні, особливий інтерес викликають клітинні автомати із рефрактерністю. Приведена класифікація найпростіших одновимірних клітинних автоматів та основні види правил для двовимірних клітинних автоматів, деякі із цих правил можуть мати великий практичний інтерес.

У другому  розділі були розглянуті деякі сфери  застосування теорії однорідних структур. Клітинні структури за визначенням забезпечують три фундаментальні властивості: однорідність, локальність і паралельність, якщо ж запрограмувати правило так, щоб воно було оборотнім, то така дискретна динамічна система може бути використана для моделювання фізичних явищ. Такі системи мають багато переваг над класичними методами і зараз активно застосовуються для моделювання гідродинамічних явищ, дифузії та ін. Також клітинні автомати активно застосовуються у соціології, наприклад, для моделювання електоральних процесів.

  У третьому розділі була запропонована проста епідеміологічна модель на основі концепції поширення властивості у просторі клітинними автоматами. Було зроблено багато рисунків, які показують динаміку поширення інфекцій при різних параметрах. З точки зору медицини в цій моделі може бути знайдено багато недоліків, але, я думаю, сама концепція може бути використана в подальшому.

 

 

 

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ТА ЛІТЕРАТУРИ

 

1. Аладьев В.З. Однородные структуры [Текст] /В.З. Аладьев. – К.: Тэхника, 1990. – 272 с. - ISBN 5-335-00949-7.
2. В.З. Аладьев Классические однородные структуры Клеточные автоматы[Электронный ресурс] / В.З. Аладьев. – ISBN 1-59682-137-X. – Режим доступу: www.fultus.com.
3. Тоффоли Т. Машины клеточных автоматов [Текст] /Тоффоли Т., Марголус Н; Пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 280 с., ил. – ISBN 5-03-001619-8.
4. Cellular Automaton [Electronic resource] . – Mode of access: http://en.wikipedia.org/wiki/Cellular_automaton.
5. Elementary cellular automaton [Electronic resource]. – Mode of access: http://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_cellular_automaton.
6. Redouane Slimi Spreadable Probabilistic Cellular Automata Models : An Application in Epidemioligy [Text] /Redouane Slimi, Samira El Yacoubi //Lecture Notes in Computer Science. – 2006. - № 4173. – p. 330-336.
7. Stephen Wolfram A New Kind of Science [Electronic resource]/ Stephen Wolfram. – ISBN 1-57955-008-8. – Mode of access: http://www.wolframscience.com/nksonline/toc.html.
8. The Wolfram Atlas of Simple Programs [Electronic resource]. - Mode of access: http://atlas.wolfram.com/.
9. Дж. Фон Нейман Теория самовоспроизводящихся автоматов [Текст]/ Дж. Фон Нейман; Закончено А. Бёрксом; Пер. с англ. – М.: Мир, 1972. – 384 с.
10. Лев Наумов Клеточные автоматы. Реализация и эксперименты [Электронный ресурс]/ Лев Наумов, Анатолий Шалыто. – Режим доступа: http://is.ifmo.ru/works/.
11.   Д.В. Ландэ Моделирование электоральных процессов на основе концепции клеточных автоматов [Электронный ресурс]/ Д.В. Ландэ, В.Н. Фурашев . – Режим доступа: http://landepsilone.ru/works/.

 

ДОДАТОК А

 

Текст програми на мові Delphi

 

unit CA;

 

interface

 

uses Graphics,SpreadableModel,TypesUnt;

 

const r:real = 0.3;

 

type

  TCellularAutomata = class

  private

    fS: array of array of byte;

    f:Rule;

  public

    N,M: integer;

    constructor Create(nN,nM:integer);

    destructor Done;

    function GetS(i,j:integer):byte;

    procedure SetS(i,j:integer; v:byte);

    property S[i,j:integer]:byte read GetS write SetS;

    procedure Init(initpath:string; rand:Boolean);

    procedure Run(Steps:integer);

  end;

 

implementation

 

uses SysUtils;

 

constructor TCellularAutomata.Create(nN,nM:integer);

var i:integer;

begin

  Randomize;

  N:=nN; M:=nM;

  if (N > 0) and (M > 0) then

    SetLength(fS,N,M)

  else fS:=nil;

  f:=nil;

end;

 

destructor TCellularAutomata.Done;

begin

  fS:=nil;

  f:=nil;

end;

 

function TCellularAutomata.GetS(i,j:integer):byte;

begin

  GetS:=fS[i,j];

end;

 

procedure TCellularAutomata.SetS(i,j:integer; v:byte);

begin

  fS[i,j]:=v;

end;

 

procedure TCellularAutomata.Init(initpath:string; rand:Boolean);

var i,j:integer; temp:real;

  b:TBitmap;

begin

  f:=SpreadableModel.f;

  if FileExists(initpath+'init.bmp') and not rand then begin

    b:=TBitmap.Create;

    b.Height:=N;

    b.Width:=M;

    b.LoadFromFile(initpath+'init.bmp');

    for i:=0 to N-1 do

      for j:=0 to M-1 do

        fS[i,j]:=ColorToByte(b.Canvas.Pixels[i,j]);

    b.Free;

  end

  else begin

    for i:=0 to N-1 do

      for j:=0 to M-1 do

      begin

        temp:=Random;

        if temp<r then

          fS[i,j]:=1

        else fS[i,j]:=0;

      end;

  end;

end;

 

procedure TCellularAutomata.Run(Steps:integer);

var i,j,s,inx,ipr,jnx,jpr:integer;

S1:array of array of byte;

Nb:TNb;

begin

SetLength(S1,N,M);

for s:=1 to Steps do begin

  for i:=0 to N-1 do

    for j:=0 to M-1 do

    begin

      if (i>0) and (i<N-1) and (j>0) and (j<M-1) then

      begin

        ipr:=i-1;

        inx:=i+1;

        jpr:=j-1;

        jnx:=j+1;

      end;

      if (i=0) then

      begin

        ipr:=N-1;

        inx:=1;

      end;

      if (i=N-1) then

      begin

        ipr:=N-2;

        inx:=0;

      end;

      if (j=0) then

      begin

        jpr:=M-1;

        jnx:=1;

      end;

      if (j=M-1) then

      begin

        jpr:=M-2;

        jnx:=0;

      end;

      Nb[0]:=fS[i,j];

      Nb[1]:=fS[ipr,jpr];

      Nb[2]:=fS[ipr,j];

      Nb[3]:=fS[ipr,jnx];

      Nb[4]:=fS[i,jpr];

      Nb[5]:=fS[i,jnx];

      Nb[6]:=fS[inx,jpr];

      Nb[7]:=fS[inx,j];

      Nb[8]:=fS[inx,jnx];

      S1[i,j]:=f(Nb);

    end;

  for i:=0 to N-1 do

    for j:=0 to M-1 do

      fS[i,j]:=S1[i,j];

end;

S1:=nil;

end;

 

end.

 

unit SpreadableModel;

 

interface

 

uses Graphics,TypesUnt;

 

var p:real = 0.17;

    th:real = 0.1;

 

function pi(x:byte):byte;

function pi_(x:byte):byte;

function sigma(x:byte):byte;

function delta1(x:byte):byte;

function delta2(x:byte):byte;

function f(const Nb:TNb):byte;far;

 

function ByteToColor(b:byte):TColor;

function ColorToByte(c:TColor):byte;

 

implementation

 

function pi(x:byte):byte;

begin

  case x of

    0: pi:=0;

    else pi:=1;

  end;

end;

 

function pi_(x:byte):byte;

begin

  case x of

    0: pi_:=0;

    3: pi_:=0;

    else pi_:=1;

  end;

end;

 

function sigma(x:byte):byte;

begin

case x of

    1: sigma:=2;

    2: sigma:=3;

    3: sigma:=3;

end;

end;

 

function delta1(x:byte):byte;

begin

  case x of

    0: delta1:=1;

  end;

end;

 

function delta2(x:byte):byte;

begin

  case x of

    0: delta2:=0;

  end;

end;

 

function f(const Nb:TNb):byte;far;

var i,sum,nu:integer;

r:real;

begin

  sum:=0;

  for i:=1 to 8 do

    sum:=sum+pi_(Nb[i]);

  if (sum/9)>=th then

  begin

    r:=Random;

    if (r<p) then nu:=1

    else nu:=0;

  end

    else nu:=0;

  f:=pi(Nb[0])*sigma(Nb[0])+(1-pi(Nb[0]))*(nu*delta1(Nb[0])+(1-nu)*delta2(Nb[0]));

end;

 

function ByteToColor(b:byte):TColor;

begin

  case b of

    0: ByteToColor:=clWhite;

    1: ByteToColor:=clRed;

    2: ByteToColor:=clYellow;

    3: ByteToColor:=clGray;

    else ByteToColor:=clWhite;

  end;

end;

 

function ColorToByte(c:TColor):byte;

begin

  case c of

    clRed: ColorToByte:=1;

    clGray: ColorToByte:=3;

    clYellow: ColorToByte:=2;

    clWhite: ColorToByte:=0;

    else ColorToByte:=0;

  end;

end;

 

end.

 

unit TypesUnt;

 

interface

 

type

  TNb = array[0..8] of byte;

  Rule = function(const Nb:TNb):byte;

 

implementation

 

end.