Общая теория поверхностей второго порядка

I₄ = | 6 10 4  2| = 256

      | 0  4 -2  4|

       | 6  2  4 -1| 

Получаем гиперболический  параболоид 

Составим характеристическое уравнение: 

            s³ - 10s² - 56s = 0  

            s₁ = 14, s₂ = -4, s₃ = 0 

Составим каноническое уравнение:

7X²      -  Y^{2         =}       2Z

4. 2

Или  

7X2 – 2Y2  - 8Z = 0

7. Найти диаметральную  плоскость поверхности, сопряжённую хордам направления {3, 2, -5 }:

2x² + 5y² + 8z² + 2xy + 6xz +12yz + 8x +18z = 0 

Для нахождения диаметральной плоскости воспользуемся  формулой: 

(a₁₁a₁ + a₁₂a₂ + a₁₃a₃)x + (a₂₁a₁ + a₂₂a₂ + a₂₃a₃)y + (a₃₁a₁ + a₃₂a₂ + a₃₃a₃)z + (a₄₁a₁ + a₄₂a₂ + a₄₃a₃) = 0, 

Где {a₁, a₂,a₃} – координаты направляющего вектора. 

Вычислим коэффициенты общего уравнения поверхности второго  порядка: 

a₁₁ = 2

a₂₂ = 5

a₃₃ = 8

a₁₂ = 1

a₁₃ = 3

a₂₃ = 6

a₁₄ = 4

a₂₄ = 7

a₃₄ = 9

a₄₄ = 0 

Подставим получившиеся коэффициенты в выражение: 

(2*3 + 1*2 + 3*(-5))x + (1*3 + 5*2 + 6*(-5))y  + (3*3 + 6*2 + 8*(-5))z + (4*3 + 7*2 + 9*(-5)) = -7x -17y – 19z -19  

Уравнение диаметральной  плоскости: 

      7x +17y + 19z + 19 = 0.