Эконометрика. Лекции

    Если Fрасч > с F крит, то уравнение считается  значимым, в противном случае ур-ие не значимо.

    Надежность  получаемых оценок а и b зависит от ошибки ε.

    Нужно найти среднюю квадратическую ошибку

     , где 

    Для значимого ур-я регрессии строят интервальные оценки параметров a и b.

    Интервальная оценка параметра a, есть:

    

    

    Замечание: если интервальные границы в разные по знаку, то такие уравнения в  прогнозировании использовать нельзя, т.е. непонятно какое направление.

 

    

8. Оценка  параметров множественной регрессии МНК

    Линейная  модель множественной регрессии. У=а₀+а₁х₁+ а₂х₂+…+ а_mх_m+e

    Параметры определяются с помощью методов  наименьших квадратов.

      Для этого проведем все рассуждения  в матричной форме. Введем следующие  матричные обозначения:

       ;

    где У вектор n значений результативного  показателя.

    Х – матрица n значений m независимых  переменных; а матрица параметров

    У=Х∙а+ε.

    Заметим, что а – выборочные оценки совокупности.

    Итак, метод наименьших квадратов требует  мин-ии суммы квадратов отклонений исходных модели значений

     ,

    Далее:

    Из  матричной алгебры известно, что , тогда:

    

    1 – это есть матрица размерностью 1Х1, т.е. число-скаляр, а скаляр  при трансформировании не меняется, поэтому Þ

    Согласно  условию экстремума S по а =0

     ;

    2Х^ТY+2aX^TX=0

    X^TY=aX^TX

    Для погашения а умножим обе части  этого уравнения на (ХТХ)-1, тогда

    а= (X^TХ)^-1∙X^TY

    Решение задачи нахождения матицы, а возможно лишь в том случае, если строки и  столбцы матрицы Х линейно независимы.

 

    

9. Модель  множественной регрессии. Технология разработки прогнозов на ПВМ.

    Связь между у и независимыми факторами  х1, х2, … хn можно охарактеризовать уравнением (моделью) множественной регрессии.

    Y=f (х1, х2, … хn).

    Эта модель показывает, какие значения в ср принимает результативный показатель У, если переменные Хi примут какие-то свой конкретные значения.

    В зависимости от функции f будем иметь  линейную или не линейную множественную  регрессию.

    Тинтером  было доказано, что усложнение формы  связи м\у хi и у не принципиально  влияет на конечные результаты.

    Линейная модель множественной регрессии.

    У=а₀+а₁х₁+ _а2х₂+…+ а_mх_m+e

    Параметры определяются с помощью методов  наименьших квадратов.

    Технология  разработки прогнозов на ПВМ.

 

    

10. Измерение тесноты связи  м/у показателями. Мультиколлинеарность и способы ее устранения

    Эк  явления как правило определяются большими числами одновременно и  совокупно действующих факторов. В связи с этим возникает задача исследования зависимости одной (или нескольких) переменных у от совокупности переменных (х1 х2 … хm). В таком случае для измерения тесноты связи м\у У и факторными признаками  хj (j =1 … n) используют множественных коэффициент корреляции.

    Для этого используют матрицу парных коэффициентов корреляции м\у всеми  рассматриваемыми переменными.

    

    По  этой матрице вычисляется множественный коэффициент корреляции, отражающий тесноту связи м/у Y и всеми остальными факторами.

     , где R – алгебраические дополнения  к соответствующим коэффициентам.

    Частный коэффициент корреляции устанавливается  зависимость м\у j-ым и k-ым фактором при исключении остальных. 
 

    Для экономических показателей условие  независимости объясняющих переменных выполняется не всегда. Близкую к  линейной зависимости факторных  признаков назвали мультиколиниарностью.

    Причины мультиколлиниарности общий временной тренд для различных факторов, либо использование лаговых переменных в качестве объясняющих изменение результативного показателя

    Факторные признаки  хi xk  мультиколлиниарны, если коэффициент парной корреляции м\у ними не меньше 0,8

    ryx(i) > 0,8

    Из 2х мультиколлинеарных факторов в  модель можно включать только один (можно вкл. фактор явл. линейной комбинацией). Основанием для включения одного из мультиколлинеарных факторов является содержательный анализ либо из 2х муль-х факторов в модели оставляют, тот у γ коэффициент парной корреляции с результативным показателем будет выше.

    В модель регрессии так же не следует  включать факторы, у γ коэфф-т корреляции с результативным показателем низок (прибл. 0,2).

 

     

11. Многомерный статистический анализ, задачи классификации объектов. Кластерный и дискременантный анализ.

  В стат исследованиях группировка первичных  данных является основным кные) задача может быть решена методами кластерного анализа, решение отличаются  от дв методов многомерной классификации отсутствием обучающих выборок, т.е. ?апрорной? информации о распределении ген совокупности (вектора Х)

    Различие  между схемами задач по классификации  определяется тем, что понимает по словом сходство и степень сходства. После того, как сформулирована цель работы нужно определить критерии качества, целевую функцию, значения γ позволяют сопоставить различные схемы классификаций. В эконометрическом исследовании целевая функция, как правило, должна минимизировать некоторые параметры определенные на множестве объектов (например, при классификации оборудования  цель – группировка по мин совокупных затрат вр и средств не ремонтные работы). Если формировать цель не удается, критерием качества классификации является возможность сосредоточительной интерпретации найденных групп.

  А) Кластерный анализ -  это совокупность методов, позволяющих классифицировать м6ногомерные наблюдения, каждое из кот описывается набором признаков (параметров) Х₁, Х₂, … Х_к. Целью кластерного анализа явл образование групп схожих м/у собой объектов, кот принято называть кластерами.

  Кластерный  анализ – одно из направлений статистического  исследования. Особо важное место  он занимает в тех отраслях науки, γ которые связаны с изучением массовых явлений и процессов. Необходимость развития методов кластерного анализа и их использования продиктована тем, что они помогают построить научно обоснованные классификации, выявить  внутренние связи м/у единицами наблюдений совокупности. Метод кластерного анализа позволяет решить следующие задачи: проведение классификации объектов с учетом признаков, отражающих сущность, природу объектов. Решение такой задачи, как правило, приводит к углублению знаний о совокупности классифицируемых объектов; проверка выдвигаемых предположений о наличии некоторой структуры в изучаемой совокупности объектов, т.е. поиск существующей структуры; построение новых классификаций для слабоизученных явлений. Когда необходимо установить наличие связей внутри совокупности и попытаться привнести в нее структуру.

    Обычная форма представления исходных данных в задачах кластерного анализа прямоугольная таблица:

     каждая строка γ представляет собой результат измерений k рассматриваемого признака, на одном из исследуемых объектах.

    В некоторых случаях может представлять интерес как группировка объектов, так и группировка признаков.

    Матрицы не единственный способ представления  данных для задачи кластерного анализа. Иногда исходная информация данная квадратной матрицы: R=(rij), где элемент rij определяет степень близости объекта i к объекту j  . Выбор меры близости явл одним из условных моментов исследования. Это может быть обыное эфклидовое расстояние (расстояние м\у двумя точками – сумма квадратов разности одномерных координат)

     , где xik или xjk  - величина k-ой  компоненты у i- ого (j-ого) объекта.

  Б) Дискриминантный  анализ явл разделом многомерного статистического анализа, который влк в себя методы классификации многомерных наблюдений по принципу максимального сходства при наличии обобщающих признаков. В Д.а. новые кластеры не образуются, а формулируются правило, по кот объекты подмножества подлежащего классификации относятся к одному из уже существующих (обучающих) подмножеств (классов)., на основе сравнения величины дискриминантной функции классифицируемого объекта, рассчитанной по дискриминантным переменным, с некоторой константой дискриминациии.

  Постановка  задачи дискриминантного анализа. Пусть  имеется множество М единиц N объектов наблюдения, каждая i-ая единица кот описывается совокупностью р значений дискириминантных переменных (признаков) xij (i=1, 2, …, N; j =1, 2, …, p). Причем все множество М объектов включает  q обучающих подмножеств (q≥2) M_k размером n_k каждое и подмножество М₀ объектов подлежащих дискриминации (под дискриминацией понимается различие). Здесь – номер подмножества (класса), k=1, 2, …,q.

  Требуется установить правило (линейную или не линейную дискриминантную функцию) f(X)) распределения m-объектов подмножества М₀ по подмножествам М_k

  Наиболее  часто используется линейная форма  дискриминантной функции, которая представляется в виде скалярного произведения векторов А=(а₁, а₂, …, а_р) дискриминантных множителей и вектора Х_i=(x_i1, x_i2, …x_ip) дискриминантных переменных: F_i=A x X`_i или F_i=a₁x_i,1+a₂x_i,2+…+a_px_i,p (х_ij – значегие j-x признаков у i –гог объекта наблюдения. Дискриминантный анализ проводится в условиях следующих основных предположений: 1) множество М объектов М_к (класса), кот отличаются от других групп переменными х_ij , 2) в каждом подмножестве М_к находятся, по крайней мере, два объекта (n_k≥2) не менее чем на две единицы; 3) число N объектов наблюдения длжно превышать число р дискриминантных переменных (0<р<N-2) не менее чем на две единицы; 4)линейная независимость м/у признаками (j), т.е. ни один из признаков не должен быть линейной комибинацией др признаков, в противном случае он не несет новой информации; 5) нормальный закон распределения дискриминантных переменных х_ij (по признакам).

  Если  приведенные предположения не удовлетворяются, то ставится вопрос о целесообразности использования дискриминантного анализа для классификации новых наблюдений.

 

  

12. Многомерный стат анализ задачи снижения размерности. Факторный  и компонентный анализ.

  В исследовательской  и практической работе приходится сталкиваться с ситуацией, когда общее число признаков х₁, х₂, х₃ … х_р регистрируемых на каждом из множестве объектов (стран, регионов, семей) очень велико.

  Тем не менее имеющиеся многомерные  наблюдения следует подвергать статистической выборке (осмыслить, ввести в БВ, для того, чтобы иметь возможность использовать их в нужный момент).