Расчет системы передачи дискретных сообщений

Модулятор, составная часть передатчика  в каналах электросвязи, с помощью  которой осуществляется управление параметрами гармонических электромагнитных колебаний, т. е.  модуляцией  колебаний. Управляющий элемент модулятора – транзистор, электронная лампа, клистрон, ячейка Керра и т. д.

 

 

 

Аналитическое выражение для АМ модулированного сигнала:

;

;

.

 

 

 

 

 

 

2) Временные диаграммы модулирующего  b(t) и модулированного U(t) сигналов, соответствующие передачи j-го уровня сообщения a(t).

 

3) Корреляция, в математической статистике  – вероятностная или статистическая  зависимость. Корреляция возникает тогда, когда зависимость одного из признаков от другого осложняется наличием ряда случайных факторов.

Корреляционная  функция дает качественное представление  о линейной зависимости между  значениями одной или двух случайных  функций в выбранные моменты времени.

Свойства  корреляционной функции:

1. Корреляционная функция четна:
2. Абсолютное значение автокорреляционной функции при любых не может превышать значения при =0.

                                                 

· корреляционная функция имеет максимум при =0.

· абсолютное значение корреляционной функции ограничивается значением дисперсии.

3. Случайные процессы, наблюдаемые в стационарно устойчиво работающих системах имеют конечное время корреляции:

                                                 

                                                

                      

Корреляционная функция случайного синхронного телеграфного биполярного сигнала с единичной высотой импульсов имеет следующий вид:

 

 

   , где  T длительность импульсов.

 

 

 

 

 

 

4) Спектральная плотность величины  – предел отношения величины (напряжения, мощности и др.), соответствующий узкому участку оптического спектра, к ширине этого участка.

Для нахождения спектральной плотности  мощности G_b(f) сигнала b(t) необходимо воспользоваться теоремой Хинчина - Винера, которая устанавливает связь между энергетическим спектром корреляционной функцией случайного процесса.

 

Спектральная плотность мощности модулирующего сигнала G_b(f):

 

 

 

График спектральной плотности  мощности модулирующего сигнала G_b(f):

Gb(f),B2/Гц	3.03×10-6	9.743×10-9	1.335×10-7	9.395×10-9	4.373×10-8	2.962×10-10
f,Гц	1	3.5×105	5×105	7×105	8.5×105	106

 

5) На графике видно , что вся  энергия модулирующего сигнала  сосредоточена в полосе ∆F_b  Гц.

                

6) График спектральной плотности мощности модулированного сигнала G_b(f).:

В результате модуляции исходный спектр сдвигается на частоту модулируемого  колебания. Если известен спектр модулирующего  сигнала , можно найти спектр амплитудно-модулированного сигнала. Энергетический спектр  амплитудно-модулированного сигнала содержит -функцию на частоте f=f₀ верхнюю и нижнюю боковые полосы. Наличие -функции в энергетическом спектре отражает наличие несущей частоты при амплитудной модуляции. Форма верхней боковой полосы энергетического спектра АМ сигнала совпадает с формой энергетического спектра модулирующего сигнала b(t), а форма нижней – совпадает с зеркальным  спектром сигнала b(t).

 

7) Ширина энергетического  спектра при АМ будет в два  раза больше  ширины энергетического  спектра модулирующего сигнала.

                        

                          

 

 

Канал связи

 

Передача сигнала U(t) осуществляется по каналу с постоянными параметрами и аддитивным флуктуационным шумом n(t) с равномерным энергетическим спектром N₀/2 (белый шум).

Сигнал на выходе такого канала можно  записать следующем образом:

z(t) = U(t) + n(t) , U(t)- полезный сигнал, n(t)- аддитивная помеха.

 

Требуется:

 

1. Определить мощность шума в полосе частот F_k = ∆F_u ;
2. Найти отношение сигнал – шум Р_с /Р_ш;
3. Найти пропускную способность канала С;
4. Определить эффективность использования пропускной способности канала К_с, определив ее как отношение производительности источника Н^’ к пропускной способности канала С.

 

1) В каналах связи аддитивные  помехи возникают по различным  причинам  и могут принимать  различные формы, индивидуальные  реализации которых трудно учесть. Такие помехи чаще вызывают необратимые изменения передаваемых сигналов. Аддитивные помехи по своей структуре разделяют на три основных класса: распределенные по частоте и времени (флуктуационные), сосредоточенные по частоте (квазигармонические) и сосредоточенные во времени (импульсные).

Флуктуационные помехи порождаются  в системах связи  случайными отклонениями тех или иных физических величин (параметров) от их средних значений. Источником такого шума в электрических  цепях могут быть флуктуации тока, обусловленные дискретной природой носителей зарядов.

Наиболее распрастраненной  причиной шума в аппаратуре связи являются флуктуации, обусловленные тепловым движением.

Зная спектральную плотность мощности N₀ можно определить мощность шума Р_ш в полосе ∆F_u (промодулированного сигнала).

 

                       ;

2) При определенном отношении  , для двоичных равновероятных сигналов U₁(t) и U₂(t) их средняя мощность будет ровна:

                                    , В²;

  где     и      , где   T- длительность сигналов.

Символу “0” cоответствует сигнал ;

Символу “1” cоответствует сигнал ;

Если передается “0”  то ;

;

 

Так как         , поэтому ;

;

 

3) Под пропускной способностью  понимают количество, данных которое  может быть передано по каналу  за 1 секунду.

                         ;

4) Эффективность использования  пропускной способности канала  К_с:

 

 

 

 

Демодулятор

 

В демодуляторе осуществляется оптимальная  когерентная или некогерентная (в  зависимости от варианта) обработка принимаемого сигнала z(t) = U(t) + n(t)

Требуется:

1. Записать алгоритм оптимального приема по критерию минимума средней вероятности ошибки при равновероятных символах в детерминированном канале с белым гауссовским шумом.
2. Нарисовать структурную схему оптимального демодулятора для заданного вида модуляции и способа приема.
3. Вычислить вероятность ошибки р_ш оптимального демодулятора.
4. Определить, как нужно изменить энергию сигнала, чтобы при других видах модуляции и заданном способе приема обеспечить найденное значение вероятности ошибки р_ш.

 

1)Канал с аддитивным  гауссовским шумом отображается  линейной цепью с постоянной  передаточной функцией, сосредоточенной  в определенной полосе частот. Допустимы любые входные сигналы,  спектр которых лежит в определенной полосе частот F_c , имеющие ограниченную среднюю мощность Р_с (либо пиковую мощность Р_пик).

Предположим , что все  искажения в канале строго детерминированы  и случайным является только гауссовский  белый аддитивный шум со спектральной плотностью N₀. Это значит что при передаче символа “1”

принимаемое колебание можно записать математической моделью z(t) = U₂(t) + n(t) , где U₂(t)- известный переносчик для символа “1”. Передаче символа “0” соответствует известный переносчик U₁(t): z(t) = U₁(t) + n(t).

Неизвестна реализация помехи и позиция (индекс 1 или 2), переданного сигнала , который и должна распознать решающая схема. Распознавание осуществляется на основе метода идеального наблюдателя (Котельникова).

Для когерентного приемника границы  начала и конца принимаемого сигнала

точно известны, т.е. передаваемые сигналы  финитны и имеют одинаковую длительность, а в канале нет ни многолучевого  распространения, ни линейных искажений, вызывающих увеличение длительности сигнала (либо они скорректированы).

В таком случае алгоритм приема, который осуществляет оптимальный приемник над входным колебанием, имеет вид:

                      

 

Если неравенство выполняется , то приемник регистрирует “1”, в противном  случае “0”.

Т.к. сигнал , следовательно

                       

 

                         (*)

 

 

2) Структурная схема  оптимального когерентного демодулятора, реализующего неравенство *.

На схеме Х-перемножитель, интегратор, вычитающее устройство,

РУ-решающее устройство, определяющее в моменты времени кратные Т 

максимальный сигнал.

 

                                                                  

                                                              

                                                                                                                 1

 

                                                        

 

                                                                                                                        0

          

                                                                                                                                                                                                                                                       

                                                  

3) Вероятность ошибки  р_ш оптимального когерентного демодулятора для канала с аддитивным нормальным белым шумом при передаче двоичных сообщений вычисляется следующим выражением:

                                            р_ш= 1/2 (1-Ф(х))  ,

где  Ф(х) – функция Крампа или  интеграл вероятностей

                         

Е_э – эквивалентная энергия сигналов, определяется следующим образом:

                                     

                                                 

                        р_ш=0.5×(1-0,991611027) =0,004194486;                            

                     

 

4) ФМ является наиболее помехоустойчивым видом модуляции при равных энергетических затратах по сравнению АМ и ЧМ. Энергетический выигрыш ее составляет в четыре раза по сравнению с АМ и в два раза по сравнению с ЧМ.

 

                                                  Таблица сравнения.

 

Вид модуляции	По средней мощности	По пиковой мощности
ЧМ	1	2
ФМ	2	4
АМ	1	1

 

 

 

Декодер

 

В декодере декодирование осуществляется в два этапа. На первом этапе производится обнаружение и исправление ошибки в кодовой комбинации. Считать, что ошибка произошла в i-ом разряде. На втором этапе из нее выделяются информационные символы, а затем k – разрядная двоичная кодовая комбинация преобразуется в элемент квантованного сообщения.

Требуется:

1. Оценить обнаруживающую способность q₀ кода Хэмминга.
2. Записать алгоритм обнаружения ошибок.
3. Определить вероятность не обнаружения ошибки.

 

1) По теореме Хемминга  для того чтобы код позволял исправлять все ошибки в z (или менее) позициях , необходимо и достаточно, чтобы наименьшее расстояние  между кодовыми словами было:

                                    

 

Наш код исправляет одну ошибку и обнаруживает

ошибки.

 

2) Декодер получает от демодулятора  некоторую последовательность двоичных  символов b₁, b₂ ,b₃,…, b_i,…, b_n. В ней может быть ошибка.

Декодер позволяет исправить однократную  ошибку и определить наличие

двукратной ошибки.

В декодере формируется т.н. проверочный  синдром. По коду синдрома с помощью  проверочной матрицы можно определить местоположение ошибки.