Принятие решений за методом Саати

или приоритет  выводятся для каждого элемента иерархии, что позволяет сравнивать различные и часто несопоставимые элементы рациональным и логичным способом. Эта возможность отличает МАИ  от других технологий принятия решений.

   Таким  образом, в МАИ основная цель  исследования и все факторы,  в той или иной степени, влияющие  на достижение цели, распределяются  по уровням в зависимости от  степени и характера влияния.

   На первом  уровне иерархии всегда находится  одна вершина – цель проводимого  исследования.

   Второй  уровень иерархии составляют  факторы, непосредственно влияющие  на достижение цели. При этом  каждый фактор представляется  в строящейся иерархии вершиной, соединенной с вершиной 1-го уровня. Третий уровень составляют факторы, от которых зависят вершины 2-го уровня. И так далее. Этот процесс построения иерархии продолжается до тех, пока в иерархию не включены все основные факторы или хотя бы для одного из факторов последнего уровня невозможно непосредственно получить необходимую информацию.

   По окончании  построения иерархии для каждой  материнской вершины проводится  оценка весовых коэффициентов,  определяющих степень ее зависимости  от влияющих на нее вершин  более низкого уровня. При этом  используется метод попарных  сравнений. 

   Метод  парных сравнений (версия Т.  Саати) как и в классическом варианте, производится сравнение изучаемых факторов между собой. Причем в данном методе факторы сравниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», или «интенсивности») на общую для них характеристику.

   Пусть  в конкретной задаче необходимо  определить состав некоторого  объекта. Причем пусть A1, A2, ...,An основные факторы, определяющие состав объекта. Тогда для определения структуры объекта заполняется матрица парных сравнений.   A1 A2 ... An

A1 1 a12    a1n

A2 a21 1    a2n

...      ...  

An an1 an2    1 

   Если  обозначить долю фактора Ai через wi, то элемент матрицы aij= wi/ wj.

Таким образом, в предлагаемом варианте применения метода парных сравнений, определяются не величины разностей значений факторов, а их отношение. При этом очевидно aij= 1/aji. Следовательно, матрица парных сравнений в данном случае является положительно определенной, обратно симметричной матрицей, имеющей ранг равный 1.

   Работа  экспертов состоит в том, что,  производя попарное сравнение  факторов A1, ...,An эксперт заполняет таблицу парных сравнений. Важно понять, что если w1, w2, ..., wn неизвестны заранее, то попарные сравнения элементов производятся с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале, а затем решается проблема нахождения компонента w.

   В подобной  постановке задачи решение проблемы  состоит в отыскании вектора  (w1, w2, ..., wn). Существует несколько различных способов вычисления искомого вектора. Каждый из методов позволяет кроме непосредственного нахождения вектора отвечать еще на некоторые дополнительные вопросы. Подробнее об этом будет написано ниже.

   Подчеркнем, что эксперт сравнивая n факторов реально проводит не n (как это происходит при заполнении обычных анкет) сравнений, а n*(n-1)/2 сравнений. Но это еще не все. На самом деле (учитывая соотношение aij=aiк* aкj справедливое для всех значений индекса k) производится опосредованное сравнение факторов Ai и Aj через соответствующие сравнения этих факторов с фактором Ak. Принимая во внимание сделанное замечание можно утверждать, что в действительности эксперт производит значительно больше сравнений, чем даже показывает первая оценка равная n*(n-1)/2. Таким образом, каждая клетка матрицы парных сравнений реально содержит не одно число (результат непосредственного сравнения), а целый вектор (с учетом всех опосредованных сравнений через сравнения с другими факторами). Учет этих дополнительных сравнений позволяет значительно повысить надежность получаемых результатов, или позволяет значительно уменьшить количество необходимых экспертов.

   Один  из основных методов отыскания  вектора w основывается на одном  из утверждений линейной алгебры. 

   Очевидно, что искомый вектор является  собственным вектором матрицы  парных сравнений, соответствующим  максимальному собственному числу  (lmax). В этом случае по одному из большого количества существующих алгоритмов отыскивается λmax, а затем достаточно решить векторное уравнение A*w=λmax*w.

   Здесь  необходимо отметить следующее.  Из линейной алгебры известно, что у положительно определенной, обратносимметричной матрицы, имеющей ранг равный 1, максимальное собственное число равно размерности этой матрицы (т.е. n). При проведении сравнений в реальной ситуации вычисленное максимальное собственное число λmax будет отличаться от соответствующего собственного числа для идеальной матрицы. Это различие характеризует так называемую рассогласованность реальной матрицы. И, соответственно, характеризует уровень доверия к полученным результатам. Чем больше это отличие, тем меньше доверие. Таким образом, эта модификация метода парных сравнений содержит внутренние инструменты позволяющие определить качество обрабатываемых данных и степень доверия к ним. Эта особенность данной методики выгодно отличает его от большинства обычно применяемых при исследовании рынка методов.

   Другой  подход в определении вектора  w состоит в следующем. Суммируются  по строкам элементы матрицы  парных сравнений (для каждого  значения i вычисляется сумма ai=ai1+ ai2+...+ ain). Затем все ai нормируются так, чтобы их сумма была равна 1. В результате получаем искомый вектор w.

   Таким  образом 

   wi=ai/(a1+ a2+...+ an).

   Этот  способ нахождения вектора w, значительно  проще в реализации, но он не  позволяет определять качество  исходных данных.

   Приведенное  выше описание метода является  разработкой собственно Т. Саати и его группы. При всех его достоинствах данная версия не лишена некоторых недостатков. На этих недостатках мы и остановимся.

   Как уже  отмечалось, рассматриваемая версия  метода парных сравнений, позволяет  определить качество исходных  данных. Причем Саати рекомендует при плохо согласованной матрице либо сменить экспертов, либо найти дополнительные данные, либо решать проблему другим методом. Эта возможность является серьезным достоинством данного метода, но на наш взгляд в некоторых случаях данное преимущество переходит в свою противоположность. В том случае, когда проблема не в экспертах, а в собственно объекте изучения. Рассогласованность матрицы парных сравнений может быть вызвана, по крайней мере двумя факторами:

   а) личными  качествами эксперта;

   б) степенью  неопределенности объекта оценки.

   Поэтому  рассогласованность матрицы выступает  как результат взаимодействия  этих факторов. И, следовательно, игнорирование такой структуры причин рассогласования приводит к тому, что рекомендуемые мероприятия по повышению согласованности матрицы проводятся не только в ситуациях, когда большая рассогласованность является следствием низкой профессиональности эксперта, но и в случаях, когда подобная неоднозначность является неотъемлемой частью изучаемого объекта, что, как правило, и происходит при изучении рынка недвижимости. В последнем случае необходимо изучать объект такой, какой он есть со всеми присущими ему неопределенностями.

   Для того, чтобы выделить ту составляющую рассогласованности, которая определяется собственно экспертом, необходимо несколько изменить взгляд на объект и на ожидаемый результат обработки исходных данных.

   Прежде  всего, необходимо признать, что  объекту исследования (в частности,  рынку) присуща некоторая неопределенность. И, как следствие, ожидать однозначного  результата было бы не разумно.  Ответ может и должен быть  сформулирован на языке вероятности,  т.е. либо в виде доверительных  интервалов, либо в виде вероятности  реализации интересующего результата, либо в виде математического  ожидания результата и его  дисперсии и т.д.

   Построить  алгоритм обработки матрицы сравнений,  представляющий результаты в  необходимой форме, позволяет  отмеченное выше свойство матрицы  сравнений: каждый элемент матрицы  является, по сути, целым вектором, составленным из различных сравнений  (прямых и опосредованных) соответствующих  факторов. Учитывая это свойство  можно для каждого элемента  матрицы сопоставить его среднее  значение и его стандартное  квадратичное отклонение (СКО). Далее  пользуясь методами стохастического  моделирования можно построить  последовательности матриц сравнения,  каждая из которых будет соответствовать  одной из возможных реализаций  отношений характерных для данного  объекта в рамках его неоднозначности  и компетентности оценивающих  его экспертов. Определяя для  каждой такой матрицы вектор w, получим достаточно большой набор  векторов, представляющих возможные  реализации структуры объекта  в соответствии с его неоднозначностью  и компетентностью оценивающих  его экспертов. Воспринимая, построенный  подобным образом, набор векторов, как статистическую выборку, можно  получить необходимый результат  в том виде, который необходим  в конкретном случае. В частности  легко можно получить средние  значения компонент вектора w и значения их СКО. 

   Полученные  таким образом значения СКО  и являются следствием степени  рассогласованности матрицы парных  сравнений. Чем больше рассогласованность, тем больше значения СКО.

   Казалось  бы, что для того чтобы определить  уровень рассогласованности не  нужны подобные нагромождения,  что можно обойтись способом, предложенным Т. Саати и описанным выше. Но все это нагромождение позволяет решить важную проблему, связанную с причинами возникновения этой самой рассогласованности. Дело в том, что, заполняя матрицу сравнений эксперт может заполнить ее только выше главной диагонали. Остальная ее часть рассчитывается с учетом обратной симметричности. Но если эксперт заполняет не только верхнюю, но и нижнюю часть матрицы, то появляется дополнительная информация, позволяющая оценить степень личной компетентности данного эксперта.

   Действительно,  при сравнении фактора Ai с фактором Aj эксперт поставит оценку aij, а при сравнении фактора Aj с фактором Ai эксперт поставит оценку aji. При этом на взаимное соотношение этих оценок не влияет состояние рынка, а только профессионализм эксперта (в идеальном случае, как уже отмечалось, должно выполняться равенство aji=1/ aij). Таким образом, отклонение aji от 1/ aij является случайной величиной и ее СКО соответствует уровню профессионализма эксперта. Следовательно, учитывая свойства дисперсии, можно из оценок элементов матрицы сравнений убрать влияние непрофессионализма эксперта и в результате уменьшить СКО компонентов вектора w. В итоге вектор w, точнее средние значения его компонент и их СКО, будет соответствовать данному объекту (в частности рынку) и адекватно описывать его.

   Итак, учитывая  степень неоднородности и неопределенности  сложившегося рынка, можно быть  уверенным, что, описанная выше  новая модификация метода парных  сравнений позволит получать  корректные результаты при проведении  рыночных исследований.

   Для проведения  субъективных парных сравнений  Т. Саати была разработана шкала относительной важности.

Таблица 2.1. Шкала  относительной важности

Обратные величины приведенных выше чисел Если при сравнении одного вида деятельности с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например, 3), то при сравнении второго вида деятельности с первым получим обратную величину (т.е. 1/3)