Формы сечений балок

Автор: Пользователь скрыл имя, 16 Марта 2012 в 19:43, реферат

Описание работы

Рассмотрим форму поперечного сечения балок. Во время поперечного изгиба с нагрузкой, действующей вертикально вниз, верхний пояс балки сжимается, тогда, как нижний растягивается (рис. 86, в). Средние же слои деформируются мало. Внутренние напряжения в балке прямоугольного сечения распределяются следующим образом: вдоль оси симметрии усилия равны нулю и пропорционально возрастают по мере продвижения к крайним

Работа содержит 1 файл

Курсовая по сопромату.docx

— 196.72 Кб (Скачать)

1.Рациональные формы сечений балок

Рассмотрим форму поперечного сечения балок. Во время поперечного изгиба с нагрузкой, действующей вертикально вниз, верхний пояс балки сжимается, тогда, как нижний растягивается (рис. 86, в). Средние же слои деформируются мало. Внутренние напряжения в балке прямоугольного сечения распределяются следующим образом: вдоль оси симметрии усилия равны нулю и пропорционально возрастают по мере продвижения к крайним (верхнему и нижнему) поясам, достигая максимума как раз на самых внешних слоях. Очевидно, что средние слои балки работают с большой недогрузкой. Поэтому можно вместо прямоугольного сечения выбрать такое, где площадь поперечного сечения средних слоев будет меньше. Одним из самых распространенных сечений подобного рода является двутавр (рис. 86, г). Почти аналогичным образом работает и швеллер (рис. 86, д). Вспомним, что тонкие стержни, к которым можно отнести и двутавр со швеллером, плохо работают на сжатие и хорошо на растяжение. Вспомним также, что изгибаемая балка работает своими верхними слоями на сжатие, а нижними на растяжение, конечно, если сила действует вертикально сверху вниз. Теперь ясно, что у двутавра можно резко уменьшить сечение нижнего пояса и сохранить прежним сечение верхнего. В пределе мы получим новое сечение, - тавр (рис. 86, ж). Если подобную операцию проделать и со швеллером, получится уголок (рис. 86, е). Существуют равнобокие и неравнобокие уголки. У последних одна из полок в сечении длиннее. Подчеркнем, что все эти элементы хорошо работают только в положениях, указанных на рис. 86, а, д, е, ж сверху.

Жесткость горизонтального стержня, нагруженного вертикальными силами, пропорциональна первой степени  ширины его сечения и третьей  степени высоты его сечения. Например, увеличение ширины прямоугольного бруса в два раза увеличит его жесткость тоже в два раза. Увеличение же высоты бруса в два раза увеличит его жесткость в 8 раз (рис. 87, а).

Рис. 87. Жесткость стержней различного сечения: а, 6 - изменений  массы при одинаковой жесткости, в - изменение жесткости при одинаковой массе 

 

При этом подразумевается, что все  силы действуют вертикально. Если они действуют горизонтально, то жесткость пропорциональна кубу ширины. Чтобы не было путаницы, считается, что высота сечения стержня имеет то же направление, что и направление сил. Тогда увеличение высоты всегда значительно выгоднее увеличения ширины. В этом смысле неравнобокий уголок выгоднее устанавливать так, чтобы его большая полка была вертикальной (ее направление совпадает с направлением сил).

Большой интерес представляют полые  сечения (рис. 87, б, в), так как при  одинаковой площади сечения полые  элементы сопротивляются значительно  лучше сплошных. На этом основании существует даже мнение, что труба «работает» лучше, чем сплошной стержень того же диаметра. Это ложное мнение. Если наружный диаметр трубы и стержня одинаковы, то стержень «работает» лучше. Но если мы несколько увеличим диаметр трубы против диаметра сплошного стержня, но при этом площадь сечения возьмем для трубы меньше (на деле это означает, что на трубу пойдет меньше материала, и она будет легче), то можно добиться того, что они будут работать одинаково хорошо, а мы, применив трубу, сэкономим материал и добьемся значительного облегчения. То же самое можно сказать, сравнивая сплошной брус с полым коробом (рис. 87, б).

В некоторых случаях выгоднее вместо сплошного сечения взять отдельные  стержни в самых напряженных  поясах (правая колонка на рис. 85). Так, консоль превращается в кронштейн (рис. 85, а, б), а балка - в плоскую  ферму (рис. 85, б - е). Консоль имеет  растягиваемый верхний и сжимаемый  нижний пояса, поэтому, выгодно нижний пояс делать из достаточно толстого стержня, а верхний - из тонкой струны, называемой растяжкой или вантой.

Очень интересная система - ферма. Она  представляет собой комбинацию стержневых треугольников, построенных так, что  одна из сторон треугольника служит основанием другого треугольника. При этом любые  нагрузки, приложенные в вершинах треугольников, вызывают в стержнях только растяжение или сжатие и никогда  изгиб. Это позволяет применить  значительно более тонкие стержни, чем в сплошных балках при той  же жесткости. Нагружение стержня в середине его пролета в фермах нерационально и никогда не применяется.

Здесь нужно оговориться, что это  относится только к случаю, когда  стержни соединены между собой  шарнирами, как, например, показано на рис. 85. На практике вместо шарниров часто  применяют жесткое соединение стержней, например сваркой. В этом случае ферма  работает несколько иначе, но она  остается фермой с ее основными достоинствами. На рис. 88 показаны различные случаи, когда разомкнутые конструкции выгодно заменить замкнутыми, а прямоугольники из стержней - системой треугольников.

Рис. 88. «Разомкнутые» и  «замкнутые» системы 

 

Из двух сечений с одним  и тем же полярным моментом сопротивления (или в случае некруглого сечения  одним и тем же Wк), а следовательно, с одним и тем же допускаемым крутящим моментом, рациональным будет сечение с наименьшей площадью, т.е. обеспечивающее наименьший расход материала. Так как отношение Wp/A (или Wк/A) является величиной размерной, то для сравнения различных сечений удобно применять безразмерную величину : 
 
 
 
(при некруглом сечении ), которую можно называть удельным моментом сопротивления при кручении. Чем больше , тем рациональнее сечение.

 

 

 

Таблица 2.2

Тип сечения

Швеллер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Двутавр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Прямоугольное сечение при a/b = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
То же, a/b = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Квадрат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
Круглое сплошное сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Круговое кольцо при c = d/D = 0,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
>> >> >> >> >> >> c = 0,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,04 - 0,05 
0,05 - 0,07 
0,1 
0,18 
0,21 
0,28 
0,37 
1,16


 

Как видим, наименее выгодными при кручении являются швеллеры, двутавры, узкие прямоугольные сечения и наиболее выгодными - круглые кольцевые, особенно при малой толщине стенок.

Сравним площадь стержней трубчатого сечения Ат с площадью стержней сплошного сечения Ас при различных значениях с = d/D и при условии равной прочности. Из равенства полярных моментов сопротивления сплошного и кольцевого сечений имеем: 
 
 
 
Для равнопрочности должно соблюдаться условие:  
 

Отношение площадей сечения  равно:  
 

Подставляя сюда значение D, найденное из условия равнопрочности, получаем:  
 

В таблице 2.3 приведены значения отношения Ат/Ас. Из этой таблицы видно, что применение трубчатых тонкостенных стержней дает большую экономию металла.

Таблица 2.3

c

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Ат/Ас

1

0,99

0,96

0,92

0,85

0,79

0,70

0,61

0,51

0,39


 

При подборе сечений по жесткости в качестве критерия экономичности  профиля может служить безразмерная величина:  
 
 
 
(или для некруглых сечений), которая может быть названа удельным полярным полярным моментом инерции или удельной геометрической характеристикой крутильной жесткости.

В таблице 2.4 приведены значения jк для некоторых наиболее распространенных сечений.

Таблица 2.4

Тип сечения

Швеллер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Двутавр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Прямоугольное сечение при a/b = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
То же, a/b = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Квадрат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
Круглое сплошное сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Круговое кольцо при c = d/D = 0,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
>> >> >> >> >> >> c = 0,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,010 - 0,011 
0,009 - 0,015 
0,031 
0,115 
0,14 
0,16 
0,264 
1,52


 

Как видим, при расчете  на жесткость преимущества кольцевых  тонкостенных сечений по сравнению  с другими типами сечений еще  более возрастают. Сравнение площадей стержней круглого кольцевого и сплошного  сечений при одинаковой жесткости  представлено в таблице 2.5. В этой таблице Ат - площадь сечения стержня кольцевого трубчатого сечения, Ас - площадь сечения стержня сплошного круглого сечения.

Таблица 2.5

c

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Ат/Ас

1

0,99

0,96

0,92

0,85

0,78

0,69

0,58

0,46

0,32


 

Сравнивая эту таблицу  с таблицей 2.3., видим, что при расчете  на жесткость применение трубчатых  тонкостенных стержней позволяет получить еще большую экономию материала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Расчет балок на прочность при прямом чистом изгибе

При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор - изгибающий момент Мх (рис. 1). Так как Qy=dMx/dz=0, то Mx=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент Mх по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики

Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического  стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного  материала, на боковой поверхности  которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом - законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон (sх =sy=0).

Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских  сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в  поперечных и продольных сечениях стержня.

Таким образом, чистый прямой изгиб  призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями s (индекс г в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2 это - нижние волокна), а другая часть - в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (n-n), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид: s=eЕ, выведем формулы для кривизны нейтрального слоя 1/r (r - радиус кривизны) и нормальных напряжений s. Предварительно отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (Mх=сonst), обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а), нейтральный слой (n-n) описывается дугой окружности.

Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба (рис. 3, а) с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранее неизвестно.

Рассмотрим вырезанный из стержня  элемент длиной dz, который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 3, б. Поскольку интерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещением его точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости dj считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:

e =ВВ1 / АВ=ВВ1 / ОО1

Из подобия треугольников С001 и 01ВВ1 следует, что

BB1 / OO1 = O1B/CO = y /r

Продольная деформация e оказалась линейной функцией расстояния от нейтрального слоя, что является прямым следствием закона плоских сечений

(1)

Тогда нормальное напряжение, растягивающее  волокно АВ, на основании закона Гука будет равно

Информация о работе Формы сечений балок