Методы решения задач теории упругости

     Большинство задач теории упругости сводится к дифференциальным уравнениям с  заданными граничными условиями. Точного  решения многих важных для практики задач до сих пор не получено, так как интегрирование дифференциальных уравнений, к которым они приводятся, представляет собой большие математические трудности. Поэтому важное значение приобрели вариационные методы, позволяющие эффективно получать приближенное решение дифференциальных уравнений с точностью, достаточной для инженерных расчетов.

     Сущность  вариационных методов заключается в том, что функцию, удовлетворяющую дифференциальному уравнению при заданных граничных условиях, заменяют приближенным аналитическим выражением, подбираемым так, чтобы оно наилучшим образом аппроксимировало эту функцию.

     В теории изгиба пластинок такой подход позволяет свести интегрирование основного дифференциального уравнения в частных производных к решению системы линейных алгебраических уравнений или  к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

     Для приведения основного дифференциального уравнения изгиба пластинки (5.16) к системе линейных алгебраических уравнений приближенное значение функции прогибов можно выбирать в виде ряда с конечным числом членов:

где — линейно независимые функции, удовлетворяющие граничным условиям задачи; — постоянные параметры, подлежащие определению.

     В зависимости от числа членов ряда (6.1) решение может быть получено с любой степенью точности. Параметры  выбирают так, чтобы ряд по возможности точнее представлял искомую функцию .

     Из  различных вариационных методов  рассмотрим два: метод Ритца—Тимошенко и метод Бубнова—Галеркина.  

     6.2 Метод Ритца —  Тимошенко

     Метод Ритца—Тимошенко основан на использовании  известного из курса теоретической  механики принципа возможных перемещений: для равновесия системы, подчиненной  идеальным удерживающим связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на всяком возможном перемещении равнялась нулю.

     Рассматривая  отдельно действие внешних и внутренних сил, принцип возможных перемещений  можно представить следующим  образом:

где — работа внешних сил (объемных и поверхностных) на каком-либо возможном перемещении; — работа внутренних сил, представляющая собой приращение потенциальной энергии на том же возможном перемещении с обратным знаком.

     Пусть тело находится в равновесии под  действием объемных сил, составляющие которых X, Y, Z, и поверхностных сил, составляющие которых , , . Обозначим составляющие возможных перемещений , , и подсчитаем работу внешних сил на этих перемещениях. Элементарная работа составляющей объемных сил X, приходящейся на единицу объема, равна произведению этой силы на объем бесконечно малого элемента и на возможное перемещение по ее направлению: .

     Точно так же элементарные работы составляющих объемных сил Y и Z равны соответственно , .

     Работа, производимая объемными силами во всем объеме тела V равна интегралу по этому объему от суммы элементарных работ, coвершаемых каждой из составляющих:

     Элементарная  работа составляющей поверхностных  сил  , которая действует на бесконечно малый элемент поверхности , равна произведению этой составляющей на площадь и на возможное перемещение в направлении составляющей: .

     Аналогично  определяются и элементарные работы двух других coставляющих поверхностных сил: , .

     Работа, производимая поверхностными силами, действующими по всей поверхности тела s, равна интегралу по этой поверхности от суммы элементарных работ, совершаемых каждой из составляющих поверхностных сил:

     Таким образом, работа всех внешних сил  на возможных перемещениях равна  сумме работ объемных (б) и поверхностных (в) сил:

           При вычислении возможной  работы внешних сил варьировались  только перемещения  , и , а объемные и поверхностные силы оставались постоянными, поэтому оператор в формуле (г) можно вынести за знаки интегралов и за скобки:

     Приращение  потенциальной энергии  подсчитывается согласно интегралу (3.20):

где W — удельная потенциальная энергия.

     Полагая в формуле (а) оператор общим для обоих слагаемых, получаем

     Выражение, стоящее в скобках, представляет собой работу всех внешних и внутренних сил, приложенных к телу. Эта разность с противоположным знаком является потенциальной энергией системы внешних и внутренних сил, действующих на упругое тело:

     Вводя это обозначение в условие (ж), получаем

     Приращение функции с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка равно ее первому дифференциалу, поэтому вместо условия (з) можно написать

     

а это  означает, что потенциальная энергия  системы имеет экстремальное  значение.

     В курсе теоретической механики доказывается теорема Лагранжа—Дирихле, на основании которой можно сформулировать следующий принцип минимума потенциальной энергии: из всех мыслимых перемещений упругого тела перемещения, удовлетворяющие условиям устойчивого равновесия, сообщают потенциальной энергии системы минимальное значение.

     Таким образом, потенциальная энергия  системы (6.2)

где потенциальная  энергия, накапливаемая в упругом  теле, определяется по формуле (1.21), а работа объемных и поверхностных сил согласно формуле (д) составляет

     При изгибе пластинки объемными силами пренебрегают, а из составляющих поверхностных сил отлична от нуля только одна: . Подставляя это значение в формулу (и) и принимая элемент поверхности  в виде прямоугольника со сторонами и , получаем выражение работы внешних сил при изгибе пластинки:

     Если  приближенное значение функции прогибов выбирать в виде ряда (6.1), то после подстановки этого значения в формулу (6.3) потенциальная энергия системы окажется функцией параметров :

     

     Определим вид этой функции. Подставив функцию  прогибов (6.1) в формулы (2.5) и (2.6), можно  убедиться, что составляющие деформации и напряжений являются линейными функциями параметров . Подставляя составляющие деформации и напряжений в формулу (1.21), убеждаемся, что потенциальная энергия является квадратичной функцией этих параметров. Подставляя функцию прогибов (6.1) в формулу (6.4), можно убедиться, что работа внешних сил в пластинке является линейной функцией параметров . После подстановки выражений и в формулу (6.3) убеждаемся, потенциальная энергия системы является квадратичной функцией этих параметров.

     Чтобы найти значения параметров , соответствующие минимуму потенциальной энергии системы, нужно приравнять нулю части производные:

     Производная квадратичной функции параметров оказывается  линейной функцией этих параметров, поэтому  условие (6.5) представляет собой систему линейных уравнений относительно параметров .

     Таким образом, метод Ритца—Тимошенко  позволяет заменить задачу о нахождении решения дифференциального уравнения  изгиба пластинки (3.16) задачей о нахождении минимума потенциальной энергии. Такая  замена возможна в связи с тем, что и указанное дифференциальное уравнение и вариационное уравнение (з) являются уравнениями равновесия упругого тела. Покажем, что последнее включает в себя дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности. Рассматривая уравнение (з) в форме

внесем  в него выражения потенциальной  энергии (1.20) и (1.16), возможную работу всех внешних сил (г) и учтем, что

     

     В результате получим

     

     Обратимся в уравнении (л) к первому из тройных  интегралов и произведем интегрирование по переменной x. Интегрируя по частям, находим

     Первый  интеграл в правой части равенства (м) является поверхностным интегралом второго типа. Его можно преобразовать  в поверхностный интеграл первого  типа по известной из курса математического  анализа формуле

Здесь функции  должны быть непрерывными вместе с первыми частными производными внутри объема ограниченного поверхностью s; l, m, n — направляющие косинусы нормали к этой поверхности.

     Используя преобразование (н), вместо формулы (м) получаем

     

     Аналогично  преобразуются и остальные восемь первых тройных интегралов в уравнении (л). После преобразования и группировки  по составляющим возможных перемещений  вместо уравнения (л) получаем

     

     В записанном уравнении возможные  перемещения  , , между собой не связаны, поэтому, чтобы оно обращалось в тождество при любых значениях возможных перемещений, должны обращаться в нуль коэффициенты при возможных перемещениях, стоящие в скобках. Следовательно, получаем шесть уравнений: три первых уравнения представляют собой условия на поверхности (2.2), а три других — дифференциальные уравнения равновесия (2.1). Таким образом, вариационное уравнение (к) заключает в себе дифференциальные уравнения равновесия и статические граничные условия. Отсюда следует, что при использовании этого уравнения для приближенного решения задач выбранная функция обязательно должна удовлетворять только геометрическим граничным условиям. Статические граничные условия и основное дифференциальное уравнение задачи удовлетворяются автоматически.

     Итак, решение задачи об изгибе пластинки  методом Ритца—Тимошенко состоит  в следующем. Принимаем приближенное значение функции прогибов в форме двойного ряда

причем  функции  должны удовлетворять геометрическим граничным условиям. Вычисляем приближенное значение потенциальной энергии в пластинке , для чего ниже получена формула (6.11). По формуле (6.4) вычисляем работу внешних сил , а по формуле (6.3) — потенциальную энергию системы . Для определения параметров используем систему уравнений (6.5). Найденные параметры подставляем в функцию прогибов (о) и получаем искомое приближенное решение.