Динамика волн цунами

Трансформация волн цунами на пути от очага к берегу. При  построении прямых рефракционных диаграмм (от очага к берегу) можно получить дополнительные сведения о параметрах первой волны из весьма простых соображений. В случае лучевого приближения, которое оправдывается тем лучше, чем проще рельеф дна и сама лучевая картина, предполагается, что волновая энергия переноситься вдоль лучей, не пересекая их. Таким образом, область между двумя смежными лучами – так называемую «лучевую трубку» – можно рассматривать как элементарный канал переменного сечения, к которому применимы одномерные уравнения и соответствующие положения теории длинных волн. Так, если сечение трубки меняется достаточно плавно и отражение в ее пределах является слабым, то закон Грина

(16)

позволяет ориентировочно определить высоту первой волны  на любой изобате Н, если высота возмущения и глубина Н₀ в очаге известны, а b и b₀ означают ширину трубки на выходе из очага и на изобате Н. кроме того, если известен горизонтальный размер l₀ однородного очага в направлении луча, то, считая, что , из соотношения можно получить примерное значение основной частоты колебания

(17).

Считая  в пределах всей трубки, легко найти и длину гребня первой волны на любой изобате Н:

(18).

Применяя простые формулы (16) – (18), удается получить ориентировочные  оценки амплитуд, периодов и других характеристик цунами для любых изобат, если известны его параметры в очаге.

На практике этот способ применяется для грубых оценок влияния  на «цунамиопасность» различных  участков побережья прибрежных эффектов (мелководье, рефракция). Для этого строится лучевая картина от некоторого условного очага, ориентированного параллельно берегу и с одинаковым возмущением по всей длине. Тогда, например, полученное по формуле (16) распределение величины вдоль прибрежной изобаты, в качестве которой часто берется 10 м, будет характеризоваться локальное усиление или ослабление цунами, позволяя выделить более или менее опасные зоны побережья.

Результаты такого же характера, но значительно более  точные получают путем численного интегрирования вдоль лучевой трубки одномерных уравнений длинных волн, которые в данном случае обычно записываются в форме, где фигурирует не скорость u, а объемный расход . В такой форме уравнения будут иметь вид

  (19);

(20);

В качестве начального условия  на удаленном от берега участке трубки обычно принимается либо начальное  возмущение уровня при Q₀(x)=0, либо комбинация возмущений уровня и потока Q₀(x). На конце трубки задается линеаризованное условие бегущей волны или излучения

(21),

но иногда на прибрежном конце, например на 10-метровой изобате, задают условия непротекания Q=0 либо частичного отражения

(22),

где r_к – коэффициент комплексного отражения, учитывающий фазовый сдвиг.

Этот более строгий  подход позволяет получить волновой профиль на любой момент, а также  в полной мере учитывается отражение  от неровностей дна и возможные  резонансные эффекты.

волны цунами у берега

Резонанс на шельфе. При  наличии шельфа, окаймленного крутым континентальным склоном, волна  цунами после отражения от береговой  черты испытывает затем частичное  отражение обратно от склона в  шельфовую зону, что при определенных соотношениях между длиной волны и шириной шельфа (когда ширина шельфа равна нечетному числу1/4 длин волн) может приводить к резонансу, если приходящий из океана цуг содержит хотя бы несколько индивидуальных волн. В этом случае специальный интерес представляет вопрос о перераспределении энергии между отдельными волнами подходящего к берегу цуга. В монохроматическом цуге ( ) при резонансе синфазная суперпозиция каждой новой вступающей на шельф волны цуга с дважды отраженной (от берега и склона) долей предыдущей волны в общем случае приведет к нарастанию подходящих к берегу волн до тех пор, пока излучение из зоны шельфа не превзойдет поступления энергии на шельф. В результате максимальную высоту у берега может иметь не та волна, которая была максимальной в цуге, а одна из последующих. Рассмотрим в качестве примера экспоненциально модулированный затухающий цуг вступающих на шельф волн в форме

(23),

где ; Н – глубина шельфа, ширина которого равна (четвертьволновой резонанс), а – – показатель огибающей экспоненты. Каждая последующая волна цуга, меньшая предыдущей в раз, будет, вступая на шельф, складываться с дважды отраженной, т.е. уменьшенной q^-1 раз (q=r₁r₂, r₁ и r₂ – коэффициенты отражения от берега и склона) предыдущей волны, в результате чего высота очередной волны увеличится. В этом случае отношение высоты n-й волны, регистрируемой у берега, к высоте первой волны будет не , как у неискаженного цуга, а

  (24).

На рис.4 показан ход  уровня у берега при различных  значениях q для случая резонанса при . Видно, что с ростом q колебания у берега возрастают, а максимум возвышения сдвигается на 2-й, 3-й и т.д. подъем уровня.

Обрушение волн цунами. В  прибрежной мелководной зоне действие нелинейных эффектов приводит к тому, что гребень волны движется быстрее  ложбины, передний склон волны становиться  круче и со временем, при достаточной длине мелководной зоны, на нем возникает зона обрушения волны, называемая бором. Нагляднее всего представление о возникновении и развитии бора можно получить, рассчитывая одномерное распространение длинной волны по мелководью с помощью так называемого метода характеристик, сущность которого заключается в следующем. Рассмотрим одномерную систему уравнений длинных волн на мелкой воде переменной глубины H(x):

(25.1);

(25.2);

Посредством ввода величин и система (25) сводится к

(26).

Левая часть этого  уравнения представляет собой полную производную от ( ) по t при условии, что , т.е.

(27).

Это соотношение выполняется  вдоль линий, проведенных в x, t-плоскости и имеющих наклон

(28).

Линии, имеющие наклон u+c, называются прямыми характеристиками, а линии с наклоном u – c – обратными характеристиками. Из каждой точки x, t-плоскости с известными u и c можно провести как прямую, так и обратную характеристику.

Если записать уравнения (27) и (28) в конечно-разностной форме

;

  (29),

то, имея начальные либо граничные условия, описывающие возмущения, удается проследить эволюцию волны в процессе ее распространения. Пусть, например, в момент t=t₁ во всех узлах x_i интервала x_m-x_n заданы значения и u. Так как глубина H во всех x_i также известна, то можно определить для каждой точки величину , а затем , т.е. найти наклоны характеристик в этих точках. На рис.5 показано, что, проведя, например, характеристику с наклоном u₁+c₁ из точки 1 и характеристику с наклоном u₂-c₂ из точки 2 до их пересечения, мы графически определяем точку 3, т.е. тот момент t₃ и ту координату x₃, которые обеспечивают одновременное выполнение вытекающих из (29) соотношений:

;

  (30);

Из (30) находятся u₃ и c₃ (а отсюда и ) в точке 3, а это позволяет провести из нее продолжение прямой и обратной характеристик до их следующего пересечения со смежными и т.д. При переменном уклоне дна на каждом шаге можно использовать последовательные приближения путем ввода значений N в соответствии с (30) в виде вместо N₁ и вместо N₂.

Таким образом, распространение волнового возмущения можно описать, построив сетку характеристик от зоны возмущения в сторону берега. При этом наклон прямой характеристики, идущей от переднего края возмущения, известен заранее (он равен , так как здесь ), и эта характеристика строится первой. Обратные характеристики строятся от первой прямой характеристики, а также в пределах заданного возмущения. Каждый узел полученной сетки дает новую пару значений x и t, для которых, решая систему типа (30), можно найти новые значения и u.

Следует отметить, что  метод характеристик допускает  учет донного трения и переменной ширины бассейна (в случае бухты). При  этом первое из уравнений (29) приобретает  вид

  (31) ,

где b – ширина бассейна; r* –  коэффициент трения. Соответствующим образом изменится и система (30).

  Деформация волны, обусловленная действием нелинейных эффектов, проявляется прежде всего в том, что в точках гребня волны, где , значение с возрастает, и прямые характеристики имеют тем больший наклон, чем больше . В результате по мере распространения волны на ее переднем склоне происходит сгущение прямых характеристик и в некоторый момент t* происходит пересечение каких-либо двух из них.

На рис.6 показано пересечение прямых характеристик а и b, в то время, как к – это обратная характеристика, проходящая через точку их пересечения. Для такой точки можно определить две системы величин u и c: одну из пары характеристик а, к, а другую – из b, k. Двойное значение u и c в одной точке и в один момент означает наличие разрыва или вертикальной водяной стенки. Эта ситуация соответствует началу обрушения волны и возникновения бора. В зависимости от уклонов дна и от формы вступающей на мелководье волны бор может возникнуть в различных точках ее переднего склона – от переднего края (фронта) до гребня.

Поскольку в окрестности  бора условие малости крутизны волновой поверхности явно нарушается и теория длинных волн, лежащая в основе метода характеристик, теряет силу, для  дальнейшего расчета распространения бора используют закономерности и соотношения, полученные в гидравлике при исследовании явления гидравлического прыжка, аналогичного бору. В частности, скорость движения бора в ряде случаев можно определить по формуле

  (31),

где Н – глубина перед бором; Z – высота бора. Величина V определяет положение возникающего разрыва в x, t-плоскости, задавая наклон так называемой линии бора, выходящей из точки начала обрушения. Последующее изменение параметров бора определяется с помощью величины u и c на характеристиках (прямых и обратных), продолжающих пересекать линию бора по мере его приближения к берегу.

Заливание берега. Собственно процесс заливания обусловлен тем, что при достижении волной или бором линии берега происходит перестройка волнового движения в поступательное, и слой воды накатывается на берег в виде потока.

Этот конечный этап взаимодействия волн цунами с берегом представляет наибольшие трудности для теоретического исследования в силу чрезвычайно сложной зависимости параметров заливания от многочисленных природных факторов. Фактические оценки показывают, что заливание достигает десятков метров в высоту. Существующие теории и методы расчета заливания относятся к частным случаям и основаны на целом ряде упрощающих предположений.

Если обозначить высоту заливания через h_б, то из общих соображений следует, что для относительного заливания h_б/h₀ (где h₀ – высота волны у береговой черты) определяющими безразмерными параметрами будут: крутизна уклона дна и берега (где – угол наклона); относительная глубина в начале мелководья   (где – длина волны) и крутизна волны .

Зависимость h_б/h₀ от уклона дна неоднозначна. При отвесном береге высота заливания равна удвоенной высоте подходящей волны за счет полного отражения. С уменьшением уклона отношения h_б/h₀ растет до тех пор, пока мелководье не становится настолько растянутым, что волна, распространяясь по нему, обрушивается, не доходя до берега. В этом случае берега достигает возникающий при обрушении бор, образование и движение которого сопровождаются значительными потерями энергии. Чем больше (при дальнейшем уменьшении уклона и удлинении мелководья) становится путь, проходимый бором от момента своего образования до берега, тем меньше становится высота заливания из-за указанных потерь. На рис.7 показана зависимость h_б/h₀ от уклона дна при фиксированных значениях для малых . Видно, что рост крутизны волны приводит к уменьшению заливания за счет более интенсивной диссипации при разрушении.  В то же время при больших уклонах (для необрушивающихся волн) рост крутизны ведет к увеличению заливания за счет нелинейных эффектов. Можно отметить, что указанная зависимость h_б/h₀ от ослабевает с уменьшением параметра .

Таким образом, степень  и характер заливания решающим образом  зависят от того, успеет ли начаться обрушение волны до ее подхода к берегу. Существующие критерии обрушения позволяют лишь ориентировочно предсказать ответ на этот вопрос, так как обрушение, как указывалось выше, зависит от начальной формы волны, которая заранее не известна.

В любом случае при достижении берега передняя соприкасающаяся с сухим берегом часть волны или бора преобразуется в поток, скорость которого определяется скоростью водных частиц в момент выхода волны на берег. По мере заливания поступательный характер движения сохраняется в зоне «движущегося уреза», т.е. переднего края накатывающего на берег слоя, где глубина равна нулю. В то же время в тыловой части области затопления, где глубина водного слоя конечна, имеется возможность для волновых движений.