Шпаргалка по "Строительной механике"

Вопрос  №21.

В процессе проектирования стержневых конструкций часто возникает вопрос о таком загружении внешней нагрузкой, когда внутренние усилия в рассматриваемом сечении (или опорная реакция) принимают максимальные (минимальные) значения. Эта проблема исследуется преимущественно с помощью линий влияния.

Положим, что л.в. состоит из отдельных линейных участков, рассмотрим различные случаи нагружения.

1. Подвижная  нагрузка в виде сосредоточенной  силы F.

В этом случае рассуждения о невыгодном нагружении простейшие:

– максимальное усилие будет при расположении сосредоточенной силы над максимальной положительной ( ) ординатой линии влияния:

;

– минимальное  усилие будет при расположении сосредоточенной  силы над максимальной отрицательной ( ) ординатой линии влияния:

.

2. Случай  действия системы жестко связанных  сосредоточенных сил. Такая нагрузка моделирует нагрузку от автомобиля, поезда и т.п.

В общем  случае линия влияния усилия может  представлять ломанную линию.

Рассмотрим  случай, когда действуют две связанные  сосредоточенные силы (6.4). Пусть F2>F1.

Для определения опасного положения грузов их устанавливают над однозначными участками линии влияния так, чтобы наибольший груз находился над наибольшей ординатой. Из рис. 6.4, надеюсь, все становится понятным.

При большем  числе грузов искомое опасное  положение устанавливается перебором нескольких вариантов их положения, при котором один из грузов обязательно должен находится над одной из вершин линии влияния (рис. 6.5).

Сократить количество рассматриваемых положений  помогут следующие рассуждения. Установим подвижную систему связанных сил в предположении возникновения опасного загружения (рис. 6.5). Сместим систему грузов вправо на . Приращение усилия будет равно

,

 
 
 
 
 

где – величина изменения координаты под Fi;

        – угол наклона л.в. под  силой Fi.

Предположим, что  приращение . Мысленно местим систему грузов влево от первоначального положения на . Если приращение усилия будет отрицательно, то первоначальное положение грузов отвечает опасному загружению.

Действительно, если опасное загружение единственно  для данного сечения, то искомая  функция изменения внутреннего  усилия в зависимости от положения  системы грузов должна обладать единственным экстремумом. Условие изменения  знака приращения усилия при переходе через экстремум и позволяет сократить количество переборов.

3. Случай  действия на сооружение подвижной  равномерно распределенной нагрузки. Усилие R от равномерно распределенной  нагрузки, как было показано ранее,  вычисляется по формуле

.

Максимальное значение усилия R будет определяться площадью , так как величина p постоянна. Следовательно, подвижную постоянную распределенную нагрузку надо расположить над тем участком линии влияния усилий, где площадь под ней будет максимальна (минимальна).

Вопрос №22.

При проектировании различных строительных конструкций  кроме расчета на прочность необходимо установить величины перемещений отдельных  точек конструкций. Это связано  с требованием обеспечения жесткости  конструкций в период их изготовления, монтажа и эксплуатации.

  При рассмотрении вопросов, связанных с  определением перемещений в стержневых конструкциях, мы остановимся на таких  деформируемых системах, для которых  перемещения и деформации являются линейными функциями внешней  нагрузки Р₁, Р₂, …, Р_n:

где D – перемещение (угловое или линейное) в определенном сечении конструкции;

D₁, D₂, …, D_n – перемещения того же сечения (угловое или линейное) от последовательно приложенных единичных сил .

8.1. Работа внешний  сил

Примем, что  на конструкцию действует статическая  внешняя нагрузка, т.е. нагрузка, которая  возрастает от нуля до своего предельного  значения с такой скоростью, что  возникающими инерционными силами можно  пренебречь.

При малых  деформациях, когда напряжения не превышают предела пропорциональности, применим принцип независимости действия сил.

Определим работу статической внешней нагрузки (P или m) приложенной к упругой системе, материал которой удовлетворяет закону Гука.

Перемещение некоторой точки от силы Р (рис. 8.1) будет:

где a – коэффициент пропорциональности, его величина зависит геометрии сооружения, вида сечения и материала.

 Поворот некоторого сечения от сосредоточенного момента m будет

      .

 В дальнейшем все рассуждения проведем на примере действия сосредоточенной силы Р и обобщим на другие случаи нагружения.

     Увеличим  силу Р на dP, что вызовет приращение перемещения dD. Найдем величину элементарной работы внешней силы на перемещении dD:

      ×dD

Найдем выражение  для определения работы при изменении  внешней силы от нуля до конечной величины:

так как aР = D, то

      .

Мы получили теорему Клайперона:

Работа внешней  силы при статическом ее приложении на сооружение равна половине произведения ее значения на величину соответствующего ей перемещения.

     Легко обобщить полученный результат на случай, когда к сооружению приложена  система статических внешних  сил:

Вопрос  №23.

При загружении сооружения статической внешней нагрузкой работу совершают и внутренние усилия.

Выделим из стержня  двумя близкими сечениями, перпендикулярными  к его оси, бесконечно малый элемент  dx (рис. 8.2). Он будет находиться в состоянии статического равновесия под действием возникающих в сечении усилий M, Q, N. Усилия M, Q, N являются внешними усилиями по отношению к выделенному элементу dx, поэтому работу А, совершаемую ими найдем по теореме Клапейрона. Воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим работу каждой силы в отдельности. Левое сечение закрепим в последующих случаях защемлением.

  Работа  растягивающей силы N . Рассмотрим элемент dx, к которому приложено вдоль оси растягивающее усилие N (рис. 8.3).

  Элементарная  работа силы N, приложенной статически к бесконечно малому элементу dx будет:

      .

 Найдем величину абсолютной деформации Dх. Воспользуемся известными сведениями из сопротивления материалов:

      , откуда.

     

Величину  относительной деформации найдем из закона Гука: .

Величину  нормального напряжения можно найти  из:

      , где А – площадь поперечного сечения.

Воспользовавшись  представленными выражениями, найдем, что: .

Работа  сдвигающей силы Q. Рассмотрим элемент dx, к которому приложено сдвигающие (касательное к сечению) усилие Q (рис. 8.4). Элементарная работа силы Q, приложенной статически к бесконечно малому элементу dx будет:

.

Найдем перемещение Dy.

       в силу малости угла сдвига. Тогда

     Dy = g×dx.

     Для определения g  воспользуемся законом Гука:

      .

     

     Касательное напряжение найдем по формуле Журавского:

, тогда    

и  
 
 
 

Мы специально ввели в числитель и знаменатель площадь поперечного сечения и разбили выражение на произведение двух частей, первая из которых связана только с геометрическими характеристиками поперечного сечения и при постоянном сечении по длине стержня будет величиной постоянной. Обозначим:

      .

     Тогда элементарная работа сдвигающей силы Q будет равна:

      .

Работа  изгибающего момента  М. Рассмотрим элемент dx, к которому приложен сосредоточенный момент М (рис. 8.5). Элементарная работа изгибающего момента по теореме Клайперона равна:

      .

Найдем угол поворота сечения dj:

.

Относительная деформация , откуда

Dx = e×dx.

     Воспользовавшись  законом Гука при чистом изгибе (отсутствуют поперечные силы в сечении) и учитывая, что , получим, что и .

Тогда элементарная работа статически приложенного момента  М будет:

.

Элементарная работа внутренних сил M, Q, N будет: 
 
 
 
 
 

Интегрируя  dA по всей длине участка и суммируя по всем участкам стержневой системы, получим выражение полной работы внутренних сил:

Следует отметить, что в силу закона сохранения энергии, работа внешних сил равна работе внутренних сил:

  Вопрос №24.

Пусть к  некоторой упругой стержневой системе, находящейся в равновесии, приложена  статически внешняя нагрузка P₁ и P₂ в следующей последовательности:

1. Прикладывается  статически возрастающая сила  Р₁ (рис. 8.6 а). В результате ее действия точка 1 (точка приложения силы Р₁) получит перемещение D₁₁.

Итак, D₁₁ – перемещение точки приложения силы Р₁ по направлению ее действия от самой силы Р₁. Точка 2 (точка приложения силы Р₂) получит перемещение D₂₁ – перемещение точки приложения силы Р₂ по ее направлению от силы Р₁.

Работа статически приложенной внешней силы Р₁ будет: