Динамика волн цунами

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

На тему: «Динамика волн цунами»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cанкт-Петербург 2011

Введение 

 

Цунами – японское слово, означающее волну в гавани. Теперь оно применяется для обозначения гравитационных волн на поверхности воды, вызванных главным образом землетрясениями или явлениями, связанными с ними (например, оползнем), а также взрывами вулканических островов или ядерных устройств. Прежде эти волны назывались приливными (tidal waves), но это неверно, так как цунами не связаны с приливами. Другой хорошо распространенный термин «морские сейсмические волны» не включает волны от естественных и искусственных  взрывов. Здесь можно пользоваться определением Ван Дорна: «Цунами – это японское название системы гравитационных волн, возникающих в море вследствие крупномасштабных непродолжительных возмущений свободной поверхности». Этим определением исключаются штормовые нагоны (ветровые приливы) и связанные с ними сейши.

 

 

 

 

 

 

 

Общая характеристика явления  цунами

Под японским названием  «цунами» известны гравитационные волны, возбуждаемые в первую очередь подвижками дна при подводных землетрясениях значительной мощности с относительно неглубоким (до 50 км) расположением очага в земной коре. Другие причины цунами – подводные извержения вулканов, оползни и обвалы – имеют второстепенное значение.

Интенсивность цунами (I) определяют по максимальному подъему воды у берега и выражают в баллах.

Периоды волн цунами лежат в пределах 10²-10⁴ с (2 - 200 мин), а скорость распространения хорошо описывается формулой Лагранжа-Эри ; таким образом, их длина имеет порядок 10-1000 км. Над большими глубинами высота большинства цунами не превышает 2-3 м, но при переходе на прибрежное мелководье высота цунами значительно возрастает. В табл. 1 приведены некоторые из зарегистрированных высот у берега.

ТАБЛИЦААА

В соответствии с преобладающей  ролью различных физических факторов весь процесс принято делить на три основных этапа: возникновение, распространение, взаимодействие с берегом.

Физический механизм возбуждения цунами подвижкой океанского дна обусловлен передачей возмущения от дна к воде, которое выводит свободную поверхность из состояния равновесия и формирует так называемое начальное возмущение, которое дает начало гравитационным волнам, концентрически расходящимся из «очага цунами», как называют зону начального возмущения. При этом гравитационные колебания довольно быстро отфильтровываются от акустических, так как последние, обладая большей скоростью распространения ( ) , разбегаются из зоны очага быстрее, чем первые ( ). Поэтому при гидродинамическом описании процесса возникновения цунами приведенная выше картина обычно упрощается путем исключения ее акустической части. С этой целью часто используют «поршневую» аппроксимацию, полагая, что подвижка дна непосредственно сдвигает по вертикали несжимаемый вышележащий водяной блок. Если сама подвижка и соответствующий сдвиг предполагаются не мгновенные, а растянутыми во времени, то к моменту завершения подвижки поверхностное возмущение успевает деформироваться под действие горизонтальных градиентов давления и, сохраняя некоторые черты донной деформации, не является в точности подобным ей.

Основными факторами, определяющими  параметры излучающие свойства очага, будут пространственные и временные  характеристики донной подвижки, фоновая  топография дна в зоне очага и общая глубина. Грубо можно считать, что горизонтальный размер очага l определяет верхний предел длины излучаемой волны ( ) и тем самым нижний предел частоты возникающих колебаний ( ). Более высокие частоты обусловлены неоднородностями начального возмущения в пределах зоны очага.

После перехода ко второму этапу  процесс распространения и трансформации  волн цунами полностью описывается  законами динамики несжимаемой жидкости. Основными факторами, определяющими  характер распространения, будут геометрические и спектральные характеристики начального возмущения, а также рельеф дна в области распространения. Здесь требуется учитывать отражение и рефракцию распространяющихся волн, захват энергии, волновые эффекты и т.д.

Наконец, на третьем этапе, при непосредственном взаимодействии волн с наклонным  берегом, характер волны зависит  от его наклона, переменности конфигурации и площади области, покрытой водой; при этом может происходить обрушение  волн и их движение «по сухому дну» при заливании берега. Математическое описание этих явлений наиболее трудно и наименее развито.

 

Возникновение начального возмущения и излучение волн цунами из зоны очага.

Обычно процесс возникновения  цунами описывается в виде задачи о движении горизонтального слоя невязкой и несжимаемой жидкости, ограниченного сверху свободной поверхностью, а снизу дном, движение которого в зоне «донного очага» известно. Начало координат располагается на поверхности либо на дне (обычно в зоне очага), ось z направлена вверх. Если дно смещается плоскопараллельно, то движение жидкости, начинающееся из состояния покоя, будет безвихревым. Дополнительный учет уравнения неразрывности приводит к уравнению:

(1).

описывающему поведение потенциала скорости.

Граничные условия на дне вытекают из известного распределения  вертикальных скоростей воды, обусловленного подвижкой дна:

(2).

Граничные условия на свободной поверхности, как обычно, состоят из динамического и кинематического. Их комбинация дает в линейном приближении одно граничное условие в виде

(3).

Если потенциал  , заданный уравнением (1), определен при граничных условиях (2) и (3), то из динамического условия

(4)

можно определить возвышение уровня . В общем случае, однако, решение для и удается получить лишь в интегральной форме, а анализ этого решения, не говоря уже про вычисление, крайне затруднителен. Получение обозримого результата возможно лишь при таких колебаниях дна, которые описываются некоторыми видами функции F(t, x, y). В частности, для осесимметричных очагов при использовании плоской полярной системы координат удается не только получить форму начального поверхностного возмущения, но и проследить за излучением из зоны очага, т.е. определить функцию для значений t и r , превышающих те, которые характеризуют функцию F. На рис.1 показан ход колебаний уровня на различных удалениях от центра очага при H=const, характеризуемого начальным возмущением поверхности в виде параболической впадины

,

которое задается для  , где r₀ – горизонтальный радиус впадины. Рис.1 демонстрирует некоторые характерные свойства волн, излучаемых из зоны начального возмущения небольших размеров:

а) первое возмущение уровня на всех удалениях  от очага совпадает по знаку с  начальным возмущением в очаге

б) в первом приближении излучаемая волновая система имеет вид косинусоиды, модулированной по амплитуде, в результате чего максимальное значение имеет не головная волна цуга, а какая-то из последующих;

в) амплитуда колебаний падает с  удалением от очага пропорционально члену 1/r. Следует отметить. Что в одномерном случае (плоская волна) падение амплитуды происходит пропорционально , т.е. медленнее. Физическая причина этого состоит в том, что в одномерном случае падения амплитуды, пропорциональное , обусловлено только различием между групповой , фазовой и характеристической скоростями (в общем с_гр< c < c₀). Это различие приводит к отставанию максимума энергосодержания в волновом цуге от переднего фронта, имеющего скорость с₀; при этом энергия как бы размазывается вдоль волнового луча и особенно в его головной части все более тонким слоем. В двумерным же случае к описанному эффекту добавляется эффект радиального расхождения волновых лучей, за счет которого энергия, приходящаяся на единицу длины фронта, падает пропорционально 1/r, что дает дополнительный множитель для амплитуды, полное падение которой характеризуется теперь множителем 1/r.

г) по мере удаления от очага происходит увеличение как длины волнового  пакета («длины волны» модулирующей огибающей), так и числа отдельных волн в пакете. Тыловая точка пакета постоянно отстает от фронтовой, т.е. пакет нарастает с тыла. В  головной части цуга происходит увеличение периодов колебаний (эффект дисперсии).

Поскольку перечисленные  особенности получены для случая небольшого очага, они в основном характеризуют лишь относительно высокочастотную  часть спектра цунами. Однако обычно горизонтальные размеры очага во много раз превосходят глубину океана, т.е. излучаемые волны имеют максимум энергии на достаточно низких частотах и являются длинными. При этом дисперсия незначительна и описанного выше «отставания» максимума энергосодержания от гребней, а гребней от фронта не происходит либо оно выражено слабо. В результате форма распространяющейся волны становится более устойчивой, а падение амплитуды с удалением от очага происходит медленнее, чем у высокочастотных волн.

На рис.2 приведены результаты расчета характеристик длинных волн, появляющихся при характерной ширине зоны исходного возмущения 100 и 50 миль. При постоянной глубине H=3 мили оба колебания зафиксированы на расстоянии около 3000 миль от центра очага (волна предполагается плоской). Видно, что в первом случае волна пробегает весь путь практически без изменения формы, сохранив свою высоту и характер одиночного возмущения. Во втором случае уже заметны искажения: падения амплитуды, отставание гребня от фронта, возникновение высокочастотного хвоста. В обоих случаях, однако, энергия весьма устойчиво удерживается в головной волне цуга, которая остается самой высокой. Нарушение этой закономерности у длинных волн цунами в открытом море может происходить лишь за счет особенностей самого исходного возмущения.

Исследования аналитических решений  модельных задач установило возможность  появления неравномерной направленности излучения волн в зависимости  от характера подвижки дна в области  возмущения. Существенная разница между  амплитудами волн, распространяющихся в различных направлениях, может возникнуть в связи с уклоном дна в эпицентре землетрясения.

Приведенные выше результаты аналитических  решений получены при идеализированном условии H=const и описывают лишь начальный этоп развития цунами. Построить функцию для больших значений t, x, y и при H=const крайне трудно. Математические модели, позволяющие воспроизводить как возбуждение, так и распространение волн цунами при наличии переменной глубины и отражающих берегов сложной конфигурации, реализуются с помощбю численного решения уравнения длинных волн:

(5);

  (6);

(7),

где f – параметр Кориолиса; r_* - коэффициент трения.

На береговых границах обычно используется условие непротекания (v_n=0), а на открытых границах – условия свободного ухода волны в той или иной модификации.

При приближенных расчетах часто не учитывают роль трения и  силы Кориолиса. Система (6) – (7) переписывается в конечно-разностной форме и  решается шагами по времени и пространству, воспроизводя эволюцию возмущения свободной поверхности и поля скоростей. В качестве начального условия обычно принимается решение задачи, описываемой уравнениями (1) – (3), в какой-то момент t, когда значение (а значит, и ) отличны от нуля в ограниченной области очага. Однако, видоизменив уравнение неразрывности (7), можно учесть подвижку дна, описываемую известной функцией непосредственно. Поскольку при наличии вертикальной донной подвижки полная глубина будет

(8),

то интегрирование по вертикали уравнение неразрывности  от дна до свободной поверхности  дает не (7), а

(9),

где первый член часто  представляется в виде

(10),

поскольку в линейном приближении

(11).

Таким образом, в качестве уравнений модели служит система (6), (9), а в качестве начальных условий  используется соотношение

(12),

характеризующее невозмущенное состояние до начала подвижки дна.

 

3 распространение и трансформация  волн цунами.

Характер распространения волн цунами в значительной мере определяется влиянием топографических особенностей дна океана и его берегов. Такие  явления, как рефракция, отражение, концентрация волновой энергии на шельфах и подводных хребтах, аналитически исследованы в работах С. С. Войта, Б. И. Себекина и других. В принципе эффекты такого рода могут быть учтены в процессе численного решения системы (6), (7) либо (6), (9), если продолжить вычисления достаточно долго. Однако на этом пути встречаются трудности, связанные с ограниченной емкостью существующих вычислительных средств, поскольку область расчета нередко охватывает огромные пространства океана, а расчетная сетка должна быть достаточно частой, чтобы воспроизвести характерные черты явлений без грубых искажений. Поэтому в практике исследований часто применяются упрощенные, но зато более доступные методы расчета распространения волн цунами. Одним из них является метод рефракционных диаграмм (лучей и фронтов), в основе которого лежит аналогия с законами геометрической оптики.

  4 метод рефракционных диаграмм.

Цель этого метода состоит в  построении системы волновых лучей  и фронтов, описывающих распространение головной волны уцнами и зоны очага до ближайшего побережья. Для нахождения лучевой картины используется известный закон Снеллиуса, описывающий преломление волнового луча за счет изменения глубины, а для определения положения фронтов – формула Дюбуа

(13),

где t₀ – момент образования начального возмущения; t_н – момент регистрации волны в пункте наблюдения; l – расстояние вдоль волнового луча, соединяющего очаг с пунктом регистрации у берега, а X – расстояние самого пункта от очага. Формула (13) прямо следует из формулы Лагранжа – Эри , если придать последней формуле локальный характер, считая, что Н и с зависят от l.

На практике построение волновых лучей  производят, например, разбивая рассматриваемый  район но полосы между принятыми изобатами и приписывая каждое полосе среднюю постоянную глубину H_m. Получив для каждой полосы значение и задаваясь первоначальным направлением луча (обычно по нормали от границы очага), продолжают его до первой изобаты, определяя тем самым угол падения . Зная , с₁ и с₂, с помощью закона Снеллиуса находят угол преломления

(14),

после чего производят надлежащий излом луча и вводят его во вторую полосу, продолжая по прямой линии до следующей изобаты, где повторяют ту же процедуру. Полученная ломаная линия затем сглаживается. Иногда методику видоизменяют, производя излом луча не на изобатах, а посередине каждой полосы. Для построений широко используются вспомогательные графики, таблицы, палетки, а также графопостроители на ЭВМ.

Получив набор волновых лучей, каждый из них можно разбить на небольшие отрезки и, применяя вытекающее из (13) выражение

(15),

где L – полный путь вдоль луча, рассчитать время пробега волны от очага до любой точки. После этого, соединив точки с одинаковыми значениями t_н, строят систему ортогональных к лучам волновых фронтов на разные моменты времени, получая тем самым полную картину распространения фронта головной волны от очага.

Указанный способ особенно часто применяется для решения  обратной задачи – определения положения  очага по данным наблюдений в береговых  пунктах. Из каждого такого пункта строят пучок веерообразно расходящийся в море лучей. Момент землетрясения, регистрируемый во всех пунктах практически одновременно (если необходимо, вводятся небольшие поправки), принимают за момент образования исходного возмущения, т.е. за t₀ . Если t_н – момент регистрации первой волны в данном пункте, то время пробега волны от очага до пункта будет . Если теперь для каждого пункта построить условный фронт на расстоянии, соответствующем времени пробега , то такой фронт будет «линией положения» того края очага, который обращен в сторону данного пункта. При надлежащем и удачном расположении береговых пунктов несколько таких условных фронтов, как видно из примера на рис.3, позволяют довольно уверенно определить положение очага.