Общая теория поверхностей второго порядка

 
 
 
 
 

Определение  коэффициентов приведенных  уравнений

и определение вида поверхности второго  порядка

при помощи инвариантов.

При помощи вращения системы координат квадратичная форма a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₁₃xz + 2a₂₃yz  может быть приведена к виду  s₁x'² + s₂y'² + s₃z'², причём s₁, s₂, s₃ суть корни характеристического уравнения 
 

                  |a₁₁ – s  a₁₂       a₁₃         |

                  |a₂₁        a₂₂ – s a₂₃         | = 0,

                  |a₃₁        a₃₂       a₃₃ – s| 

  Или 

                  s³ – I₁s² + I₂s – I₃ = 0 , 

где I₁, I₂, I₃  вычисляемые по формулам (11'), суть инварианты. 

      Найдём  необходимые и достаточные условия  того, что три корня характеристического  уравнения имеют один и тот  же знак.

      Пусть 

            s₁>0, s₂>0, s₃>0 или s₁<0, s₂<0, s₃<0. 

      Так как   I₁ = s₁ + s₂ + s₃,

              I₂ = s₁s₂ + s₂s₃ + s₃s₁,

              I₃ = s₁s₂s₃.

То при одинаковых знаках корней I₂ >0, I₁I₃>0.

      Покажем обратное, то есть если выполняются  условия I₂>0, I₁I₃>0,  то знаки корней одинаковые. 

Рассмотрим 2 случая: 

1. I₂>0, I₁>0, I₃>0, тогда ни один из корней не может быть отрицательным, так как при отрицательном s

s³ – I₁s² + I₂s – I₃ <0,

что невозможно,  так как s – корень характеристического уравнения.

2. I₂>0, I₁<0, I₃<0, тогда ни один из корней не может быть положительным,  т.к. при положительном s

s³ – I₁s² + I₂s – I₃ > 0. 

Если же не выполняется  по крайней мере одно из условий  I₂>0 и I₁I₃>0 при    I₃ ≠ 0,  то знаки корней различные.

     Рассмотрим  формулы для нахождения инвариантов  по коэффициентам общего уравнения  поверхности второго порядка: 

                  I₁ = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ 

                  I₂ = |a₁₁ a₁₂| + |a₂₂ a₂₃| + |a₁₁ a₁₃|

                         |a₂₁ a₂₂|    |a₃₂ a₃₃|    |a₃₁ a₃₃| 

                         |a₁₁ a₁₂ a₁₃|

                  I₃= |a₂₁ a₂₂ a₂₃|

                         |a₃₁ a₃₂ a₃₃|   

                        |a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄| 

                  I₄= |a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄|

                        |a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄|

                        |a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄| 

                  |a₁₁ a₁₂ a₁₄|    |a₂₂ a₂₃ a₂₄|     |a₁₁ a₁₃ a₁₄|

            I₅= |a₂₁ a₂₂ a₂₄| + |a₃₂ a₃₃ a₃₄| + |a₃₁ a₃₃ a₃₄| 

                  |a₄₁ a₄₂ a₄₄|    |a₄₂ a₄₃ a₄₄|     |a₄₁ a₄₃ a₄₄| 

     I₆= |a₁₁ a₁₄| + |a₂₂ a₂₄| + |a₃₃ a₃₄|

                |a₄₁ a₄₄|    |a₄₂ a₄₄|    |a₄₂ a₄₄| 

     I₇= a₄₄

Примеры решения задач 

1. Определить  каноническое уравнение и расположение поверхности:

 

x² – 2y² +z² +4xy -8xz -4yz -14x -4y +14z +16 =0 

 Вычислим инварианты:

     

       | 1  2  -4 |

I₃ = | 2 -2  -2 | = 58

       |-4 -2   1 | 
 

I₂ = |1   2 | + |  1  -4 | + | -2  -2 |  = -27

       |2  -2|     | -4   1 |    | -2    1| 

I₁ = 0 

Характеристическое уравнение: 

                        s³ -27s² -58 = 0  

                        s₁ = 6, s₂ = -3, s₃ = -3            КОНУС 

Каноническое  уравнение: 

X²          Y²        Z²

1     +     1    -     1  = 0

3             3          6 

3X² + 3Y² - 6Z² = 0 

Координаты вершины  конуса: 

                        a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z + a₁₄ = 0

                        a₂₁x + a₂₂y + a₂₃z + a₂₄ = 0

                        a₃₁x + a₃₂y + a₃₃z + a₃₄ = 0 

подставив в  равенства коэффициенты из уравнения  получим систему уравнений: 

     x + 2y - 4z - 7 =0

     2x - 2y - 2z -2 =0

     -4x -2y + z + 7 =0 

Решая данную систему  получим точку с координатами (1,1,-1) 
 
 

2. Определить  каноническое уравнение и расположение поверхности:

2x² + y² + 2z² – 2xy + 2yz + 4x – 2y =0 

      Вычислим  инварианты:

        | 2 -1   0|

I₃ =  |-1   1  1| = 0

        | 0   1  2| 
 

I₂ = | 2 -1 | + |2  0| + |1  1|  = 6

       |-1  1 |    |0  2|    | 1  2|  

I₁ = 5 

I₆ = | 2  2| + | 1  -1| + | 2  0|  = - 5

        | 2  0|    |-1   0|    | 0  0|

Составим характеристическое уравнение: 

                  s³ – 5s² +6s = 0 

                  s₁ = 0, s₂ = 2, s₃ = 3                       Эллиптический цилиндр 
 
 

Каноническое  уравнение: 
 

                  X²          Y²

                  2     +     1      = 1

                  3 
 

3. Найти центр  поверхности. Какой вид примет это  уравнение, если, не меняя направления  осей, перенести начало координат  в центр поверхности?

 

x² + y² + z² + 2xy – 2yz + 6xz +2x – 6y – 2z = 0  
 
 
 

Вычислим инварианты: 

       |1  1  3|

I₃ = |1  1 -1| = - 16

        |3 -1  1|  
 

I₂ = |1  1| + |1  3| + |1 -1| = - 8

        |1  1|    |3  1|    |-1 1|   

I₁ = 3 

       | 1  1  3  1|

I₄ = |1  1 -1 -3| = 16

        |3 -1  1 -1|                                    Однополосный гиперболоид

        |1 -3 -1 0 | 

Центр поверхности  находим, решая систему уравнений: 

x + y + 3z +1 = 0

x + y – z - 3 = 0

3x – y + z –  1= 0  

Получаем точку  с координатами (1, 1, -1) 

При смещении начала координат получим уравнение: 

X² + Y² + Z² + 2XY – 2YZ + 6XZ = 0 
 
 

4. Определить  каноническое уравнение и расположение поверхности:

 

x² + 5y² + z² + 2xy + 6xz + 2yz – 2x +6y +2z = 0 

Вычислим инварианты: 

      | 1  1  3|  

I₃= |1  5  1 | = - 36

      | 3  1  1| 

       | 1  1  3 -1|

I₄ = | 1  5  1  3| = 36

       | 3  1  1  1|

       |-1  3  1  0|

I₁ = 7  
 

I₂ = | 1  1| + | 1 3| + | 5  1| = 0

       | 1  5|     | 3 1| + | 1  1| 

Получаем однополосный гиперболоид. 

Составим характеристическое уравнение: 

  s³ – 7s² + 36 =0

  s₁ = 3, s₂ = 6, s₃ = -2 

Составим каноническое уравнение: 

3X² + 6Y² – 2Z² – 1 = 0    

Центр поверхности  находим решая систему уравнений: 

                  x + y + 3z - 1 = 0

                  x + 5y + z + 3 = 0

                  3x + 5y + z + 1 = 0 

Получаем точку  с координатами ( -1/3, -2/3, 2/3).  
 

5. Найти прямолинейные  образующие плоскости:

 

y² – 2xy – 4xz + 2yz – 4x + 2y – 1 = 0  

Вычислим инварианты: 

       | 0 -1 -2|

I₃ = |-1  1  1| = 0

       |-2  1  0| 
 

I₂ = | 0 -1| + | 0 -2| + | 1  1| = - 6

       |-1 2|     |-2  0|    | 1  0|   

I₁ = 1

       | 0 -1 -2 -2|

I₄ = | -1 1  1  1| = 0

       | -2  1  0  0|

       | -2  1  0 -1|

Получаем пару пересекающихся плоскостей. 

Разложим левую  часть данного уравнения на линейные относительно x, y, z множители: 

      y² – 2xy – 4xz + 2yz – 4x + 2y – 1 = y² + 2y( - x + z + 1) – 4xz – 4x – 1 = y² +2y( - x + z + 1) – 4xz – 4x – ( - x + z +1)² + (- x + z +1)² - 1 = (y – x + z +1)² – 4xz – 4x – ( - x + z +1)² - 1 = (y – x + z +1)² – 4xz – 4x – x² + 2xz +2x –z2 -2z – 2 = (y – x + z + 1)² – 2xz – 2x – x² –z² -2z - 2 = (y – x + z + 1)² – ( x² +z² +2xz +2x +2z +2) = (y – x + z + 1)² – (x² + 2x(z + 1) + (z + 1)²) = ( y – x + z +1 )² – (x + z + 1)² - 1 

Получаем 2 прямолинейные  образующие: 

      u(x + z + 1) = y – x + z +2 и x + z +1 = u(y – x + z) 

6. Найти каноническое уравнение поверхности

 

2x² + 10y² - 2z² +12xy + 8yz + 12x + 4y + 8z - 1= 0 
 

Вычислим инварианты: 

       | 2  6  0|

I₃ = | 6  10 4| = 0

       | 0  4  -2| 
 

I₂ = | 2  6 | + | 2  0| + | 10  4| = -56

       | 6  10|    | 0 -2|    | 4  -2|   

I₁ = 10

       | 2  6 0 6|