Корреляционный анализ в изучении статистической взаимосвязи показателей

     Наглядным изображением корреляционной таблице  служит корреляционное поле. Оно представляет собой график, где на оси абсцисс откладывают значения Х, по оси ординат – У, а точками показывается сочетание Х и У. По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличии связи.

     В итогах корреляционной таблицы по строкам  и столбцам приводятся два распределения  – одно по X, другое по У. Рассчитаем для каждого Х_i среднее значение У, т.е.   , как

     Последовательность  точек (X_i,   ) дает график, который иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака У от факторного X, – эмпирическую линию регрессии, наглядно показывающую, как изменяется У по мере изменения X.

     По  существу, и корреляционная таблица, и корреляционное поле, и эмпирическая линия регрессии предварительно уже характеризуют взаимосвязь, когда выбраны факторный и  результативный признаки и требуется  сформулировать предположения о  форме и направленности связи. В  то же время количественная оценка тесноты связи требует дополнительных расчетов.

     Практически для количественной оценки тесноты  связи широко используют линейный коэффициент корреляции. Иногда его называют просто коэффициентом корреляции. Если заданы значения переменных Х и У, то он вычисляется по формуле

     Можно использовать и другие формулы, но результат  должен быть одинаковым для всех вариантов  расчета.

     Коэффициент корреляции принимает значения в  интервале от -1 до + 1. Принято считать, что если  |r| < 0,30, то связь слабая; при  |r| = (0,3÷0,7) – средняя; при  |r| > 0,70 – сильная, или тесная. Когда  |r| = 1 – связь функциональная. Если же r принимает значение около 0, то это дает основание говорить об отсутствии линейной связи между У и X. Однако в этом случае возможно нелинейное взаимодействие. что требует дополнительной проверки и других измерителей, рассматриваемых ниже.

     Для характеристики влияния изменений  Х на вариацию У служат методы регрессионного анализа. В случае парной линейной зависимости строится регрессионная модель

     где n – число наблюдений; 
а₀, а₁ – неизвестные параметры уравнения;  
e_i – ошибка случайной переменной У.

     Уравнение регрессии записывается как

     где У_iтеор – рассчитанное выравненное значение результативного признака после подстановки в уравнение X.

     Параметры а₀ и а₁ оцениваются с помощью процедур, наибольшее распространение из которых получилметод наименьших квадратов. Его суть заключается в том, что наилучшие оценки ag и а, получают, когда

     т.е. сумма квадратов отклонений эмпирических значений зависимой переменной от вычисленных  по уравнению регрессии должна быть минимальной. Сумма квадратов отклонений является функцией параметров а₀ и а₁. Ее минимизация осуществляется решением системы уравнений

     Можно воспользоваться и другими формулами, вытекающими из метода наименьших квадратов, например:

     Аппарат линейной регрессии достаточно хорошо разработан и, как правило, имеется  в наборе стандартных программ оценки взаимосвязи для ЭВМ. Важен смысл  параметров: а₁ – это коэффициент регрессии, характеризующий влияние, которое оказывает изменение Х на У. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменится У при изменении Х на одну единицу. Если а, больше 0. то наблюдается положительная связь. Если а имеет отрицательное значение, то увеличение Х на единицу влечет за собой уменьшение У в среднем на а₁. Параметр а₁ обладает размерностью отношения У к X.

     Параметр a₀ – это постоянная величина в уравнении регрессии. На наш взгляд, экономического смысла он не имеет, но в ряде случаев его интерпретируют как начальное значение У.

     Например, по данным о стоимости оборудования Х и производительности труда У методом наименьших квадратов получено уравнение

     У = -12,14 + 2,08Х.

     Коэффициент а, означает, что увеличение стоимости  оборудования на 1 млн руб. ведет в среднем к росту производительности труда на 2.08 тыс. руб.

     Значение  функции У = a₀ + а₁Х называется расчетным значением и на графике образует теоретическую линию регрессии.

     Смысл теоретической регрессии в том, что это оценка среднего значения переменной У для заданного значения X.

     Парная  корреляция или парная регрессия  могут рассматриваться как частный  случай отражения связи некоторой  зависимой переменной, с одной  стороны, и одной из множества  независимых переменных – с другой. Когда же требуется охарактеризовать связь всего указанного множества  независимых переменных с результативным признаком, говорят о множественной корреляции или множественной регрессии.

     Множественная корреляция — метод многомерного анализа, широко применяемый в психологии и др. поведенческих науках. Множественную корреляцию можно рассматривать как расширение двумерной корреляции, а ее коэффициент — как показатель степени связи одной переменной с оптимально взвешенной комбинацией нескольких других переменных. Веса этих переменных определяются методом наименьших квадратов, так чтобы минимизировать остаточную дисперсию.

     Коэффициент множественная корреляция принимает значения от 0 до 1 и интерпретируется аналогично коэффициенту двумерной корреляции, если справедливы допущения о прямолинейности и других характеристиках двумерных интеркорреляций, на основе которых вычисляется этот коэффициент.

     В психологии квадрат множественной  корреляции (R2) или, как его еще  наз., коэффициент множественной  детерминации, часто используется для  оценки доли дисперсии зависимой  переменной, приходящейся на совокупность независимых переменных. Родственный  метод — множественная регрессия  — используется для предсказания зависимой переменной (или критерия) по совокупности независимых переменных (или предикторов). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     2.3.Оценка  тесноты связи  между экономическими  показателями 

     Получив оценки корреляции и регрессии, необходимо проверить их на соответствие истинным параметрам взаимосвязи.

     Существующие  программы для ЭВМ включают, как  правило, несколько наиболее распространенных критериев. Для оценки значимости коэффициента парной корреляции рассчитывают стандартную  ошибку коэффициента корреляции:

     В первом приближении нужно, чтобы   . Значимость r_xy проверяется его сопоставлением с   , при этом получают

     где t_расч – так называемое расчетное значение t-критерия.

     Если  t_расч больше теоретического (табличного) значения критерия Стьюдента (t_табл) для заданного уровня вероятности и (n-2) степеней свободы, то можно утверждать, что r_xy значимо.

     Подобным  же образом на основе соответствующих  формул рассчитывают стандартные ошибки параметров уравнения регрессии, а  затем и t-критерии для каждого  параметра. Важно опять-таки проверить, чтобы соблюдалось условие t_расч > t_табл. В противном случае доверять полученной оценке параметра нет оснований.

     Вывод о правильности выбора вида взаимосвязи  и характеристику значимости всего  уравнения регрессии получают с  помощью F-критерия, вычисляя его расчетное  значение:

     где n – число наблюдений;  
m – число параметров уравнения регрессии.

     F_расч также должно быть больше F_теор при v₁ = (m-1) и v₂ = (n-m) степенях свободы. В противном случае следует пересмотреть форму уравнения, перечень переменных и т.д.