Формы сечений балок

Чтобы оценить значение этой поправки, подсчитаем ее для двух случаев. Возьмем  стержень из мягкой стали длиной 10 м; для него , а величина . Таким образом, для стержня из мягкой стали поправка составит т. е. около 0,6%. Теперь возьмем кирпичный столб высотой тоже 10 м; для него , а величина Таким образом, для кирпичного столба поправка составит , т.е. уже 15%.   

Вполне понятно, что влиянием собственного веса при растяжении и сжатии стержней можно пренебрегать, если мы не имеем  дела с длинными стержнями или  со стержнями из материала, обладающего сравнительно небольшой прочностью (камень, кирпич) при достаточном весе. При расчете длинных канатов подъемников, различного рода длинных штанг и высоких каменных сооружений (башни маяков, опоры мостовых ферм) приходится вводить в расчет и собственный вес конструкции.   

В таких случаях возникает вопрос о целесообразной форме стержня. Если мы подберем сечение стержня  так, что дадим одну и ту же площадь  поперечного сечения по всей длине, то материал стержня будет плохо  использован; нормальное напряжение в  нем дойдет до допускаемого лишь в одном верхнем сечении; во всех прочих сечениях мы будем иметь запас в напряжениях, т. е. излишний материал. Поэтому желательно так запроектировать размеры стержня, чтобы во всех его поперечных сечениях (перпендикулярных к оси) нормальные напряжения были постоянны,    

Такой стержень называется стержнем равного сопротивления растяжению или сжатию. Если при этом напряжения равны допускаемым, то такой стержень будет иметь наименьший вес.   

Возьмем длинный стержень, подверженный сжатию силой Р и собственным весом (Рис.2). Чем ближе к основанию стержня мы будем брать сечение, тем больше будет сила, вызывающая напряжения в этом сечении, тем большими придется брать размеры площади сечения. Стержень получит форму, расширяющуюся книзу. Площадь сечения F будет изменяться по высоте в зависимости от , т. е. .

Установим этот закон изменения  площади в зависимости от расстояния сечения  от верха стержня.

 
 
Рис.2. Расчетная схема бруса равного сопротивления 

 

Площадь верхнего сечения стержня  определится из условия прочности:

и

где — допускаемое напряжение на сжатие; напряжения во всех прочих сечениях стержня также должны равняться величине

   

Чтобы выяснить закон изменения  площадей по высоте стержня, возьмем  два смежных бесконечно близких  сечения на расстоянии от верха стержня; расстояние между сечениями ; площадь верхнего назовем , площадь же смежного .   

Приращение площади  при переходе от одного сечения к другому должно воспринять вес элемента стержня между сечениями. Так как на площади он должен вызвать напряжение, равное допускаемому , то определится из условия:

Отсюда:

После интегрирования получаем:

При площадь ; подставляя эти значения, имеем:

и

Отсюда

,

   

Если менять сечения точно по этому закону, то боковые грани  стержня получат криволинейное  очертание (Рис.2), что усложняет и  удорожает работу. Поэтому обычно такому сооружению придают лишь приближенную форму стержня равного сопротивления, например, в виде усеченной пирамиды с плоскими гранями. Приведенный  расчет является приближенным. Мы предполагали, что по всему сечению стержня  равного сопротивления передаются только нормальные напряжения; на самом  деле у краев сечения напряжения будут направлены по касательной  к боковой поверхности.   

В случае длинных канатов или  растянутых штанг форму стержня  равного сопротивления осуществляют тоже приближенно, разделяя стержень по длине на ряд участков; на протяжении каждого участка сечение остается постоянным (Рис.3) — получается так  называемый ступенчатый стержень.

 
 
Рис.3. Эквивалентный ступенчатый брус с приближением к модели бруса равного сопротивления 

 

 

   Определение площадей ... при выбранных длинах производится следующим образом. Площадь поперечного сечения первого нижнего участка будет по формуле равна:

   

Чтобы получить площадь поперечного  сечения второго участка, надо нагрузить  его внешней силой Р и весом первого участка :

   

Для третьего участка к внешней  силе добавляются веса первого и  второго участков. Подобным же образом  поступают и для других участков.  

 

Деформации при действии собственного веса.   

При определении влияния собственного веса на деформацию при растяжении и сжатии стержней придется учесть, что относительное удлинение  различных участков стержня будет переменным, как и напряжение . Для вычисления полного удлинения стержня постоянного сечения определим сначала удлинение бесконечно малого участка стержня длиной , находящегося на расстоянии от конца стержня (Рис.4).

 
 
Рис.4. Расчетная модель бруса с учетом собственного веса. 

 

Абсолютное удлинение этого  участка равно

Полное удлинение стержня  равно:

Величина  представляет собой полный вес стержня. Таким образом, для вычисления удлинения от действия груза и собственного веса можно воспользоваться прежней формулой:

подразумевая под S внешнюю силу и половину собственного веса стержня.

Что же касается деформаций стержней равного сопротивления, то, так как  нормальные напряжения во всех сечениях одинаковы и равны допускаемым , относительное удлинение по всей длине стержня одинаково и равно

Абсолютное же удлинение при  длине стержня l равно:

где обозначения соответствуют  приведенным на рис.1.   

Деформацию ступенчатых стержней следует определять по частям, выполняя подсчеты по отдельным призматическим участкам. При определении деформации каждого участка учитывается  не только его собственный вес, но и вес тех участков, которые  влияют на его деформацию, добавляясь к внешней силе. Полная деформация получится суммированием деформаций отдельных участков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Расчет  на прочность заклепочных соединений

При простом растяжении или простом сжатии две части стержня, разделенные наклонным сечением, стремятся не только оторваться друг от друга, но и сдвинуться одна относительно другой. Растяжению сопротивляются нормальные, а сдвигу — касательные напряжения.   

На практике целый ряд деталей  и элементов конструкций работает в таких условиях, что внешние  силы стремятся их разрушить именно путем сдвига.   

В соответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план выступают касательные  напряжения. Простейшими примерами  подобных деталей являются болтовые и заклепочные соединения. Заклепки во многих случаях уже вытеснены  сваркой; однако они имеют еще  очень большое применение для  соединения частей всякого рода металлических  конструкций: стропил, ферм мостов, кранов, для соединения листов в котлах, судах, резервуарах и т. п. Для  образования заклепочного соединения в обоих листах просверливают  или продавливают отверстия. В них  закладывается нагретый до красного каления стержень' заклепки с одной  головкой; другой конец заклепки расклепывается ударами специального молотка или  давлением гидравлического пресса (клепальной машины) для образования  второй головки. Мелкие заклепки (малого диаметра — меньше 8 мм) ставятся в холодном состоянии (авиационные конструкции).   

Для изучения работы заклепок рассмотрим простейший пример заклепочного соединения (Рис.1). Шесть заклепок, расположенных  в два ряда, соединяют два листа внахлестку. Под действием сил Р эти листы стремятся сдвинуться один по другому, чему препятствуют заклепки, на которые и будет передаваться действие сил ).

 

 
 
Рис.1. Расчетная схема заклепочного соединения 

 

 

   Для проверки прочности  заклепок применим общий порядок  решения задач сопротивления  материалов.   

На каждую заклепку передаются по две равные и прямо противоположные  силы: одна—от первого листа, другая — от второго. Опытные исследования показывают, что одни из заклепок ряда нагружаются больше, другие — меньше. Однако к моменту разрушения усилия, передающиеся на различные заклепки, более или менее выравниваются за счет пластических деформаций. Поэтому принято считать, что все заклепки работают одинаково. Таким образом, при заклепках в соединении, изображенном на фиг. 1, на каждую из них действуют по две равные и противоположные силы (Рис.2); эти силы передаются на заклепку путем нажима соответствующего листа на боковую полуцилиндрическую поверхность стержня. Силы стремятся перерезать заклепку по плоскости mk раздела обоих листов.

 

 
 
Рис.2. Силы, действующие на заклепочное соединение. 

 

 

   Для вычисления напряжений, действующих по этой плоскости, разделим мысленно заклепочный стержень сечением mk и отбросим нижнюю часть (Рис.2). Внутренние усилия, передающиеся по этому сечению от нижней части на верхнюю, будут уравновешивать силу т. е. будут действовать параллельно ей в плоскости сечения, и в сумме дадут равнодействующую, равную . Следовательно, напряжения, возникающие в этом сечении и действующие касательно к плоскости сечения, это — касательные напряжения . Обычно принимают равномерное распределение этих напряжений по сечению. Тогда при диаметре заклепки d на единицу площади сечения будет приходиться напряжение:

   

Величина допускаемого касательного напряжения , или, как говорят, допускаемого напряжения на срез, принято определять в виде: Зная , мы напишем условие прочности заклепки на перерезывание в таком виде:

т. е. действительное касательное напряжение в материале заклепки должно быть равно допускаемому или меньше его.   

Из этого условия можно определить необходимый диаметр заклепок, если задаться их числом, и наоборот. Обычно задаются диаметром заклепочных  стержней d в соответствии с толщиной t склепываемых частей (обычно ) и определяют необходимое число заклепок :

Знаменатель этой формулы представляет собой ту силу, которую безопасно  может взять на себя каждая заклепка.

Пусть ; тогда

 
 
Рис.3. Расчетная модель действия нормальных напряжений 

 

 

   При выводе формулы  расчета заклепки на перерезывание, помимо оговоренных, допущена еще одна неточность. Дело в том, что силы действующие на заклепку, не направлены по одной прямой, а образуют пару. Эта пара уравновешивается другой парой, образующейся из реакций соединенных листов на головку заклепки (Рис.3) и ведет к появлению нормальных напряжений, действующих по сечению mk.    

Кроме этих нормальных напряжений, по сечению mk действуют еще нормальные напряжения, вызванные тем, что при охлаждении заклепочный стержень стремится сократить свою длину, чему мешает упор головок заклепки в листы. Это обстоятельство, с одной стороны, обеспечивает стягивание заклепками листов и возникновение между ними сил трения, с другой — вызывает значительные нормальные напряжения по сечениям стержня заклепки. Особых неприятностей эти напряжения принести не могут. На заклепки идет сталь, обладающая значительной пластичностью; поэтому даже если бы нормальные напряжения достигли предела текучести, можно ожидать некоторого пластического удлинения стержня заклепки, что вызовет лишь уменьшение сил трения между листами и осуществление в действительности той схемы работы заклепки на перерезывание, на которую она и рассчитывается. Поэтому эти нормальные напряжения расчетом не учитываются.