Шпаргалка по "Строительной механике"

Закон изменения  опорной реакции VB:

, откуда

.

Линия влияния  опорной реакции VB показана на рис. 6.1. Знак «плюс» на л.в. указывает, что  реакция направлена вверх.

Установим закон изменения изгибающего  момента в известном сечении m (Л.в. Mm):Положение подвижной силы F=1 на балке не определено, поэтому  рассмотрим два самых общих случая:

F=1 находится  слева от рассматриваемого сечения  m.

Определим изгибающий момент в сечении m исходя из равновесия правой отсеченной части, т.е. той, где нет единичной силы:

, откуда

.

Ранее мы получили, что при загружении балки подвижной  единичной нагрузкой опорная  реакция VB меняется по линейному закону . Очевидно, что линия влияния Mm (Л.в. Mm) при положении единичной силы слева от сечения m будет представлять собой л.в. VB, ординаты которой увеличены в раз.

Запомним, что  этот закон л.в. Mm выполняется на том участке, где находится подвижная  единичная сила, т.е. слева от сечения m.

F=1 находится  справа от сечения m. .

По аналогии с предыдущим случаем, запишем:

, откуда

.

При положении  единичной подвижной нагрузки справа от сечения m линия влияния Mm (Л.в. Mm) представляет собой л.в. VA, ординаты которой увеличены в m раз.

Построив  левую и правую ветви л.в.Mm на оси  балки, получим линию влияния  изгибающего момента Mm (рис. 6.1) при  любом положении подвижной нагрузки. Знак «плюс» показывает, что при  данном положении единичной подвижной  нагрузки растянуты нижние волокна в балке.

Для построения линии влияния поперечной силы Qm рассмотрим те же два случая положения  единичной силы F=1.

F=1 слева  от сечения m. .

,

т.е. л.в. Qm представляет собой л.в. VB с отрицательным знаком и действителен этот закон изменения Qm слева от сечения m.

2. F=1 справа  от сечения m. .

, т.е. при положении силы справа  от сечения m изменяется как  л.в.VA.

Построив  левую и правую ветви л.в. Qm на оси балки, получим линию влияния  поперечной силы Qm (рис. 6.1).

Таким образом, для построения л.в.Mm и Qm в заданном сечении необходимо рассмотреть два положения единичной подвижной нагрузки относительно сечения (слева и справа) и найти закон изменения внутренних усилий из условий равновесия той отсеченной части балки, где нет силы F=1.

Примените самостоятельно указанный подход к построению л.в. Mn и  Qn (на консольной части балки, см. рис. 6.1).

     Вопрос  №17.

Принципы  построения линий влияния для  стержневых систем общи. В основе установления закона изменения внутреннего усилия при различных положениях единичной силы лежит метод сечений. Сформулируем основные этапы построения линий влияния для стержневых конструкций:

– первоначально  устанавливается характер изменения  опорных реакций;

– в интересующем месте проводят сечение и рассматривают  два возможных положения единичной силы – слева и справа от сечения;

– записывают соответствующие уравнения равновесия для той из отсеченных частей, на которую действует меньшее количество усилий в виде реакций, единичной  подвижной силы, из которого устанавливают  закон изменения линии влияния на том участке, где действует сила;

– если рассматривается  отсеченная часть конструкции, на которой  приложена подвижная единичная  сила, то ее положение относительно сечения определяется переменной координатой.

Следует отметить, что многопролетные балки являются не сложными стержневыми системами и линии влияния усилий в них можно строить, используя ряд простейших приемов.

Для многопролетных балок вначале строим поэтажную  схему, позволяющую установить конструктивную взаимосвязь отдельных ее элементов (балочек) (рис. 7.1).

Линии влияния опорных  реакций.

     При положении единичной подвижной  силы F=1 на балочке 1–2 закон изменения опорной реакции V₁ имеет вид как для простой балочки. При положении единичной силы вне балки 1–2 величина V₁ зависит от величины реакции в шарнире А. Величина реакции V_A зависит линейно от положения подвижной единичной силы на балке А–В, следовательно, и реакция V₁ будет меняться линейно. 

Когда сила F=1 находится в точке А, которая принадлежит одновременно двум балочкам – 1–2 и А–В, величина опорной реакции V₁ известна. Второе значение V₁ найдем при положении единичной силы в точке 3 (над опорой 3). В этом случае реакция V_A равна нулю и, соответственно, усилие V₁ тоже равно нулю. Через две найденные ординаты л.в. V₁ проведем отрезок прямой в пределах всей балки А–В.

Аналогичные рассуждения используются при положении  единичной силы на балке В–4. Ясно, что в пределах ее пролета на л.в. V₁ необходимо провести отрезок прямой, соединяющий вершину ординаты в точке В (уже известную) и нулевое значение под опорой 4.

Следует отметить, что если необходимо построить линию  влияния реакции на промежуточной  балке, не являющейся основной, то необходимо не забывать, что когда единичная  сила находится на более нижнем «этаже», то она не окажет влияния на внутренние усилия в балке, расположенной на верхнем «этаже» (см. рис. 7.1, л.в. V₃).

Вышеприведенные рассуждения легко обобщить и  на линии влияния изгибающих моментом и поперечных сил (см. рис. 7.1, л.в. M_n, Q_n, M_i, Q_i)/

Ординаты  линий влияния легко находятся из подобия треугольников. Более подробно вычисление ординат л.в. рассмотрим на практических занятиях.

     Вопрос  №19.

     

     Построение  линий влияния внутренних усилий в арке основываются на тех выводах, которые мы получили ранее при  расчете на статическую нагрузку: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Вертикальные  опорные реакции в арке и аналогичной  балке одинаковы. Естественно, что  и линии влияния также будут  одинаковы (рис. 7.3).

1. Распор H был найден через значение по формуле:

     

     Воспользуемся ей для построения линии влияния  распора. Учтем, что f есть стрела подъема арки, т.е. величина постоянная. Тогда л.в. H представляет собой л.в. , ординаты которой уменьшены в f раз (рис. 7.3).

2. Для определения изгибающего момента в любом сечении арки была получена формула:

      .

     Для нашего случая (сечение n) она примет следующий вид:

     

Применим  ее для построения л.в. M_n. Построим линию влияния для балки. Л.в. распора H у нас уже построена (рис. 7.3) однако ее ординаты надо увеличить на y_n. Постоим л.в. H×y_n с той же стороны оси, что и л.в. M_n, так как имеем разность линий влияния. Заштриховав участки между двумя линиями влияния, получим л.в. M_n.

Удобней пользоваться выпрямленной л.в. M_n (рис.7.3). При выпрямлении не надо забывать о знаках полученной ранее линии влияния.

4. Линия  влияния Q_n строится по формуле:

  Надо построить л.в. – л.в. поперечной силы в сечении n для балки, ординаты которой увеличим на . Затем наложим на нее л.в. H, ординаты которой увеличены на . Заштриховав участки между двумя линиями влияния, получим л.в. (рис. 7.3). Выпрямим ее с учетом знаков.

5. Линию  влияния N_n построим по формуле:

Принцип ее построения тот же, что  и ранее, но так как у нас  сумма двух линий влияния, то откладывать  их надо по разные стороны от оси (рис.7.3).

   Расчет  по л.в. от постоянной нагрузки усилий ведется по ранее полученным формулам, а искомые ординаты определяются из подобия треугольников.

   На  приведенных линиях влияния даны значения тех ординат, через которые  можно найти любые другие, что вам предстоит проделать самостоятельно.

     Вопрос  №20.

Пусть на балку  действует некоторая произвольная система постоянных внешних сил  в виде системы сосредоточенных  сил, распределенных нагрузок и сосредоточенных  моментов. Воспользовавшись принципом независимости действия сил, рассмотрим действие каждой группы сил в отдельности.

Обратим внимание, что для балки все линии  влияния представлены линейными  функциями на отдельных участках.

1. Рассмотрим  загружение балки сосредоточенными  силами. У нас построена линия влияния некоторого внутреннего усилия, обозначим ее условно л.в. R , фрагмент которой показан на рис.6.2.

Исходя из определения линии влияния, если действует одна сосредоточенная  сила Fi, то

.

В случае, когда  к балке приложена система  сосредоточенных сил, очевидно, что

.

2. 2. Если на балку действует система распределенных нагрузок, то рассмотрим частный случай, когда приложена равномерно распределенная нагрузка. Фрагмент загружения балки и л.в.R показан на рис. 6.3.

Выделим на участке, где действует распределенная нагрузка pi бесконечно малый участок длиной dx. Заменим на нем распределенную нагрузку сосредоточенной:

.

Тогда, интегрируя по длине участка с распределенной нагрузкой  , получим

 

Так как  , то

.

В случае, когда  имеется система распределенных нагрузок,

.

3. Пусть  балка загружена сосредоточенным  моментом mi. Фрагмент линии влияния  R с нагрузкой на балку в  виде сосредоточенного момента  показан на рис. 6.4.

Представим  сосредоточенный момент в виде пары сил Fi, (равных, параллельных и взаимно противоположных) с плечом ai. Произведя подобную замену (см. рис. 6.4), мы свели случай загружения балки сосредоточенным моментом к загружению сосредоточенными силами Fi. Усилие по линии влияния R для этого случая нагружения рассмотрено ранее и можем записать, что

.

Из рис. 6.4 видно, что  . Тогда

.

Когда на балку  действует система сосредоточенных  моментов, имеем:

.

Объединим рассмотренные три случая нагружения балки постоянной внешней нагрузкой  в одно выражение:

.

Необходимо  установить правило знаков при расчете внутренних усилий по линиям влияния.

Если сосредоточенные  силы и распределенная нагрузка направлены сверху вниз, то знак ординат линии  влияния и площади определяет знак усилия.

Если положительная  ветвь линии влияния отложена ниже оси стержня и сосредоточенный момент приходится на нее, то когда поворот оси балки по кратчайшему углу к л.в. совпадает с направлением сосредоточенного момента, имеем положительное внутреннее усилие.